научная статья по теме ВЫЧИСЛЕНИЕ ФАЗОВЫХ СКОРОСТЕЙ ТРЕХМЕРНЫХ ИЗГИБНЫХ ВОЛН В ИЗОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СТЕРЖНЯХ И ОБОЛОЧКАХ С ПОМОЩЬЮ ПОТЕНЦИАЛОВ ДЕБАЯ И “ТИПА ДЕБАЯ” Физика

Текст научной статьи на тему «ВЫЧИСЛЕНИЕ ФАЗОВЫХ СКОРОСТЕЙ ТРЕХМЕРНЫХ ИЗГИБНЫХ ВОЛН В ИЗОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СТЕРЖНЯХ И ОБОЛОЧКАХ С ПОМОЩЬЮ ПОТЕНЦИАЛОВ ДЕБАЯ И “ТИПА ДЕБАЯ”»

АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 1, с. 3-9

КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН

УДК 534.26

ВЫЧИСЛЕНИЕ ФАЗОВЫХ СКОРОСТЕЙ ТРЕХМЕРНЫХ ИЗГИБНЫХ ВОЛН В ИЗОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СТЕРЖНЯХ И ОБОЛОЧКАХ С ПОМОЩЬЮ ПОТЕНЦИАЛОВ ДЕБАЯ И "ТИПА ДЕБАЯ" © 2015 г. С. Л. Ильменков, А. А. Клещёв, К. А. Клюбина

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет 190008 Санкт-Петербург, ул. Лоцманская 3 E-mail: alexalex-2@yandex.ru Поступила в редакцию 09.02.2014 г.

С помощью потенциалов Дебая и "типа Дебая" рассмотрены два представления векторного потенциала вектора смещения изотропных цилиндрических стержня и оболочки. На основе такого подхода получены характеристические уравнения для волновых чисел трехмерных изгибных волн в этих телах и вычислены их фазовые скорости.

Ключевые слова: потенциал Дебая, распространение, изгибная волна, стержень, оболочка. DOI: 10.7868/S0320791914060070

Математические модели распространения упругих волн в упругих стержне и оболочке весьма схожи. Гранично-контактная задача для оболочки отличается от аналогичной для стержня появлением дополнительной граничной поверхности, что приводит к дополнительным неизвестным коэффициентам, которые определяются из дополнительных граничных условий. С другой стороны, волновые процессы в оболочке на высоких частотах мало чем отличается от таких же в слое. Поэтому вполне обоснованно рассматривать эти структуры одновременно. Начнем с наиболее простой из них — со стержня.

В работе [1] рассмотрено волновое движение в изотропном упругом слое. В данной работе, как в [2—6], анализируются фазовые скорости упругих волн в изотропном цилиндрическом стержне произвольного радиуса а. В отличие от [2—6] обратимся к строгому решению задачи о фазовой скорости трехмерной изгибной волны в таком стержне [7—10]. Новизна данного исследования заключается в вычислении фазовых скоростей трехмерных изгибных волн изотропных стержней и оболочек с помощью строгого метода, основанного на использовании уравнений динамической теории упругости и потенциалах Дебая и "типа Дебая".

Плотность материала стержня обозначим через р, коэффициенты Ламе — X и ц, изотропный стержень помещен в вакуум. Вектор смещения стержня и подчиняется уравнению Ламе

(X + 2|а^гаёШуи - |го1го1 и = -рю2и, (1) где ю — круговая частота гармонических колебаний. По теореме Гельмгольца вектор смещения и

упругого стержня представляется в виде комбинации скалярной функции Ф и векторной функции A:

u = - grad Ф + rot A. (2)

Векторная функция A выражается через потенциалы "типа Дебая" х и ¥ [11, 12], которые близки к потенциалам Дебая U и V[7], но в отличие от них, более удобны для применения в цилиндрической системе координат:

A = хе + arot(Te), (3)

где e — единичный вектор. Потенциалы Дебая или "типа Дебая" позволяют разделить переменные в векторном уравнении Гельмгольца, которому подчиняется векторная функция A. В трехмерном случае без них это сделать невозможно, так как при проектировании векторного уравнения на координатные оси компоненты векторной функции присутствуют вперемешку во всех трех скалярных уравнениях.

