№ 2
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2008
УДК 621.3
© 2008 г. ЩУКИН А.Ю., ДЕНИСОВ К.В.
ВЫБОР РЕЗОНАТОРА ДЛЯ ЭФФЕКТИВНОЙ СВЧ-ЛАМПЫ МАЛОЙ МОЩНОСТИ
Описан выбор типа резонатора для эффективного СВЧ-источника видимого света с малой мощностью питания. Выбран принципиально новый тип резонатора.
Показано, что в таком резонаторе можно получить высокую напряженность поля, необходимую для работы на низком уровне мощности. Описана структура электромагнитного поля в данном резонаторе.
Для получения высокоэффективной СВЧ-лампы надо возбудить в резонаторе СВЧ-поле с напряженностью электрического поля в несколько киловольт на сантиметр. Этого можно достичь только при достаточно большой плотности СВЧ-энергии внутри резонатора. Следствием этого будет то, что с уменьшением СВЧ-мощности высокую напряженность СВЧ-поля можно получить только в резонаторе малых размеров. Известно, что с уменьшением размеров резонатора увеличивается его частота, и поэтому получить резонатор малых размеров, работающий на той же частоте, -сложная задача.
Проведенный анализ показал, что эту задачу можно решить на основе штыревых систем, особенностью которых является то, что они позволяют возбудить длинноволновые колебания в резонаторах малых размеров.
Штыревые системы были изучены достаточно подробно применительно к разработке замедляющих систем для некоторых типов СВЧ-приборов [1] и разработке ускоряющих систем циклических ускорителей [2].
Приведем некоторые сведения об электродинамических характеристиках волноводов прямоугольного сечения, нагруженных однорядными и двухрядными штыревыми структурами.
Пространство волновода разобьем на две области. Область ниже плоскости у = 0 можно рассматривать как отрезок многопроводной линии и поле в нем можно представить в виде разложения по собственным волнам многопроводной линии. Поле над штырями (у > 0) будем искать в виде разложения по пространственным гармоникам.
Однорядная система (см. рис. 1) симметрична относительно плоскости г = 0, и полный спектр волн в ней распадается на волны с симметричным и антисимметричным распределением Ex относительно этой плоскости. Независимость этих двух групп волн очевидна.
В области штырей (у < 0) основной вклад в поле первой симметричной волны дает ТЕМ-волна многопроводной линии, а поле первой антисимметричной - Н-волна этой линии, так как ТЕМ-волны с несимметричным распределением Ex относительно плоскости г = 0 не существует.
Видно, что критическая длина основной волны волновода с полем Н в области штырей будет ~4h. Следовательно, размеры волновода можно выбрать так, что в рабочей области частот единственной распространяющейся волной будет симметричная волна с основным полем ТЕМ в области штырей. Н- и E-волны многопроводной ли-
ж\ш
d2 a
2l *
cD >
D2
Рис. 1. Волноводы, нагруженные однорядными (а) и двухрядными (б) штыревыми гребенчатыми структурами
нии (они в этом случае запредельны) вносят лишь некоторую реактивность вблизи концов штырей.
С учетом сказанного для основной симметричной волны, поле в области штырей может быть определено ^-составляющей электрического вектора Герца
п _ A cos к (y + h
Пе _ Ao к sinKh И(ХУ)'
(1)
над штырями
Пе _ II Bm,C0SX^ U„„,
sin Xmlg
m _ 01 _
где поперечные собственные функции Umi определяются выражением
(2)
Uml _ Sin
(2 m -1 )П Dz
- jelx
x2mi _ к2- P2- (2 m -1 )2 (n2/4D2);
Pi _ Po + D'• l _ 0, ±1, ±2, ... .
(3)
В рассматриваемом приближении магнитный вектор Герца Пя в области над штырями (классификация ведется по направлению вдоль штырей) выпадает.
Из условия непрерывности тангенциального электрического поля при у = 0 следует
I I XmlBmlgradUml
m _ ll _
o,
на штыре
A0gradn, вне штыря.
(4)
Функции Uml ортогональны на поверхности сечения ячейки периодической структуры плоскости y = const
JUmlU*TdS _ DiD2s;
ll
mm'
0, m Ф m\ l Ф Г ; D1D2, m _ m', l _ l'.
