Радиационные методы
УДК 620.179.15
ВЫБОР НОМИНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ГАММА-АБСОРБЦИОННОГО ПЛОТНОМЕРА ПРИ ПОВЫШЕННЫХ ЗАГРУЗКАХ ДЕТЕКТОРА
А.И. Безуглов
Предложена номинальная функция преобразования для гамма-абсорбционного плотномера при повышенных загрузках детектора, которая позволяет снизить в 4—5 раз систематическую погрешность (погрешность аппроксимации) по сравнению с используемой в практике показательной функцией. Приведены математические соотношения и методики расчета коэффициентов функции для ее описания по трем точкам участка (диапазона) аппроксимации и по совокупности экспериментальных значений, используя метод наименьших квадратов. Теоретически показано, что при выборе режима детектора необходимо ограничиваться повышенными загрузками с долей просчетов не более 1/3.
Возникающие просчеты импульсов при рассматриваемом режиме работы дискретного детектора приводят к изменению характера зависимости сигнала от плотности по сравнению с номинальной функцией преобразования плотномера, имеющей, как правило, линейный или экспоненциальный вид для участка или диапазона измерения [1—3]. В результате этого появляется дополнительная систематическая погрешность (погрешность аппроксимации), варианты учета которой приведены в [1—3]. Как следует из представленных данных в [2, 3], при использовании предложенной процедуры минимизации (по трем точкам диапазона) погрешность аппроксимации остается значительной. Для ее уменьшения до заданного значения, указываемого в нормативных документах в соответствии с [4, 5], необходимо разбиение диапазона на несколько участков, что связано с определенными сложностями в реализации процедур измерения и градуировки.
В данной работе предлагаем вариант аппроксимирующей функции, которая обеспечивает существенное уменьшение погрешности аппроксимации по сравнению с приведенными функциями в [1-—3], используя при этом одинаковое число необходимых точек для их построения.
В общем случае уравнение узкого пучка для гамма-абсорбционного способа измерения плотности р при малых загрузках дискретного детектора имеет вид
л(р, h) = /г0ехр(-тр/г) = N(р, h)/Tu = [N0exp(-mph)]/T„, (1)
где п(р, К) и N(р, И) — регистрируемые с детектора соответственно скорость счета и число импульсов за время измерения Та при прохождении пучка излучения через объект контроля с плотностью р, толщиной h и массовым коэффициентом ослабления излучения m\ N0 и п0 — регистрируемые с детектора соответственно число импульсов за время измерения Т„ и скорость счета импульсов при отсутствии объекта контроля. Для точечного изотропного источника моноэнергетических гамма-квантов с активностью (выходом гамма-квантов в единицу времени) Q значения N0 и «о имеют вид
N0 = п0Тп = (еГ„5дед)/(4я/г2), (2)
где 5Д — используемая площадь детектора для регистрации пучка излучения; 8Д — эффективность регистрации детектором гамма-квантов с учетом условий селектирования сигналов; R — расстояние от источника до детектора.
Все приведенные соотношения между регистрируемыми сигналами и параметрами объекта контроля справедливы при малых загрузках детек-
тора, которые можно определить как пх « 1 согласно [б], где п соответствует (1), а т — "мертвое время" детектора. При повышенных загрузках детектора, обусловленных увеличением активности источника (У, например, до значения 2, наблюдаемая скорость счета с детектора п будет меньше (из-за просчетов) планируемой п. При этом п может быть определено экстраполяцией известного значения п, соответствующего источнику малой активности <2' и условию пх « 1, из соотношения «/(2 = «'/2'.
Соотношения между наблюдаемой с детектора скоростью счета п при повышенной загрузке, экстраполированным значением п и "мертвым временем" х имеют вид [6]:
п = п/( 1 + пх)\ п = л 7(1 - пх), (3)
а относительное значение числа просчетов на основании (3) определится выражением
(и - п*)/п = пх. (4)
Подставляя выражение (1) для п в (3), получим формулу для регистрируемой скорости счета в зависимости от параметров объекта контроля и х
п = [и0ехр(—тЛр)]/[ 1 + я0техр(-т/гр)], (5)
а зависимость плотности контролируемого материала от регистрируемой скорости счета запишется в виде
р =--1п
тк
Чо(1-иЧ)
(6)
Необходимо отметить, что в [1, 2] относительный характер функции сигнала от плотности и выбор оптимальных параметров рассматриваются практически в полном диапазоне изменения доли просчетов. Однако для решения практических вопросов это не целесообразно, поскольку с увеличением доли просчетов происходит существенное ухудшение относительной чувствительности, что и является ограничением в использовании больших загрузок детектора.
Действительно, используя выражение (6), можно определить предельные значения загрузок детектора (доли просчетов), превышение которых приводит только к ухудшению параметров контроля. Рассматривая влияние на процесс измерения плотности только статистической погрешности сигнала (а2ст = Ы), случайную составляющую абсолютной погрешности измерения плотности можно представить на основании (6) и в соответствии с общей теорией ошибок для косвенных измерений [7] как
Др =
Э(л*, л)
э п
Ап
Ап
(тК) п{\-яЧ)
При этом принималось, что погрешность измерения (Апа/п0) « (Дя*/я*)> Ы* и АЫ* образованы умножением соответственно п и Ап* на фиксирован-
ное время измерения Ти, а ДАГ = ?ял/ N , где ^ — квантильный множитель [7], определяющий границы доверительного интервала в единицах среднего квадратического отклонения для заданной в нормативных документах доверительной вероятности Р (для радиоизотопных плотномеров в соответствии с [4] Р = 0,95; предельное значение = 1,96 при достаточно большой выборке для оценки а, а при ограниченных выборках можно принять = 2,0).
