ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 3, с. 414-423
УДК 519.624.2+517.589
ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ МАТЬЕ И СВЯЗАННЫХ С НИМИ ВЕЛИЧИН1-*
© 2007 г. А. А. Абрамов, С. В. Курочкин
(119991 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН) e-mail: alalabr@ccas.ru; kuroch@ccas.ru Поступила в редакцию 03.10.2006 г.
Для уравнения Матье рассматриваются следующие вопросы: нахождение собственных значений с нужным номером (с использованием осцилляционных теорем для возникающих разностных уравнений); устойчивость решений разностных уравнений; корректное определение и вычисление собственных значений и функций Матье с нецелым номером; корректное определение и вычисление характеристического показателя Матье; вычисление значений решений уравнения Матье для больших значений аргумента. Для численного решения указанных проблем предложены вычислительные алгоритмы. Библ. 14. Фиг. 5. Табл. 1.
Ключевые слова: функции Матье, осцилляционные теоремы, рекуррентные формулы, численная устойчивость.
1. ВВЕДЕНИЕ
Уравнение Матье
У + (p - 2qcos2t)y = 0, (1.1)
где -га < t < га, p, q - вещественные числа, играет важную роль во многих разделах математической физики и в течение долгого времени является объектом систематического исследования. Основные факты, касающиеся уравнения (1.1), представлены в классических руководствах [1], [2]. Современные работы сосредоточиваются на конкретных вопросах: получение асимптотических представлений для собственных значений (СЗ) при малых и больших значениях q (см. [3], [4]), аппроксимация, нормировка и автомодельное поведение для СЗ (см. [5]), а также на различных вычислительных аспектах (см. [6]-[8]), включая вычисление СЗ в случае невещественного q (см. [9]). В данной работе рассматривается ряд вопросов как аналитического, так и вычислительного характера, до настоящего времени остававшихся не полностью исследованными.
Содержание статьи следующее. В разд. 2 дается корректное определение СЗ и функций Матье с произвольным (неотрицательным) вещественным номером. Предложен метод вычисления СЗ и собственных функций (СФ) с заданным номером. Отыскание хорошего приближения к СЗ для последующего применения методов типа Ньютона является трудной самостоятельной задачей (это отмечено, в частности, в [5]). Предложенный в настоящей статье метод не требует предварительного поиска приближенного значения. Метод основан на одной осцилляционной теореме для возникающих разностных уравнений, которая, как и соответствующая возможность непосредственного нахождения СЗ и СФ, является новой уже для случая классической периодической задачи Матье. В разд. 3 исследуется аналитическая зависимость характеристического показателя задачи (1.1) от параметра p, в результате чего получается другая (эквивалентная предыдущему определению) характеризация СЗ с произвольным вещественным номером, а также метод его вычисления. Далее, проведенный анализ приводит к корректному определению характеристического показателя Матье, основанному на конструкции аналитического продолжения. При этом устраняется (якобы имеющаяся) его неоднозначность с точностью до слагаемого вида 2k, где k - произвольное целое. В этом вопросе в литературе распространены ошибочные представления, которые также воспроизводятся в некоторых известных современных математических пакетах. В разд. 4 предложен метод устойчивого вычисления значений решения уравнения (1.1) для больших значений аргумента t. В разд. 5 кратко описана численная реализация предложенных методов и приведены примеры расчетов.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 05-01-00257).
2. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ФУНКЦИИ МАТЬЕ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ (НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМ) ВЕЩЕСТВЕННЫМ НОМЕРОМ
В классической постановке задачи на СЗ для уравнения (1.1), где р - спектральный параметр, ставятся условия периодичности или антипериодичности на промежутке [0, п]. Соответствующие СЗ образуют возрастающие последовательности an, n = 0, 1, ..., bn, n = 1, 2, ..., соответственно, для четных и нечетных решений уравнения (1.1). Получающиеся при этом СФ - четные ce2m (периода п), ce2m + i (периода 2п) и нечетные se2m (периода п), se2m + i (периода 2п) - имеют по m нулей на интервале (0, п/2). Обобщение этих понятий на нецелые рациональные номера СЗ (см. [1]) достигается с использованием кратных периодов, при этом СЗ оказываются двукратными (ац = Ьц при | е Q\Z; далее для таких СЗ будем использовать обозначение рц). Для обобщения на случай произвольных (иррациональных) | далее предложена конструкция, существенно уточняющая известное определение, основанное на теореме Флоке (см., например, [10]).
Этот вопрос может быть поставлен также следующим образом. При q = 0, 0 < р = |2 функции y1(t) = cos |t и y2(t) = (sin |t)/| являются решениями уравнения Матье. Как продолжить эти решения на значения q Ф 0? Отметим, что при целом положительном | в качестве таких функций возникают функции Матье ce^(t) и se^(t). Важно, что в этой задаче при q Ф 0 числор уже не является заданным, здесь возникает задача на СЗ.
В данном разделе с целью технических упрощений сделаем в (1.1) замену q —► -q, что приводит к следующей форме уравнения Матье:
y" + (р + 2 q cos2t) y = 0. (2.1)
Достаточно рассмотреть случай q > 0. Случай q < 0 приводится к рассматриваемому заменой t —- t + п/2.
Пусть 0 < р = |2 и q = 0 в (2.1). Уравнение (2.1) имеет решение вида
y (t) = e1. (2.2)
При фиксированном | продолжением по q, q Ф 0, решения вида (2.2) естественно считать функцию, полученную следующим образом (см., например, [11]). Надо найти такое р = р(|), при котором уравнение (2.1) имеет решение Флоке вида F(t) = e'ltP(t), где P(t) является п-периодичной, P(t) Ф 0.
