научная статья по теме ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ ВОЗМУЩЕННОЙ ОРБИТЫ ПО ТРЕМ И БОЛЕЕ ПОЛОЖЕНИЯМ МАЛОГО ТЕЛА НА НЕБЕСНОЙ СФЕРЕ Астрономия

Текст научной статьи на тему «ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ ВОЗМУЩЕННОЙ ОРБИТЫ ПО ТРЕМ И БОЛЕЕ ПОЛОЖЕНИЯМ МАЛОГО ТЕЛА НА НЕБЕСНОЙ СФЕРЕ»

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2013, том 47, № 1, с. 40-52

УДК 521.3

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ ВОЗМУЩЕННОЙ ОРБИТЫ ПО ТРЕМ И БОЛЕЕ ПОЛОЖЕНИЯМ МАЛОГО ТЕЛА НА НЕБЕСНОЙ СФЕРЕ © 2013 г. В. А. Шефер

Научно-исследовательский институт прикладной математики и механики Томского государственного университета, Томск Поступила в редакцию 13.03.2012 г.

Излагаются два новых метода нахождения орбиты малого небесного тела по трем и более парам угловых измерений и соответствующим им моментам времени. Методы основаны на использовании разработанного ранее автором подхода к построению по минимальному числу наблюдений промежуточной орбиты, учитывающей основную часть возмущений в движении исследуемого тела, и алгоритмической схемы Хергета, позволяющей включать дополнительные наблюдения. Погрешности вычисления орбиты предлагаемыми методами на два порядка меньше, чем соответствующие ошибки традиционного подхода, основанного на построении невозмущенной кеплеровской орбиты. На примерах определения орбит малых планет (1566) Икар, 2002 ЕС1 и 2010 Т048 проведено сравнение результатов применения многопозиционной процедуры Хергета и новых методов. Сравнение показывает, что новые методы являются высокоэффективным средством изучения возмущенного движения. Их особенно выгодно применять в случае высокоточных наблюдательных данных, охватывающих небольшие дуги орбиты.

DOI: 10.7868/S0320930X13010076

ВВЕДЕНИЕ

С появлением современных высокоточных электронно-оптических и радиотехнических позиционных измерений, которые на 1—3 порядка точнее классических астрометрических наблюдений, и с открытием большого количества объектов, наблюдавшихся на коротких орбитальных дугах в зонах тесных сближений с большими планетами (в основном, в окрестности Земли), задача предварительного нахождения возмущенной орбиты становится особенно актуальной. В работах (Schäfer, 2002; Шефер, 2003б; 2008) предложены методы, которые успешно решают задачу учета основных возмущений при построении первоначальных орбит малых тел по трем и четырем наблюдениям в рамках гауссовского подхода. Учет возмущений осуществляется с помощью построенной по двум векторам положения и соответствующему интервалу времени промежуточной орбиты (Schäfer, 2002; Шефер, 2003а). Построение этой орбиты основано на идее ввода фиктивного притягивающего центра с переменной массой (Шефер, 1998а, 1998б; Shefer, 2002a, 2002b). Ошибки предложенных нами методов уменьшаются прямо пропорционально квадрату опорного интервала времени, т.е. эти ошибки на два порядка меньше, чем соответствующие погрешности методов традиционного подхода, ос-

нованного на использовании решения невозмущенной задачи двух тел.

