ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2014, том 54, № 2, с. 183-194
УДК 519.676
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ПО ПРОСТРАНСТВУ ДЕРЕВЬЕВ ВЕСОВЫМИ МЕТОДАМИ МОНТЕ-КАРЛО
© 2014 г. Е. А. Цветков
(141700 М.о., Долгопрудный, Институтский пер., 9, МФТИ (гос. ун-т)) e-mail: tsvetkov_egor@mail.ru Поступила в редакцию 08.08.2012 г.
Переработанный вариант 10.10.2012 г.
Обосновано применение весовых методов Монте-Карло в рамках концепции супертреков к вычислению небольцмановских функционалов, равных среднему значению некоторой случайной величины, заданной на множестве всех ветвящихся траекторий. Для этого на множестве всех ветвящихся траекторий построено вероятностное пространство, а несмещенность весовых оценок доказывается путем усреднения по всем траекториям. Рассмотрены такие весовые методы, как метод существенной выборки, расщепление и русская рулетка. Описан способ расширения существующих кодов, реализующих вычисления по схеме Наймана-Ула-ма, для поддержки концепции супертреков. Библ. 24. Фиг. 2.
Ключевые слова: статистическое моделирование, весовые методы Монте-Карло, супертрек, ветвящиеся траектории, небольцмановские функционалы.
Б01: 10.7868/80044466914020148
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность
В настоящее время интерес к разработке приборов, регистрирующих ядерное излучение, постоянно растет. Областями человеческой деятельности, в которых используются схемы совпадений, являются гамма-астрономия, обеспечение безопасности (досмотр грузов и контейнеров, экологическая безопасность), медицина и некоторые другие. Разработка новых приборов, как правило, включает в себя этап расчетно-теоретического обоснования их параметров и характеристик. Для этого наиболее часто используется метод Монте-Карло, в котором проводится большое количество статистических испытаний для определения среднего значения некоторой случайной величины, заданной на множестве случайных траекторий.
Если при моделировании траекторий частиц используется физическая плотность вероятности, то такой метод Монте-Карло называется аналоговым. В некоторых случаях для достижения приемлемой статистической погрешности расчетов, проводимых аналоговыми методами Монте-Карло, требуется огромное количество испытаний (1010 и выше). Это послужило причиной разработки весовых методов Монте-Карло. При использовании весовых методов требуемый уровень статистической погрешности достигается при меньшем количестве испытаний, чем при использовании аналоговых методов.
Весовые методы хорошо проработаны для вычисления физических величин, описываемых функционалами определенного класса, названными в [1] больцмановскими. Под больцманов-ским функционалом понимается функционал, который может быть вычислен при известной од-ночастичной плотности распределения, являющейся решением уравнения Больцмана. Примерами больцмановских функционалов являются среднее количество пересечений частицами некоторой поверхности и среднее количество столкновений внутри некоторого объема. Если физическая величина зависит от совместного влияния нескольких частиц, то она не может быть представлена в виде больцмановского функционала (см. [1]) и называется небольцмановской.
Приведем пример небольцмановской величины. Обозначим через S ветвящуюся траекторию, а через {х1, х2, ..., хг} — множество вершин этой траектории, в которых произошли столкновения. Отклик детектора д(&) равен 1, только если существуют такие две вершины с номерами I и у, что
xi е D1, а е D2, где D1 и D2 — некоторые непересекающиеся области внутри расчетной области. Иначе отклик детектора равен 0. Среднее значение отклика детектора можно вычислить по формуле
Mq = i ^^'
D1 х D2
гдеp(x1, x2) — плотность вероятности того, что ветвящаяся траектория будет иметь столкновения в точках x1 и x2 (будем считать, что плотность вероятности существует). Двухчастичная плотность распределения p(x1, x2) не обязана выражаться через одночастичную плотность распределения, так как одночастичная функция распределения не содержит информации о высших моментах распределения частиц. Таким образом, рассматриваемый интеграл является небольцмановским функционалом.
Попытка применить классические весовые методы при моделировании ветвящихся траекторий немедленно приводит к вопросу, что делать, когда совпадение вызвано частицами с разными весами, т.е. когда в область D1 попадает частица с весом ю1, а в D2 — с весом ю2. Неясно, с каким статистическим весом в этом случае нужно регистрировать обнаруженное совпадение.
Обобщая, можно сказать, что на отклик приборов, работающих по схемам совпадений, оказывают совместное влияние частицы, находящиеся в разных областях пространства. Функционал, описывающий отклик таких приборов, должен зависеть от совместной плотности распределения частиц. Классическим примером небольцмановского функционала, рассматриваемого в [1], является средняя энергия, потерянная частицей в выделенном объеме. Также большинство имитационных моделей приборов, регистрирующих ядерное излучение, не удается адекватно описать функционалом от плотности столкновений.