Исследуем полученную задачу. Представив P(t) = ckeí2kt, получим
(| + 2kfck - q(c¿-i+ c¿ +i) = pck, k = 0, ±1, ±2, .... (2.3)
Из (2.3) видно, что временно можно положить 0 < | < 2, так как изменение | на четное целое число может быть компенсировано сдвигом в последовательности индексов и не меняет свойств возникшей задачи. Однако (ср. [10]) имеется единственный естественный выбор этого слагаемого. Далее однозначность будет восстановлена.
Задача (2.3) - спектральная задача в гильбертовом пространстве двусторонних последовательностей {ck} таких, что £+°=-M|ck|2 < со скалярным произведением ({ck}, {dk}) = = ckdk.
Исследуем некоторые ее свойства. Возьмем какое-либо вещественное Q большее, чем 2q. Приведем (2.3) к виду
((| + 2k )2 + Q) ck - q (ck-i+ ck +i) = Xck, k = 0, ±1, ±2, ..., X = р + Q. (2.4)
Оператор в левой части имеет вид L + S, где L эрмитов и положительно определен, L1 вполне непрерывен, |L 11 < 1/Q, S эрмитов, |S| = 2q. Тогда (L + S)-1 = L-1/2(I + L-1/2SL-1/2)-1L-1/2, |L1/2SL"1/2| <
< —— 2q —— < 1. Поэтому (I + L_1/2SL_1/2)_1 существует и ограничен. Следовательно, (L + S)-1 суще-QQ
ствует и вполне непрерывен, а спектр L + S дискретен и собственные элементы оператора L + S образуют базис. Так как все нужные р суть СЗ эрмитова оператора, то они вещественны; следовательно, можно ограничиться вещественными {ck} (если {ck} - решение уравнения (2.3), то {ck + ck} и '{ck - ck } - решение уравнения (2.3)). Далее все величины считаются вещественными.
Из (2.3) имеем
£ (| + 2к)24 + £ ^(с^ +1- ск)2 = (р + 2^) £ с^. к = —^ к = —^ к = —^ Для самого левого СЗ задачи (2.3) (обозначим его через р1) получаем
р1 = -2д + шт<
£ (| + 2к)2с2к+ £ (Ск +1- Ск)2 / £
1-к = к = -
к=
Отсюда сразу следует, что р1 > -2^. Так как (ск + 1 - ск)2 > (|ск + 1| - |ск|)2, то нужные для минимума величины ск все либо неотрицательны, либо неположительны. Подряд двух ск и ск + 1, равных нулю, быть не может, так как формула (2.3) трехчленная и все ск стали бы нулями. Ситуации ск = 0, ск + 1ск - 1 > 0 также быть не может (см. (2.3)). Поэтому для р1 все ск отличны от нуля и одного знака (без ограничения будем считать их положительными). Отсюда следует некратность р1 (далее мы увидим, что каждое СЗ задачи (2.3) некратное).
Достаточно полное исследование нужных нам свойств задачи (2.3) может быть проведено теми же методами, которыми исследовалась аналогичная задача в [12]. Поэтому мы ограничимся формулировками нужных нам выводов и фиксацией возникающих численных алгоритмов.
Каждое СЗ задачи (2.3) некратное. Через рт обозначим т-е (при перечислении слева направо) СЗ задачи (2.3). Тогда соответствующаярт последовательность ск имеет т - 1 перемен знака (т.е. ровно в т - 1 местах имеет место скск- 1 < 0 или ск = 0, ск- 1ск + 1 < 0), ситуация ск = 0, ск- 1ск+1 > 0 невозможна. Из (2.3) получаем
— = -1-, (2.5)
'к-1 мк
где Мк = [(|+ 2к)2 - р]/д. Пусть а < р < р. Возьмем такое ку, что [(|+ 2к)2 - в]/д > 2 при к > ку. Тогда при а < р < в л к > ^ непрерывная дробь
1
Мк -
Мк +1 -
к+1 Мк+2-...
сходится, ее значение - непрерывная положительная неубывающая функция р, обозначим ее через ф(р); ск/ск - 1 = ф(р) при к = ку. Аналогично получаем ск- 1/ск = у(р) при к = -ку - 1, у(р) - непрерывная положительная неубывающая функция. Поэтому задачу (2.3) можно решать не при к = = 0, ±1, ±2, ..., а при -ку< к < kf- 1, используя "граничные условия"
ску/ску-1 = Ф(р), с- ку-1/с-ку = ¥(р). (2.6)
Используя приведенные утверждения, получаем следующий алгоритм решения задачи (2.3). В соответствии с пояснениями к формуле (2.3) берем 0 < | < 2. Фиксируем т. Пусть из каких-то соображений мы знаем оценку а <рт < р. Для этого в определяем ку. Берем какое-либор из указанного диапазона. Вычисляем (приблизительно, оборвав ценные дроби) значения ф(р) и у(р). Вычисляем по (2.5) значения ск + 1/ск до к0, близкого к нулю. Аналогично слева направо вычисляем ск/ск + 1. Значение к0 берем таким, чтобы (с^ +1/ск )г - значение, вычисленное при счете справа
налево, и (ск /ско +1 ) - значение, вычисленное при счете слева направо, были бы положительными. Тогда верно следующее:
- суммарное (от -ку - 1 до ку) число перемен знака в {ск} больше т - 1 ^ р > рт;
- суммарное число перемен знака в {ск} меньше т - 1 ^ р <рт;
- суммарное число перемен знака равно т - 1 и (ско + 1/ск )г(ск /ско +1 )1 > 1 ^ р >рт;
- суммарное число перемен знака равно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.