ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2004, № 11, с. 47-69
УДК 550.83
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ АНОМАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ДИСКРЕТНЫХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ
© 2004 г. 3. 3. Арсанукаев
Институт физики Земли им.О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва Поступила в редакцию 18.11.2003 г.
Задача вычисления пространственных элементов аномальных полей решается с использованием методов теории дискретных гравитационных полей и разработкой соответствующих компьютерных технологий. Применение дискретного подхода дает возможность свести задачу вычисления пространственных элементов аномальных полей к задаче аналитического продолжения заданных значений поля в нижнее полупространство. В свою очередь, задача аналитического продолжения редуцируется к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) на основе использования дискретных операторов Лапласа. Устойчивость решения СЛАУ обеспечивается тем, что используются совместно сразу несколько дискретных операторов Лапласа.
Вычислительные эксперименты проводятся на модельных примерах, причем в качестве аномалео-бразующих тел используются тела простой геометрической формы, для которых прямая задача решается точно.
Такая методика позволяет оценивать погрешности при аналитическом продолжении (вычислении) значений поля решением прямой задачи в точках нижнего полупространства и сравнением с ними значений аналитически продолженных. Одновременно при проведении вычислительных экспериментов исследуется влияние различных факторов на образование погрешностей при аналитическом продолжении.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
ДИСКРЕТНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ И МЕТОДОЛОГИЯ
В 1989 г. в работе [Страхов, 1989] впервые в общем виде была разработана концепция использования в гравиметрии и магнитометрии теории дискретных физических полей (гравитационного, магнитного), которые возникают при замене пространств Я" (п = 2, 3) сеточными пространствами 5"(й) (рис. 1, 2) и, соответственно - тех линейных дифференциальных уравнений, которым подчиняются потенциалы полей, соответствующими конечноразностными (дискретными) уравнениями (для соответствующих сеточных потенциалов). Подход с использованием дискретных операторов, определенных на сеточных пространствах 5"(й), (п = 2, 3), в особенности эффективен в задачах восстановления пространственного распределения элементов изучаемых потенциальных полей-потенциалов и их производных по координатам. В данной статье проблемы восстановления пространственного распределения элементов полей рассматриваются применительно к случаю гравитационного поля и двухмерной (п = 2) задачи. Случаю гравитационного поля и трехмерной задачи (п = 3) будут посвящены следующие публикации.
Приведем теперь основные аналитические соотношения континуального двухмерного гравитационного поля. При этом будем использовать декартову систему координат 0x1 с осью х, направленной вправо, и осью г, направленной вниз.
Рис. 1. Расчетная схема в случае континуальной теории гравитационного поля.
Х2
Х1
Х = (Р1НЪ Р2НЪ РзНз)
Х3
Н1
Нз
= ^2^2, Чз^з) -V-
Н 8црр а/У
АУ(х, г) = -2пва(X, г), (х, г) е О - уравнение Пуассона.
(2)
А Э2 Э2
А = — + —'
Э х д г
(з)
а в есть универсальная гравитационная постоянная. Ясно далее, что если
др + аУ(х, г)
= Ур, а (х, г),
(4)
д хр д га
то при (х, г) е О с очевидностью имеем
АУр, а (х, г) = 0. (5)
В случаи (х, г) е О уравнение (2) будет здесь выглядеть так:
А У„,, (х, г) = -2 п
вдр + аа(х , г) _
дхрдга
(6)
= -2п вац(х, г).
Рис. 2. Расчетная схема в случае теории дискретного гравитационного поля.
Пусть О - конечная область из нижнего полупространства г > 0, заполненная тяготеющими массами с плотностью а(х, г), и пусть У(х, г) - потенциал гравитационного поля, порожденного тяготеющими массами в О с плотностью а(х, г).
Имеем следующие определяющие уравнения континуального гравитационного поля:
АУ(х, г) = 0, (х, г) е О - уравнение Лапласа (1)
Переходим теперь к изложению более подробно основных положений теории двухмерного дискретного гравитационного поля. Как было уже сказано, непрерывное пространство Я2 (образованное совокупностью всех точек (х, г), -га < х < га, - ^ < г < га) заменяется сеточным (дискретным) пространством ^(Н), представляющим совокупность точек вида х5 = (р1Н1, р2Н2), где Н1 > 0 и Н2 > 0 -заданные малые величины, р1 и р2 - целые числа (в дальнейшем мы будем ограничиваться случаем равных шагов Н1 = Н2 = Н как наиболее важным с точки зрения геофизических приложений).
Следующий шаг в построении теории двухмерного гравитационного поля состоит в замене бесконечномерных (дифференциальных) соотношений (1)-(з) и (4)-(6) конечномерными (дискретными) соотношениями.
Ясно, что при этом уравнение Лапласа (1), (5) переходит в уравнение
Л{У,(х5)} = 0, (Л{(Ур,а)(х5)}), (х5) е О,, (7) а уравнение Пуассона (2), (6) переходит в уравнение Л{ У, (х5)} = -2 п в а, (х5),
(Л{( Ур, а)(х5)} = -2п в (а р, а),(х5)), (х5) е О,,
(8)
р,
где Л - некоторый дискретный оператор, аппроксимирующий оператор А.
Известно, что переход от (1), (5) к (7) и от (2), (6) к (8) может быть осуществлен множеством различных способов. В математической физике этот переход обычно связывается с конечнораз-ностными аппроксимациями производными, например, на основе использования приближенных представлений вида:
При этом в (1)-(2) А - суть дифференциальный оператор Лапласа
д2Уа(ха) = д х2
У а ( ха + Н вк ) - 2 У а ( ха ) + У а ( ха - Нвк )
2 ,
н2
к = 1, 2,
(9)
где ек - суть единичный орт по к-й переменной.