Введем в рассмотрение круговые цилиндрические координаты r, ф, г. Цилиндрические компоненты вектора смещения u(ur, иф, uz) представляются через потенциал Ф и цилиндрические компоненты функции A( Ar, Av, Az) [7, 8]:

1 dAz dA, dz '

dr r дф

u =-1дФ +

U, я

r дф

Ur =-f + 1 A, + dz r

dAr dAz

dz dr

dA, - 1 dAr dr r dф

С, м/с 8000

7000

6000

5000

4000

3000

2000

ди„ 1

1 диг

0 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50

1/Лизг

Рис. 1. Фазовые скорости первых трех мод изгибной волны.

Цилиндрические компоненты Аг, Аф, Аг функции А, выраженные через потенциалы х и Т, могут быть записаны в следующей форме:

А = а г г дф

А« £ ■

(5)

(6)

А, = Х- (7)

Потенциалы Ф, х, Т могут быть разложены по собственным функциям скалярного уравнения Гельм-гольца:

Ф = е'к'X Ат^т (КГ)С0Б (тф),

т=0

у = екк X BmJm (к'г) СОБ (тф),

т=0

X = е1к1 X Ст^т (к'фт (тф),

т=1 >1/2

(8)

---м„ +

дг г гдф

= 0,

(2 2\1/2 12 2\1/2 Н - к ) ; к' = I к- к ) ; к

число продольной волны в материале стержня; к — волновое число поперечной волны; к — искомое волновое число трехмерной изгибной волны; Тт (Кг) — цилиндрическая функция Бесселя; Ат, Вт, Ст — неизвестные коэффициенты, которые определяются из граничных условий на поверхности стержня — нормальное и касательные напряжения отсутствуют:

(х + 2»)дм + *Г1^+1 иг + ^

дг ^г дф г д1

= 0, (9)

диг + ди, д1 дг

= 0.

(10) (11)

ап а12 а1з

д = а21 а22 а2з

а31 а32 а33

X

— волновое

Подставляя разложения (8) в граничные условия (9)—(11), приходим к определителю 3-го порядка

(12)

где

а11 = - (X + 2ц)/т (На) + (а~2т2 + к2)т (На) - а'1Гт (На)

а12 = 2^а1Ы'т (к'а), а13 = 2|аа _1т (1'т (к'а) - а ~11т (к' а)), й21 = 2|а Тт (На) - а~хТт (На) а22 = 2/кта ~11т (к'а) - ЪктГт (к'а), а2з = -Т'т (к'а) - т2а~2Тт (к'а) + а~1Гт (к'а), а31 = -ЪкГт (Н а), а32 = а-11'т (к'а)|т2 - а~2к2 +1] -

- 2т2а~2Тт (к'а) - Гт (к'а) - аГ^ (к'а), а33 = 1кта-1Тт (к'а).

Определитель (12) получился одним и тем же как при использовании потенциалов Дебая, так и при использовании потенциалов "типа Дебая", что является косвенным подтверждением правильности выбранного способа решения задачи. Приравнивая определитель (12) нулю, что обеспечивает его нетривиальное решение, а радиус стержня а = 1.0, получаем характеристическое уравнение для нахождения волновых чисел трехмерных изгибных волн. Также были выполнены расчеты для фазовых скоростей продольной и изгибной волн.

Для оценки реакции жидкости на фазовые скорости в стержне, он был помещен в воду, тогда к граничным условиям (9)—(11) добавляется условие непрерывности нормальных компонент вектора смещения в стержне и жидкости:

дФ1

иг =--1

дг

(13)

1

со

(а)

(б)

Рис. 2. Деформации цилиндрической оболочки при распространении изгибной (а) и продольной (б) осесимметрич-ных волн.

где

Ф1 = eikz£ DmHm (Y'r)cos (m<p).

(14)

m=0

(2 2\1/2

у - к ) ; у — волновое число трехмерной волны в жидкости; Н^ (у'г) — функция Хан-келя; Бт — неизвестные коэффициенты, определяемые из граничных условий.

Условие (9) становится неоднородным:

/,, ~ чдиг ди„ 1 ди^

(X + 2,)-^ + Ц -—£ + -иг

дг \г дф г д1)

где р0 — плотность жидкой среды. Подставляя разложения (8) и (14) в граничные условия (10), (11), (13) и (15), приходим к определителю 4-го порядка:

#11 0.2 #13 #14

Д _ а21 а22 а23 #24 (16)

#31 #32 #зз #34

#41 #42 #43 #44

где элементы ап—а33 совпадают с (12), а14 =

= Р(15)

= Po®2Hm (Ya) , «24 = 0, «34 = 0, «41 = -J'm (ha),

#42 = aikJ'm (к'#), #43 = # т/т (к'#), #44 = -Н'т ).