(5)
d
S
Можно показать, что
I ёгаа = (к2-х2т1)0102Ь11т.. (6)
5 1
Используя уравнение (5) и (6), найдем
Вт1 = -2-^2-I ^ит^тАП dS, (7)
Хт1(К - Хт1)°2у
где У - площадь сечения периода структуры плоскостью у = 0 за вычетом площади штыря.
Интеграл в (7) можно преобразовать в интеграл по контуру поперечного сечения штыря, учитывая, что П удовлетворяет уравнению Лапласа
Ao_Ггг* эп
2 -2-J Umljn'
r_YZ\nnJ о n
Bml = -^-J U*ml^ dl. (8)
Хт1(К - Хт1)°2 I
При учете в области штырей только поля ТЕМ условие непрерывности тангенциальных компонент магнитного поля при у = 0
-и
Н = Н (9)
не может быть удовлетворено точно. Поэтому для вывода дисперсионного уравнения воспользуемся условием непрерывности комплексной мощности
J[E* Ht] y0dS = J[E* Ht] yodS, (10)
[ E* Нт] y0 dS = "
S' S'
где y0 - единичный вектор по у.
Подставляем в выражение (10) ET и Нт, найденные из (1) и (2), с помощью известных формул
> 2 > E = graddiv(Пу0) + к Пу0;
Н'1 = гк rot (П1' lyo).
(11)
Используя выражение (8), найдем
ctg (Kh)/к = Kc(y) Ck,v). (12)
Здесь у = ßD - угол сдвига фазы поля на период структуры,
Kc(y) = П г/°ддП dl; (13)
l
^ ^ ^ 7 1т-Г I 2
_ _ ctgxmlb i П
C(K,v) = -1 I -gmL• 2 2 )nn • KV U4)
m = 11 = - Xml (K - Xml)D1D2 \Kml\
¿ = fiumldl' ( 15)
Пг - потенциал штыря, который далее будем полагать равным единице.
Уравнению (12) соответствует простая эквивалентная схема в виде многопроводной линии с волновым сопротивлением Кс(у), проводники которой с одного конца замкнуты, с другого - нагружены емкостью С(к, у).
Волновое сопротивление Кс(у) уменьшается с ростом у. В самом деле, при у = 0 су-
ществует лишь поток вектора E
J^ ~JE„dl
на боковые стенки.
V/ I
С ростом у появляется дополнительный поток между штырями, полный поток при том же потенциале штыря будет больше. Так как концевая емкость С(к, у) с ростом у также уменьшается, то из (12) следует, что дисперсия системы нормальная.
Поле ТЕМ-волны многопроводной линии, необходимое для вычисления волновой проводимости и концевой емкости, найдем, воспользовавшись методом частичных областей. Это позволит представить Кс(у) и С(к, у) в форме быстро сходящихся рядов. Функция П(х, у) является решением двумерного уравнения Лапласа
Э2И Э2И „
-7 + -Т = 0,
д x д z
(16)
удовлетворяющим в направлении оси х условию Флоке, а на поверхности штырей экранов - граничному условию П = const. На поверхности экранов положим П = 0, на поверхности штырей, как условились ранее, П = 1.
Тогда решение в области между штырями (|z| < l) при фазовом сдвиге на период структуры у запишется в виде
Пт
iу/2 X , iy/2 -'у/2ч
е - -г" (е - е )
di
ж .(n + 1)п
v , ' 2 ch (nn/dl) z . nn + X Ane ——r^irsin-;-x.
n = 1
ch (nz/d) l d {
(17)
В области между рядом штырей и боковой стенкой (/ < г < ^2) решение запишется виде разложения по пространственным гармоникам
П ~ shes( D2 - z) -'Ps(x-"2
Птт = x Bs-ShfST-е
(18)
Область Б2 < / < г не рассматривается в силу симметрии системы. Используя обозначение
£ = п = &21вх\ с = -т-; у5 = у + ^ = о,±1,±2,...,
& 1
П ЭП
из условий непрерывности П и — при г = /, получим системы уравнений для определения коэффициентов Ап и Б8\
С1П (у /2) С1П (£у/2)
Б
sin (у/22" " sin (£у/2) + v _2in2_ sln "lll—Lls A
+ X "Xl "O - A-
Vs/2 £Vs/2 n~ £2 y^- n^n ~ 4£ys . nn + £ys
2nn£ . nn + s sin
-An th (nn£) = X
у 2 2 2 2
s = Vs - n n
sin
cth (nVs) Bs.