Если во времена Гаусса и даже еще несколько десятилетий тому назад редко удавалось получить более одного положения малого тела в одну ночь, то в последние годы ситуация резко изменилась. Теперь количество астрометрических позиционных наблюдений объектов Солнечной системы многократно возросло, в основном благодаря обзорам, выполняемым автоматическими видеокамерами (проекты LINEAR, LONEOS, NEAT, WISE, Catalina, Spacewatch и др.). Ряды наблюдений одного и того же объекта в этих обзорах часто состоят более чем из трех положений, полученных в течение одной ночи. Ставя задачу определения надежной предварительной орбиты только по трем или четырем положениям, мы можем столкнуться с рядом проблем. Проблемы теоретического характера широко освещены в литературе (Herget, 1948; Дубяго, 1949; Escobal, 1965; Субботин, 1968; Herrick, 1971; Baker, Jacoby, 1977; Taff, 1984; Marsden, 1985, 1991). Практические проблемы связаны в основном с неизбежными ошибками измерений, несовместными наблюдениями и неопределенностями, обусловленными короткой наблюдательной дугой. По этим причинам желательно иметь такой алгоритм построения предварительной орбиты, который в состоянии использовать все доступные наблюдения и

оценивать степень неопределенности полученного решения. Этим требованиям удовлетворяет алгоритм, предложенный Хергетом (Herget, 1965; Danby, 1992). Он является адаптацией метода вариации геоцентрических расстояний применительно к машинным вычислениям и основан на использовании фундаментальной системы уравнений классического метода Лагранжа—Гаусса. Однако алгоритм Хергета, относящийся к методам традиционного подхода, не позволяет учитывать возмущения при построении орбиты.

В данной статье подход, описанный в (Schäfer, 2002; Шефер, 20036), развивается применительно к задаче нахождения промежуточной возмущенной орбиты по всем имеющимся астрометриче-ским положениям интересующего нас объекта, используя идею Хергета присоединения дополнительных наблюдений. Предлагаются два метода решения этой задачи: двупараметрический и ше-стипараметрический методы. Завершается статья рассмотрением численных примеров, демонстрирующих эффективность предложенных методов.

ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД

Рассмотрим движение малого тела (астероида, кометы, крупного метеороида, космического аппарата) в гелиоцентрической прямоугольной экваториальной системе координат Oxyz. Уравнения движения запишем в виде

X = -K x + F = G,

(1)

где x — вектор положения малого тела, r = IX,

2 2 K = к M = const (к — гравитационная постоянная, M — масса Солнца), F — вектор возмущающего ускорения, точка означает дифференцирование по времени t.

Пусть мы имеем для каждого из n (n > 3) моментов эфемеридного времени t°, t°, ..., t° (t° < t° < ... < t°) пару наблюденных угловых координат а ° (прямое восхождение) и 5° (склонение) (i = 1, 2, ..., n), определяющую видимое положение малого тела на небесной сфере с центром в точке наблюдения. Угловые координаты, наблюденные в момент ti , представим в виде единичного вектора L¡, компонентами которого являются направляющие косинусы луча зрения на малое тело, т.е.

L ,

С \

о о о

cos о,- cos а, cos 5° sin а°

. оО

sin 5°

; i = 1,2,..., n.

Для определенности будем считать угловые координаты, отнесенные к точке наблюдения, топо-центрическими. Гелиоцентрические и топоцен-трические положения малого тела связаны между собой векторным уравнением

x, = р,-L, - S,-; i = 1,2,..., n,

(2)

где X/ — гелиоцентрический вектор положения малого тела, определенный в момент Б, — топо-центрический вектор положения Солнца, определенный в момент наблюдения 1°. Таким образом, вектор р,ЬI имеет один конец, определенный в момент 1Ь а другой — в момент t°. Неизвестными в (2) являются вектор XI и топоцентрическое расстояние р;-.

Предположим, что мы найдем каким-либо способом р;-. После этого в момент наблюдения введем поправку за время движения светового луча (сигнала) от малого тела к наблюдателю. В результате перейдем к моменту времени t , по формуле

ti = t° - -р,; i = 1,2,...,n, c

(3)

где c — скорость света. Тогда уравнение (2) позволит определить вектор положения x, в момент t,.