При наличии жидкости волновые числа к, обращающие определитель (16) в ноль, становятся

комплексными из-за излучения стержня, вызывающего необратимые потери. В отличие от стержня изгибная волна в цилиндрической оболочке может быть и трехмерной, и двумерной (осесимметричной). На рис. 2 схематично показана деформация цилиндрической оболочки при распространении в ней осесимметричных изгибной (а) и продольной (б) волн. Результат [13] был использован в работах [14] и [15] при изучении фазовых скоростей упругих волн в изотропной цилиндрической оболочке.

При изучении изгибной волны в изотропной цилиндрической оболочке используется тот же самый математический аппарат, что и при изучении изгибных волн в стержне, но с учетом второй (внутренней) граничной поверхности увеличивается число неизвестных и число граничных условий. Теперь разложения потенциалов Ф, V и U принимают вид [16—18]

да

Ф = eikz £ cos тф [AmJm (h r) + BmNm (h r)],

m=0 да

V = eikz £ cos m9 [m (к'г) + DmNm (к' r)],[ (17)

m=0 да

U = ekZ £ sin my [EmJm (к'г) + FmNm (к'г)],

И=1

да

С, м/с 6000

5000

4000

3000

2000

1000

Ci

- b = 0.99 - b = 0.80

1 , /

/

/

C2

Cr

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

а/Л

Рис. 3. Фазовые скорости трехмерных изгибных волн в стальных оболочках.

С, м/с 7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000

Ci

b = 0.99 b = 0.80

C2

Cr

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

а/Л

(, 2 ,2 /, 2 ,2 кх - к ) ; к = (к2 - к ) ; Ит(кг) — цилиндрическая функция Неймана; Вт, Ст, Бт, Ет, ¥т — неизвестные коэффициенты, определяемые из граничных условий на внешней (г = а) и внутренней (г = Ь) поверхностях оболочки.

Граничные условия, заключающиеся в отсутствии напряжений на обеих поверхностях оболочки (г = а и г = Ь), принимают вид

(Х+)+

+ X

1 (ди r ^дф

^ 1 +1 к +

ди.

'диф дг

+1 иф +1 r r

dz Гдигл

= 0,

чдФ/

r=a;r=b

= 0,

(ди.)+fdUz

Uw {dz.

= 0.

(18)

(19)

(20)

r=a, r=b

Рис. 4. Фазовые скорости трехмерных изгибных волн в алюминиевых оболочках.

А =

an ai2 ai3 а14 ais ai6

ац а22 а2з а24 а25 a26

аз1 аз2 азз аз4 аз5 азб

а41 а42 а43 а44 а45 а46

asi as2 а5з а54 а55 а56

a6i аб2 абз а64 аб5 а66

(21)

После подстановки разложений (17) в граничные условия (18)—(20) (с использованием ортогональности тригонометрических функций cos тф и sin тф) приходим к определителю шестого порядка для моды m трехмерных изгибных волн следующего вида [16—18]:

Выражения для членов определителя (21) даны в [17]. Приравнивая определитель (21) нулю, получим характеристическое уравнение для волновых чисел моды т трехмерных изгибных волн в изотропной цилиндрической оболочке произвольной (но постоянной) толщины.

Решение характеристического уравнения для стальных и алюминиевых оболочек различной толщины представлено на рис. 3 и 4, при этом наружный радиус а был принят равным 1.0, а внутренний радиус Ь принимал два значения: Ь = 0.99 (сплошная кривая) и Ь = 0.8 (пунктирная кривая). На графиках показаны значения скоростей продольной (с1), поперечной (с2) и волны Рэлея (еК). Значение т = 1 соответствует нулевой моде изгибной волны, скорость которой асимптотически стремится к скорости волны Рэлея еК; Л = с^// - длина продольной волны в материале оболочки, / — частота волны в герцах. На рис. 3 показаны фазовые

С, м/с 6000

5000

4000

3000

2000

~ V \ \

з \ Уч С1

7" . — 5

N. * - «Ч 4 с - С2

. 6 - - - -----

сд

1 | | 1 1 1

( + Щъ)

■X

1

= 0.

(22)

г=а, г=Ь

_г V дг. )\, Определитель 4-го порядка, получаемый из граничных условий,

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»