Использование конечноразностной аппроксимации (9) приводит к следующему дискретному оператору Л = Л+ в соотношении (7):
Л+{ У, (х5)} = -4 { У (х5)} + { У (х5 + Не1) + + У,( х, - Не1) + У,( х, + Не2) + У5 (х5 - Не2)}.
(10)
н
з
и
Оператор Л, определенный равенством (10), именуется обычно так: дискретный оператор, порожденный конечноразностной аппроксимацией оператора Лапласа на шаблоне "крест" (рис. 3) (на самом деле на рис. 3 приведены два "креста", прямой и косой, особенности их конструкций непосредственно очевидны).
Кроме дискретного оператора Л, определенного на шаблоне "крест" (т.е. в совокупности 5 узлов сетки S2(h): xs, xs ± he1, xs ± he2), в работах по математической физике используется также дискретный оператор Л = Л®, определенный на шаблоне "ящик" (т.е. в совокупности 9 узлов сетки S2(h): xs, xs ± he1, xs ± he2, xs ± he1 ± he2) (рис. 3).
Л®{ Vs (xs)} = -4{ xs)} +
4
+ { Vs(xs + hex) + Vs(xs - hex) + Vs(xs + he2) +
+ Vs(xs - he2) + 1 { Vs(xs + hex + he2) + (11)
+ Vs(xs + hei - he2) + Vs(xs - hex + he2) + + Vs( xs - hei- he2)}.
4 1
Коэффициенты C0 = -4, C1 = 5- = 0.8, C2 = 5- = 0.2
(для шаблонов "прямой крест" и "косой крест", очевидно, C0 = -4, C1 = 1) в формуле (11) определяются из формулы [Тихонов, Самарский, 1977].
22
. ® . + fhx+ h2 Л® V = Л+V + ' 1 2
(h, + h2\ , ,
(a) 1
(6)
-4
Co = -4 Q = 1
1#
-4
• 1
C2gr C1 C2
1
(в) C1
Co
C2 C1 C2
C0 = -4; C1 = 4/5 = 0.8; C2 = 1/5 = 0.2;
(12)
C1
(нх = Н2 = Н),
где Л® - дискретный оператор Лапласа на шаблоне "ящик";
Л+ - дискретный оператор Лапласа на шаблоне "крест";
Л1 - вторая разделенная разность в направлении оси х;
Л2 - вторая разделенная разность в направлении оси г;
Очевидно, однако, что необходимо иметь существенно более общую конструкцию дискретных операторов Л, а также стандартный (общий) "показатель качества", характеризующий различные дискретные операторы Л и позволяющий сравнивать их между собой по точности. Такие конструкции дискретных операторов разработаны в [Страхов, Арсанукаев, 2001] и в следующих публикациях будут приведены компьютерные технологии восстановления элементов потенциальных полей с использованием различных по точности аппроксимаций дискретного оператора Лапласа. Пока что отметим, что коэффициенты С0 = -4, С1 = 0.8, С2 = 0.2 для классического "ящи-
Рис. 3. Дискретный оператор Лапласа на шаблонах: (а) - "прямой крест"; (б) - "косой крест"; (в) - "ящик 1-го порядка".
ка" (12) и для "ящика первого порядка" (по классификации, принятой в упомянутой выше работе) совпадают.
И, наконец, третий шаг в построении теории дискретного гравитационного поля состоит в выделении основных решаемых задач.
Как указано в работе [Страхов, Арсанукаев, 2002] всего можно выделить четыре основных задачи:
1) задача восстановления дискретной функции и(х, г) в горизонтальном слое Н < Ъ < QН, расположенном целиком выше источников поля;
2) задача формального аналитического продолжения дискретной функции Ц.(х, г) в горизонтальный слой, но при этом в этом слое заведомо находятся источники поля;
3) задача восстановления дискретной функции и.(х, г) в узлах сетки £р-(Н), принадлежащей некоторой многосвязной области; в общем случае в прямоугольной области П содержится п "купюр" -
односвязных дискретных областей , к = 1, 2,
..., п; в каждой из сеточных областей "купюр" расположены источники (сеточные массы) дискретного поля и.(х, г);
4) задача восстановления источников гравитационного поля в областях - "купюрах" - , по восстановленному в их внешности (в многосвязной области П с удаленными "купюрами" Бк )
1
1
1
дискретному гравитационному полю - в виде набора дискретных функций
ли используются сразу несколько различных аппроксимаций классического уравнения Лапласа:
Us (X, z ) = Vp, q(x, z) =
Э p + q V ( z )
dxpdzq
В данной статье была поставлена и решалась (на модельных примерах) первая задача, а именно: задача аналитического продолжения, в дискретной постановке, заданного в некоторой совокуп-
д V(x, z)
ности узлов сетки S2(h) поля —-- в заданный
о z
горизонтальный слой выше источников поля. Все программы, указанные в статье написаны на языке программирования "Fortran", а расчеты выполнены на персональном компьютере Pentium 3.
ОПРОБОВАНИЕ НА МОДЕЛЬНЫХ ПРИМЕРАХ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ДИСКРЕТНОГО ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
Прежде чем обратиться к различным модельным примерам, которые здесь будут представлять собой различные примеры областей, заполненных тяготеющими массами (прямой пласт, слоистая структура, наклонный пласт) бесконечного простирания в направлении оси у, подытожим в виде сводки ос
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.