научная статья по теме ВЫБОР СГЛАЖИВАТЕЛЯ МНОГОСЕТОЧНОГО МЕТОДА ДЛЯ ЗАДАЧИ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ С ПРЕОБЛАДАЮЩЕЙ КОНВЕКЦИЕЙ Кибернетика

Текст научной статьи на тему «ВЫБОР СГЛАЖИВАТЕЛЯ МНОГОСЕТОЧНОГО МЕТОДА ДЛЯ ЗАДАЧИ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ С ПРЕОБЛАДАЮЩЕЙ КОНВЕКЦИЕЙ»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 2005 год, том 17, номер 1, стр. 109-113

ВЫБОР СГЛАЖИВАТЕЛЯ МНОГОСЕТОЧНОГО МЕТОДА ДЛЯ ЗАДАЧИ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ

С ПРЕОБЛАДАЮЩЕЙ КОНВЕКЦИЕЙ "

© Г. В. Муратова

Южно-Российский региональный центр информатизации РГУ 344090, Ростов-на-Дону, 200/1 пр.Стачки, корпус 2, e-mail:muratova@rsu.ru

Работа выполнена при финансовой поддержке УР, проект № 03.01.019 и РФФИ, проект 03-01-00005

Рассматриваются три варианта сглаживателей многосеточного метода для решения задач конвекции - диффузии с преобладающей конвекцией. Обсуждаются методы аппроксимации начальной задачи для получения системы линейных алгебраических уравнений с определенными свойствами. Сглаживатели выбираются из класса треугольных кососим-метричных методов. Приведены результаты численных экспериментов.

THE CHOICE OF THE MULTIGRID METHOD SMOOTHER

FOR CONVECTION-DIFFUSION PROBLEM WITH DOMINANT CONVECTION

G.V.Muratova '' r

We consider three modifications of Multigrid Method with différent smoothers for solving convection-diffusion problems with dominant convection. The discretization methods of initial problem for obtaining linear algebraic équation system with spécial properties are discussed. The smoothers are chosen from specially created class of triangular skew-symmetric iterative methods. Some numerical results are presented.

1. Введение

Для решения задач линейной алгебры существует большое количество различных численных методов, которые непрерывно развиваются и усовершенствуются. Значительная часть этих методов обладает наибольшей эффективностью при применении к определенному классу задач. В этом ряду многосеточный метод (MGM-MultiGrid Method) прочно занимает позицию одного из высокоэффективных и довольно универсальных методов [1,2]. Развитие основной идеи метода, впервые изложенной в работах Р.П.Федоренко, в настоящее время привело к созданию целого направления в численных методах, определяемого многосеточным алгоритмом. Относительная универсальность метода объясняется тем, что он является своего рода шаблоном. MGM устанавливает только структуру алгоритма, эффективность которого во многом зависит от адаптации его компонент к конкретной задаче.

В настоящее время в теории численных методов решения задач математического моделирования особое внимание уделяется методам решения задач конвекции-диффузии. Уравнение конвекции-диффузии является моделью, описывающей многие процессы механики жидкости и газа. В тех случаях, когда процесс конвекции является преобладающим, применение стандартных численных методов затруднено, поскольку появляется малый параметр при старшей производной. После разностной аппроксимации дифференциального уравнения это приводит к несимметричным системам линейных алгебраических уравнений, в которых отсутствует диагональное преобладание. При некоторых дополнительных условиях - несогласование правой части уравнения и краевых условий - в таких задачах может возникать явление пограничного слоя.

110

Г. В. Муратова

В данной работе предложен эффективный способ решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией с использованием многосеточного метода, в котором определенным образом выбирается одна из компонент метода - сглаживающая процедура.

2. Постановка задачи

На равномерной сетке fih = {х|х = (ih,jh), 0 <i,j < N,h = 1 /N} , где N - число точек разбиения отрезка [0,1], будем рассматривать стационарное уравнение конвекции-диффузии, записанное в симметричном виде:

1 (^ i \ ди d(va(x)u)\ 1 Л 9 / fti \

2 ( 2><х>в£ + ) - Pi Е wa fej= /(х) • (1)

\а=1 / а=1 v

Для решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией важным является выбор метода аппроксимации непрерывной задачи, наиболее подходящий для рассматриваемого типа задач. Так, противопотоковые схемы более эффективны для слабо несамосопряженных задач и дают в результате аппроксимации М-матрицу.

При использовании центрально-разностной аппроксимации и при желании сохранить монотонность разностного оператора приходится накладывать ограничение на шаг сетки. Когда коэффициенты при первых производных достаточно велики, это ограничение становится существенным. Если эти ограничения не выполнены, то матрица полученной системы линейных алгебраических уравнений не будет иметь диагонального преобладания, и использование для решения такой системы базовых итерационных методов приведет к большим трудностям, т.к. условие диагонального преобладания в исходной матрице является для этих методов условием их эффективной сходимости.

Кроме метода разностной аппроксимации весьма важной является начальная форма записи уравнения конвекции-диффузии. Существуют три формы записи оператора конвективного переноса (дивергентная, недивергентная и симметричная), которые эквивалентны для дифференциального уравнения в несжимаемых средах, но приводят к различным формам разностных уравнений, отличающихся по своим свойствам.