На основании (7) можно получить выражение, устанавливающее связь необходимого времени измерения Т„ с фиксированной (заданной) погрешностью измерения плотности Ар и долей просчетов («*т)
_ ГрТ__1
Тш - 2] 2 ( А # Л » \2 • (8)
т И (Ар) п х(1-н т)
Анализ зависимостей (7) и (8) относительно доли просчетов (п*х) показывает, что они имеют минимумы при значении пт - 1/3, которое получено из уравнений для частных производных: Э(Ар)/Эя* = 0; и дТ„/дп* = 0. Увеличение загрузки детекторов по доле просчетов свыше (п*т = 1/3) приводит к росту погрешности Ар или времени измерения Т„.
Можно отметить также, что, подставив (5) в (6), получим в явном виде зависимость погрешности Ар от толщины контролируемого материала И. Определив частную производную Э(Др)/ЭА и приравняв ее к нулю, получаем следующее трансцендентное выражение для оптимальной толщины материала при повышенных загрузках детектора
2 1 + п0х ехр (~/ир/гопт) ^ 2 1
Кпт= тр 1-2л0гехр(-/ирЛопт) тр 1-Зтгс*(/гопт)' ^
Из анализа выражения (9), и особенно последней ее части, можно сделать вывод о том, что при любых ситуациях оптимальная толщина /?опт при повышенных загрузках больше известного значения 2/(т/г) и такова, что при регистрации сигнала доля пропусков не превышает критического значения, то есть всегда выполняется условие п*(Аопт)т < 1/3. Такой результат вполне логичен, но отличается от [1], где ограничение по п*(/гопт)т отсутствует. Можно также отметить на основании (9), что с увеличением активности источника излучения и загрузки детектора, естественно, увеличивается значение /гопт, но при этом медленно возрастает и значение «*(/гОП1.)т. Так, при увеличении активности источника в 1000 раз (л0т изменяется от 0,1 до 100) трНОПТ увеличивается от 2,07 до 5,87, а п{}гопт)т возрастает от 0,0124 до 0,22, но остается в диапазоне «*(/гопт)х < 1/3 даже для большого перепада активности источника.
Следовательно, для рассмотрения вопроса выбора аппроксимирующей функции и практического использования целесообразно ограничиться диапазоном повышенных загрузок детектора, соответствующих доле просчетов п*т < 1/3, учитывая наличие четкого минимума в зависимостях погрешности измерения плотности Ар или времени измерения Та от этого параметра. Как отмечено в [2], для повышенных загрузок детектора, соответствующих началу диапазона по доле просчетов, меньшую погрешность аппроксимации действительной зависимости сигнала от плотности обеспечивает показательная функция (в отличие от линейной аппроксимации), и номинальная функция для плотности рн1 в этом случае запишется в виде:
рн1 = ~[Щп/В{)]/В2- {п = Я1ехр(-Я2рн1)). (10)
Для определения коэффициентов В] и В2, как отмечено в [2, 3], можно применить метод наименьших квадратов или упрощенный вариант, при котором устанавливаются одинаковыми по модулю образующиеся погрешности аппроксимации (Др = 1р - рн11) в начале, середине и конце диапазона измерения плотности, используя выражения (6) и (10). Не вдаваясь в детали вывода формул, запишем конечные выражения для В] и В2:
тН 1п (щ /пЛ г * *
в2=—; #] = Vп2пъ
я, (1-и3т]
1п—-----
п20(\-п2х) (1-«3Ч)
гьщ
2 тИ
(П)
п-
где пх , п2 , «з —- регистрируемые скорости счета импульсов, соответствующие плотностям начала (р,), середины (р2) и конца (р3) диапазона измерения и связанные с этими значениями соотношением (5).
Проведенная в [2] оценка погрешностей аппроксимации при использовании (10) для повышенных загрузок газоразрядного детектора (т —0,0001 с) показала, что их уровень значителен (около 1 % и более) и сопоставим с требуемой суммарной погрешностью для плотномеров. При таком соотношении систематической и суммарной погрешностей возникают довольно жесткие требования к случайной (статистической) составляющей погрешности измерения плотности, которая определена выражением (7).
Если для малых загрузок детектора вопрос уменьшения статистической погрешности может быть, в принципе, решен путем увеличения
активности источника (Др ~ \/л[~<2), то для повышенных загрузок такой
вариант не может дать ожидаемого результата. Это связано со следующими ограничениями. Во-первых, в зависимости погрешности измерения плотности от загрузки детектора существует четкий минимум, который соответствует доле просчетов {пх = 1/3), и дальнейшее увеличение активности источника приводит только к увеличению погрешности. Во-вторых, приближение загрузки д
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.