Вычисление интеграла, входящего в уравнение (13), дает
ЭИ
д n
dl = 2 е
-i у/2
4Zsin2у + £ 2An sin^ th(nnZ) -
n = 1
~ Ру9-у
- £ 2sin^^cth (пу5)
S = -
Исключая из (20) Ап с помощью системы (19) и подставляя затем выражение для интеграла в (13), находим
Кс(у) =
'0Г . 2у . . у v d sin(^/2) 8Сsin 2+4sin2 £ Bs ( ру п) cth(nys)
S = -
(Pys/2)
-1
(21)
Непосредственное вычисление интеграла в (15) приводит к плохо сходящимся рядам. Однако их сходимость можно улучшить, снова преобразовав ряды с помощью системы (19), см. [12]. Получим
1
|Kms(y)|
mscos(2m - 1)(п/2)(п/т) . mS mS
+(&mu+om°) sin (2 m -1) nn
(2m - 1 )(п/2)(р/т)
где
Oj = 8 sinsin — + (2m-1^ •£
n sin [(pyS + nn)/2]
(22)
A •
i 2 2 2 2 n'
1 n + (2m -1 )2(р74т2)
2
omS = 2ysBscth(nys) - (2m -1)^ • £ A
i = 1
sin [(pyS + nn)/2] nn2 + (2m -1 )2(р2/4т2)
th (nnZ);
mS . 2,2 v л sin [(pyS + nn)/2]t w ^ O3 = 4ysp £ An ———2-th(nnZ); т = —
i = 1
2 2 2 р ys - n n
D
(23)
22
Принимая ф = kD1; raSm = yS + (2m - 1)2(п2/4т2); Л = b/D2 и вводя вместо емкости C безразмерную емкость C0 = C1/D1, получаем
C
££
cth(Л^з - ф2)
1
j = 1 s =
4®Sm - ф2
2
®Sm|KSm|
(24)
Найдем выражение для и Ап. Система (19) неоднородна, ее решения Б<; и Ап пропорциональны потенциалам штырей. Когда фазовый угол у ^ 0, амплитуды соответствующих прямых и обратных гармоник становятся равными друг другу, и все Ап с четными индексами исчезают. Исчезает также однородная компонента поля в области между штырями. При у = п выполняются соотношения Б8 = -Б^ + ^ и А2п + г = 0. В этом случае поле в пространстве между штырями носит четный характер относительно средней плоскости.
Если штыри не очень узки, т.е. параметр р имеет величину ~1 или более, можно воспользоваться приближением, при котором в области между штырями учитывается лишь однородная компонента поля. В этом случае, как следует из (19), Ап = 0, п = 1, 2, ...
B,
sin ( у / 2 ) sin ( р уs)2 ) (ys/2 ) ^ ( Р Уs /2)
и выражение для С0 существенно упрощается.
Изменяя в уравнении (24) порядок суммирования по т, х, можно представить емкость в виде суммы емкостей, обусловленных различными пространственными гармониками
С0 _ X С(у + 2пх).
(26)
5 = -«
Емкости С(у) есть четные функции аргумента и при увеличении последнего быстро уменьшаются.
Практически в (26) достаточно учесть лишь два члена с х = 0, -1
С
С(у) + С(2п - у).
В приближении к уравнению (25)
с1Ь(Л^у2 - Ф2 + (2т - 1 )2(п2/4т2))
С(у) = X
/ т (¥)
1 т 7у2 - ф2 + (2т - 1 )2(п2/4т2) Ф2 + (2т -1 )(п2/4^2)
(27)
(28)
где
г _ 4 ( у / 2 ) 8И1 ( £ у / 2 ) /т _ 111 п у( £ у/2 )
П£Г
^ (2т - 1) 2 "Г + ХУ Л ПУ
(2т -1 )(п/2)(£С/т)"
(29)
(2 т - 1 )п/2
Ряд по т, входящий в С(у), сходится быстро, если только т не очень велико. Положим т = 0,5, тогда при Л = 0,1, £ = 0,5, £ = 0,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.