В данном исследовании мы используем центрально-разностную аппроксимацию дифференциального уравнения конвекции-диффузии, записанного в симметричной форме. В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей, для решения которой используем многосеточный метод со специальными сглажива-телями.

3. Многосеточный метод

Алгоритмическую основу многосеточного метода составляет прием, основанный на свойстве некоторых итерационных методов сходиться с высокой скоростью на первых итерациях, замедляясь в дальнейшем. Это происходит за счет подавления высокочастотных компонент Фурье начальной ошибки в разложении по базису из собственных векторов, т.е. метод быстро гасит высокочастотные гармоники ошибки, что позволяет за несколько итераций существенно подавить их вклад. Низкочастотные гармоники сходятся гораздо медленнее, и поэтому будут составлять подавляющую часть ошибки.

Многосеточный алгоритм позволяет значительно повысить эффективность основного итерационного метода (сглаживателя), комбинируя обычный итерационный процесс с приемом, называемым грубосеточной коррекцией - последовательным использованием в вычислениях более грубых сеток.

Одна итерация MGM включает в себя 4 основных компоненты: сглаживание (smoothing)ограничение, проекция (restriction), продолжение, интерполяция (prolongation) и коррекцию. Сглаживающий метод - это центральная компонента многосеточного алгоритма. Она является наиболее зависимой частью метода от рассматриваемой задачи.

Выбор сглаживателя многосеточного метода

111

Для повышения эффективности многосеточного метода особое внимание следует уделять сглаживающим методам, а так же нестандартным схемам грубосеточной коррекции, которые удовлетворительно аппроксимируют гладкие члены ошибки.

4. Сглаживающий метод

Стандартными сглаживающими методами для многосеточного метода являются линейные итерационные методы, например, метод Гаусса- Зейде л я. Альтернативой могут служить следующие методы:

1. Метод Гаусса-Якоби.

2. Симметричный метод Гаусса-Зейделя.

3. Метод неполной факторизации. ..

4. Специально адаптированный SOR.

Подобные методы называются сглаживающими, так как они быстро сглаживают ошибку ег = и — и1 на первых итерациях, подавляют высокочастотные гармоники ошибки, чтобы погрешность могла быть хорошо приближена на грубой сетке. Здесь и - точное решение, и1 - приближенное решение, полученное в результате i сглаживающих итераций.

В данной работе мы предлагаем использовать в качестве сглаживателей итерационные методы из класса треугольных кососимметричных методов (ТКМ), предложенных в [3]. ТКМ может быть использован непосредственно для решения систем линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей, однако скорость сходимости его при больших коэффициентах кососимметрии не всегда удовлетворительна. Следует заметить, что поведение этого метода аналогично методу Зейделя, который быстро гасит высокочастотные гармоники ошибки, замедляясь в дальнейшем. Поэтому ТКМ является эффективным сгла-живателем для многосеточного метода (MGM), в котором этап грубосеточной коррекции многосеточного метода можно считать своего рода ускоряющей процедурой треугольного кососимметричного метода. Доказательство сходимости MGM со сглаживателем ТКМ приведено в [4].

В результате аппроксимации дифференциального уравнения (1) методом конечных разностей с центрально-разностной аппроксимацией первых производных, получаем систему линейных алгебраических уравнений:

Au = f. „ (2)

Полученная в результате аппроксимации матрица является разреженной, несимметричной и не имеет диагонального преобладания. Матрица так же является диссипативной, то есть ее симметричная часть положительно определена:

A = A0 + Ai, '

где Aq = ^ (А + А*) = Aq > 0 и Ai = ^ (А — А*) = — Ао - это симметричная часть, а А\ - кососимметричная часть матрицы А. Кроме того матрица А является сильно несимметричной, то есть в некоторой матричной норме выполняется неравенство

IHolL «Ш\, -

Al = Kt • ». Ku и Ku = -K¡, од ... " . . ■.. ..

где Ki и Ки - соответственно, нижне- и верхнетреугольные части кососимметричной матрицы А\.

112

Г. В. Муратова

" Для решения полученной системы (2) используем многосеточный метод, где в качестве сглаживателей применяем треугольный кососимметричный метод (ТКМ) и две его модификации ТКМ1 и ТКМ2.

Итерационный процесс можно записать в канонической форме:

вуп+1 - уп +Ап = }

Т

В предложенных треугольных кососимметричных методах оператор В выбирается специальным образом. При его построении используется только кососимметричная часть матрицы А.

Для ТКМ оператор В строится следующим образом:

В = Е + 2тКе или В = Е + 2тКи , для ТКМ1:

В = аЕ + 2К1 или В — аЕ + 2Ки , для ТКМ2: • •

В = щЕ+2Ке или В = счЕ + 2Ки , " *

где г - скалярный итерационный параметр. Параметры предложенных методов а,сц > О выбираются по формулам:

а=\\М\\, . . г „ „ , .

= г = 0, ...,п, ■ - ■ ■ :

3=0

где М = {тч}Л - симметричная матрица, которая строится по формуле М = Ао + Ки — К1, п - размерность матрицы А. В работе [3] исследована сходимость предложенных методов.

В данном случае мы используем эти методы в качестве сглаживателей МвМ.

5,

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Кибернетика»