Современной тенденцией является построение сложных имитационных моделей приборов, учитывающих различные физические явления, например рождение и распространение сцинтил-ляционных фотонов, движение электронов в фотоэлектронном умножителе и неидеальность электронной схемы, регистрирующей совпадения. Модели детекторов, учитывающие эти эффекты, не могут быть описаны больцмановскими функционалами, и при использовании таких моделей расчеты ведутся аналоговыми методами, что существенно снижает скорость расчетов. В программах MCNP-DSP (см. [2]) и MVP (см. [3]), предназначенных для решения широкого круга задач, и в программе KENO-NR (см. [4]) в случаях, когда важно учитывать совместное распределение частиц, также используются аналоговые методы расчета траекторий частиц. Проблема ускорения расчетов, проводимых по методу Монте-Карло, стоит очень остро во многих работах, в которых важно учесть совместное влияние частиц на показания детектора.
^особы вычисления небольцмановских функционалов
В [5]—[10] весовые методы предлагаются для вычисления аддитивных по столкновениям функционалов, равных среднему значению некоторой случайной величины, определенной на множестве реализаций случайного процесса переноса излучения. Значение такой случайной величины q(S) равно сумме вкладов от отдельных столкновений, т.е.
к
д ( 5) = £ д (х1),
I = 1
где S — случайная траектория частицы, xi — точки соударения частицы, движущейся по этой траектории, I = 1, 2, ..., k. Примером аддитивного по столкновениям функционала является количество столкновений в выделенном объеме. Такие функционалы — частный случай больцманов-ских функционалов. Еще одним важным частным случаем больцмановских функционалов являются функционалы, представимые в виде среднего значения случайной величины, аддитивной в смысле
к - 1
д (5) = £ д (х —- х1+1).
I = 1
Примером такого функционала является количество пересечений частицами выбранной поверхности.
Если выполняется свойство аддитивности, то частицы вносят вклады независимо друг от друга (каждое слагаемое зависит от фазовых координат только одной частицы). В случае небольцмановской физической величины соответствующая случайная величина не обязана обладать свойством аддитивности.
В большей части литературы построение универсальных методов для вычисления небольцма-новских функционалов ограничивается аналоговой схемой, а весовые методы строятся для различных частных случаев. В классических работах С.М. Ермакова и Л. Яноши рассмотрены весовые методы вычисления первых двух моментов от аддитивных по столкновениям функционалов. Также в работах С.М. Ермакова особое внимание уделяется случаю ветвящихся траекторий, так как он всегда представляет отдельную сложность при проведении доказательств несмещенности весовых оценок. В работах В.В. Учайкина и А.В. Лаппы рассмотрены функционалы "столкнови-тельно-трекового" класса, обобщающего класс аддитивных по столкновениям функционалов. В работах А.В. Лаппы построены неимитационные методы, вычисляющие любой момент от аддитивного функционала. Также известны способы для вычисления любого момента аддитивного функционала (см. [11], [12]).
Предложенный в [13], [14] подход для расчета небольцмановских функционалов заключается в расширении фазового пространства дополнительной переменной. В случае расчета спектра потерянной энергии — это поглощенная энергия частицы, в случае моделирования схем совпадений — это индикаторы внесения вклада в показания различных детекторов.
Обобщая сказанное выше, можно утверждать, что в большей части литературы, посвященной весовому моделированию, рассматриваются различные специальные классы небольцмановских функционалов. Совершенно очевидно, что модели детекторов во многих задачах могут не попадать ни в один из рассмотренных классов. Отдельную трудность представляет собой учет ветвлений.
Внимание привлекает работа [1], в которой предложен физически понятный (имитационный) универсальный подход, называемый далее концепцией супертреков, к вычислению не-больцмановских функционалов весовыми методами. В концепции супретреков предлагается приписывать статистический вес всей ветвящейся траектории целиком, а не каждый частице в отдельности, как это делается в схеме Неймана—Улама. В [1] под супертреком понимается ветвящаяся траектория. Название "супертрек" означает, что ветвящаяся траектория рассматривается как неделимая совокупность неветвящихся участков (треков). Слово "неделимая" подчеркивает тот факт, что нельзя рассматривать каждый участок отдельно, так как при этом теряется информация о "корреляции" этого участка со всеми остальными. Образно говоря, требование "неделимости" супертреков обеспечивает возможность восстановления информации о высших моментах распределения частиц при наличии достаточно большой популяции супертреков.
Например, в позитрон-эмиссионной томографии точка аннигиляции позитрона определяется по известным параметрам траекторий гамма-квантов, образовавшихся при его аннигиляции. Траектории этих гамма-квантов при численном моделиро
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.