Lagrange (1869) показал, что при небольших интервалах времени между наблюдениями имеют место простые приближенные выражения для гелиоцентрических координат. Это позволяет получить достаточно хорошие первые приближения для топоцентрических расстояний. Решение, найденное Lagrange, приобрело удобную для практических вычислений форму в знаменитом трактате (Gauss, 1809). Современное изложение методики получения этого решения можно найти, например, в монографиях (Escobal, 1965; Субботин, 1968; Herrick, 1971; Boulet, 1991).

Воспользуемся формулами классического подхода и получим р1, р2, ..., pn в первом приближении. Тогда с помощью (2) и (3) определяются векторы положения x1, x2, . , xn и соответствующие им моменты времени t1, t2, ..., tn (t1 < t2 < ... < tn). Значения t1, x1; t2, x2; ...; tn, xn на этом этапе являются приближенными и требуют дальнейшего уточнения.

Выберем векторы x, и xm (1 < I < m < n), соответствующие двум надежным и достаточно далеко отстоящим друг от друга наблюдениям. В соответствии с теорией промежуточного движения, изложенной нами в (Шефер, 2003а), вычислим векторы положения на промежуточной орбите q*,

q m относительно фиктивного притягивающего центра, векторы положения фиктивного центра

Zl, Zт и гравитационные постоянные ц,, цт по является плоской, то векторы и ,, иу и ит будут свя формулам

заны соотношением

Ч* = IСI, чт = тС m,

ZI = ХI - Чг, Zт = Хт - Чт,

И; = ^ 1В*СН И т = ^ т^те т,

и! = dljU, + ¿т,ит; ] = 1,2,...,я; 7 * ¡,т,

(4)

где

где

1 _ ^¡тУ/т^ _ ^¡тУЦ ^■И " > ^т/

х I =

{[СтеI - (С, • ет)е„] • (хт - х,)},

ет - (СI • ет)

^ ]п$1т

'¡т

(8)

(9)

К = - {[С /С т - (С I • С т)С I ] • (х т - X,)} , С2Ст - (еI • ет)

В* =

ч*

г>* _ Вт =

Величины а/т и а 1т есть гауссовские отношения площадей секторов конического сечения и треугольников (отношения секторов к треугольникам), построенным для пар векторов {и ,, иу-},

э / .ч г {и¡, ит} и {и,, ит} соответственно. Соотношение (8)

Здесь (а • Ь) обозначает скалярное произведение 1 ' т'

двух векторов a и Ь. Суммарные векторы ускорения С, и с т вычисляются по тем же формулам,

что и правые части уравнений (1), если подставить в них найденные значения ^, х , и tm, хт соответственно.

На промежуточной орбите в пространстве переменных u (Шефер, 2003а) получим два положения, определяемые векторами

с учетом (2), (4)—(7) можно представить в виде

dljЦl(р1Ь I — §1 — Zl) + dmj№■ т(ртЬ т — в т — Z т) =

= М7(Ру'Ь7 - в7 - Zj), 7 = 1,2,...,я; 7 Ф I,т.

Введем единичные векторы

(10)

Ч*, и п

Цт ч*

Чт

(5)

А, =

и соответствующие моментам фиктивного времени

= 0,

= ^ (tm - Ь). И,

/■ \

5 о о

1 ео8

5 о • о

° 81п а° ео8б° I = 1,2,..., я.

( \

- б1п а°

ео8 а° , Б1 =

0

V

Вектор и7 и соответствующий ему момент в мо- Вектор АI перпендикулярен вектору Ц-, паралле-мент физического времени tj Ф Ц, tm найдем по лен плоскости экватора и направлен в сторону

формулам

Ц /' *

и7 =— Ч* ,

97 ( - к), VI

(6)

где

Ч.* = х, - Z,,

(7)

Z 7 =

^т ^7

Zl

tj- Ь

увеличения прямого восхождения а°. Вектор дополняет ЬI и АI до правой ортогональной тройки

оО

и направлен в сторону увеличения склонения о,-.

Зададим систему прямоугольных координат ОЪ, у п у, оси которой направлены вдоль векторов Ь у, А у и Бу с

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком