научная статья по теме ВЫЧИСЛЕНИЕ СФЕРОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ I РОДА ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЗНАЧЕНИЙ АРГУМЕНТА И ПАРАМЕТРОВ Математика

Текст научной статьи на тему «ВЫЧИСЛЕНИЕ СФЕРОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ I РОДА ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЗНАЧЕНИЙ АРГУМЕНТА И ПАРАМЕТРОВ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 5, с. 798-806

УДК 519.624.2

ВЫЧИСЛЕНИЕ СФЕРОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ I РОДА ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЗНАЧЕНИЙ АРГУМЕНТА И ПАРАМЕТРОВ

© 2015 г. А. А. Абрамов*, **, Е. Д. Калинин*, **, С. В. Курочкин*

(* 119991 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН; ** 141700Долгопрудный, М. о., Институтский пер., 9, МФТИ) e-mail: alalabr@ccas.ru; e.kalinin@inbox.ru; kuroch@ccas.ru Поступила в редакцию 06.11.2014 г.

Предложены методы: а) нахождения собственных значений волнового сфероидального уравнения с комплекснозначными параметрами, расположенных в заданной области комплексной плоскости; б) вычисления значений соответствующей функции для комплексных значений аргумента. Библ. 8. Фиг. 2. Табл. 2.

Ключевые слова: волновые сфероидальные функции, спектральная задача, рекуррентные формулы, численная устойчивость.

DOI: 10.7868/S0044466915050038

ВВЕДЕНИЕ

Сфероидальные функции играют большую роль в математической физике (см., например, [1]). В настоящее время существенной является задача вычисления этих функций для комплексных значений параметров и аргумента (см., например, [2]—[5]). Для этого случая в настоящей работе рассматриваются следующие вопросы: вычисление собственных значений возникающей спектральной задачи и вычисление сфероидальной функции I рода при значениях аргумента, не превосходящих или несущественно превосходящих по абсолютной величине единицу.

1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

В комплексной области рассматривается уравнение

j(( 1 - z ) j) + (х + 40( 1 - z ) - и = 0, (1.1)

dZ dZ 1_z

где X, 0, m — комплексные параметры уравнения, 0 и m заданы. Это уравнение имеет три особые точки: +1 и —1 — регулярные точки с показателями ±m/2, и да — иррегулярную точку. В регулярных точках соответствующие два линейно независимых решения ведут себя следующим образом:

и1,2(z) ~ (1 _ z2)±m/2 при m Ф 0 ,

u1(z) ~ const, и2(z)~ ln(1 _ z ) при m = 0.

Так как в уравнение входит только m2, то без ограничения общности можно считать, что Re(m) > 0. Далее предполагаем, что Re(m) > 0 или m = 0. Случай Re(m) = 0, m Ф 0, не рассматривается, так как тогда каждое решение уравнения (1.1) ограничено в окрестности точек +1 и —1 и рассматриваемая далее спектральная задача не возникает.

Сфероидальная функция I рода определяется как нетривиальное решение уравнения (1.1), ограниченное в окрестности точек + 1 и —1. Эта функция может быть неоднозначной. При заданных 0 и m тем самым возникает спектральная задача, в которой X — спектральный параметр.

Переходя к новой искомой функции (см. [1])

v( z) = и (z) / (1 _ z2 )m/2, (1.2)

получаем уравнение

(1 - г2К' - 2(т + 1)zV + [X - т2 - т + 40( 1 - г2)] V = 0. (1.3)

Требование ограниченности функции ы^) в окрестности точек +1 и —1 эквивалентно тому, что v(z) — целая функция.

Далее будут использоваться функции Рт + г (¿), г — целое, связанные с присоединенными функциями Лежандра (см. [1], [6]) Рт + г следующим образом:

Рт + г (г ) —

2г"г2(т+11))рт+г(г), г — о, 1,2,...,

Г( 2 т + 1) 0, г — -1, -2,..

В частности,

Рт(г) — (1 - г2)т/2, Рт + 1(г) — (2т + 1)(1 - г2Г\

Из известного рекуррентного соотношения для Р^ + г и формул для Рт и Р„, + г (z) следует, что функции Рт + г (¿) удовлетворяютрекуррентномусоотношению

(г + 1)Рт+г +1 (г) — (2т + 2г + 1)гРт + г(г) - (2т + г)Рт+г - 1(г) для целых г, г = 0, ±1, ±2, ... .

Далее, в соответствии с [1], функция ы^) будет представляться разложением в ряд по функциям рт + г (¿), а v(z) — по соответствующим многочленам рт + г где Рт + г (z) = (1 - z)2pm + г (z) (в частности, рт (z) = 1, рт + г = (2т + 1)z), для которых рекуррентная формула, очевидно, та же:

(г + 1 )рт + г +1 (г) — (2т + 2г + 1)грт + г(г) - (2т + г)рт + г-1 (г). (1.4)

Такое разложение имеет место и в том случае, когда т, 0, X, z комплексные.

Уравнения (1.1) и (1.3) не меняются при замене z на —z, поэтому достаточно рассматривать случаи:

и (г), v(z) — четные функции, (1.5)

и (г), v(г) — нечетные функции. (1.6)

Тогда получаем (см. [1])

V (г) — ^ +г( г), (1.7)

где суммирование ведется по г = 0, 2, 4, ... для случая (1.5) и по г = 1, 3, 5, ... для случая (1.6). Коэффициенты разложения удовлетворяют следующей рекуррентной формуле (для обоих случаев):

ла+2 + (вг - хк + са - 2 — о, (1.8)

где

л — 4 0 ( 2 т + г + 2 ) ( 2 т + г + 1 ) г (2 т + 2г + 3 ) ( 2 т + 2 г + 5 ),

Вг — (т + г)(т + г + 1) - 8 0((г + т) (г + т + 1 ) + т2 - 1 ), г > 1, г У ' (2т + 2г + 3)(2т + 2г - 1)

о ( , 1) 80(т+1)

Во — т(т + 1) -—5.--1

2т + 3

(1.9)

(упрощение (2т2 + т — 1)/(2т — 1) = т + 1 существенно при т = 1/2),

= -4Мг-!)-, г > 2, с0 = С1 = 0.

г (2т + 2г - 3)(2т + 2г - 1) 0 1

При г = 0 и г = 1 формула (1.8) принимает вид

ЛЛ+2 + В - X) йг = о. (1.10)

При 0 Ф 0, если не учитывать (1.10), то в двумерном пространстве возникающих для (1.5) и (1.6) последовательностей йг некоторое одномерное пространство содержит последовательности, стремящиеся к нулю очень быстро: г24г+ 2/4г —»- — 0; остальные последовательности очень быстро растут: (4г+1/4г)/т2 —»- — 0. Собственные значения X выделяются совокупностью условий: (1.10) и ИШг ^ ^г+2/4 = 0.

Если нужное собственное значение вычислено, то для вычисления v(z) (и затем по формулам (1.2) и(г)) используется ряд (1.7). Его члены вычисляются с использованием рекуррентных формул (1.4), (1.8) (важные детали такого использования см. ниже в разд. 3), частичные суммы этого ряда — многочлены.

При больших г рекуррентная формула (1.4) имеет предельный вид

Рт + г + 1( = 2%Рт + г ) - Рт + г - 1 ),

откуда следует, что для больших \г\ значения рт + г (г) растут не быстрее \2г\г. Поэтому ряд (1.7) равномерно сходится в любой ограниченной области комплексной плоскости и тем самым действительно дает целую функцию.

Отметим, что если 0 = 0, то мы получаем ответ без всех описанных вычислений: для любого целого неотрицательного г получаем X = (т + г)(т + г + 1), у(г) = рт + г (г).

Далее полагаем, что 0 Ф 0.

Для представления искомой функции v(z) мы использовали ряд (1.7). В настоящее время используются более общие разложения (см., в частности, [3], [4], где разложение содержит свободный параметр V), ряд (1.7) и остальные используемые нами формулы — частный случай, получаемый, если взять V = т и положить рт + г (г) = 0 при целом отрицательном г. При этом некоторые формулы упрощаются, в частности, не возникает рядов, в которых индекс суммирования меняется от —да до +да.

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ

Представим 4г = - 0г/2 с1г для случая (1.5), 4Г = 1 0(г -1)/2 Сг для случая (1.6). Мы получим г! г!

ЯЯ+2 + В4г + СгЯ - 2 = о, (2.1)

где при г > 2 имеем

Л = _Л г0_ В = В г - Х С = С-

г = ( г - 1) г(г + 1) (г + 2 ), г = г( г - 1), г =0 ,

Яо = , Во = В0 - X, Л1 = —, В1 = В1 - X, Со = С = 0. 2 6

Здесь Аг —► 0, Br —► 1, Cr —1 при r—► да. Нужно выделить последовательность, для которой

lim = -1.

Для каждого из случаев (1.5), (1.6) фиксируем гш, одно и то же для всех исследуемых далее X, четное для случая (1.5), нечетное для случая (1.6). Положим

С1гт = 1, Сг„ - 2 = -1.

г^ +» d

г

По формуле (2.1) вычисляем -4, -6, .... Эти вычисления проводятся численно устойчиво, так как последовательности, не пропорциональные той, которую мы хотим вычислить, для больших г растут слева направо и, следовательно, справа налево убывают; численная погрешность в

выборе drm и в выкладках убывает для больших г при счете справа налево. Вычисления реализуемы, так как Сг Ф 0 для всех г > 2.

Для взятого Х окончательно получим

W(X) = + Шо для (1.5), ЩХ) = Лк^ + для (1.6).

Очевидно, Ж(Х) в обоих случаях (2.2) — аналитическая функция. Соотношение Ж(Х) = 0 предельно при гш —»- да эквивалентно тому, что X — собственное значение.

В случае если 0 вещественное и т целое, собственные значения задачи являются вещественными; они естественно нумеруются (см. [1]) и естественной является задача: найти собственное значение с заданным номером (метод решения этой задачи см., например, в [7]). В работе [5] предложен метод вычисления собственных значений Х(0) в случае целых неотрицательных т и комплексного 0. В рассматриваемом сейчас общем случае нет способа как-либо "занумеровать" собственные значения. Поэтому задача вычисления собственного значения с заданным "номером" заменяется следующей задачей. Зафиксируем в комплексной плоскости ограниченную область Q с кусочно-гладкой границей Г. Предположим, что Г не содержит собственных значений (что будет иметь место в "общем положении"). Нужно найти все собственные значения, лежащие в Q.

Предлагаемый метод решения этой задачи состоит в следующем. Имея возможность вычислить значения функции Ж(Х) на Г и пользуясь известными формулами теории функций комплексного переменного, составим систему уравнений для собственных значений, лежащих в Q.

Так как Ж(Х) не обращается в 0 на Г, то имеют место следующие формулы (см., например, [6]):

1 р ащ W(X) = п, (2.3)

г

п

2П |х^1и W(X) = V Х^. (2.4)

г

г = 1

Здесь п — число собственных значений (т.е. нулей функции ЩХ)), лежащих в Q; Х1, ..., Хп — эти собственные значения (кратные нули функции Ж(Х) считаются нужное число раз), к = 1, 2, ...; мы берем далее к = 1, 2, ... п после вычисления п; при интегрировании контур Г проходится так, что Q остается слева.

Далее рассматриваем случай, когда Г состоит из одной замкнутой кривой; обобщение на случай, когда Г состоит из нескольких таких кривых, очевидно.

На Г выбираем сетку р0, ... = р0. Заменив интеграл (2.3) соответствующей суммой, вычислим число ¿0,:

^ = ± V ащ ^) . (2.5)

0 1) ( )

s = 1

Точки р0, ... = для однозначного вычисления -1) должны для всех 5 удо-

влетворять условию |аг§Ж(р')/< п при р' и р", лежащих на дуге . Если нет собствен-

ных значений, близких к Г, то сетку можно взять достаточно грубой. Мы получим п = ¿0. После этого для к = 1, ..., п, аппроксимируя (2.4), вычисляем

М к к ли ч

^ = ^ V Ьк±Нк_11п. (2.6)

к 2 W(ц,_ 1)

5 = 1

Здесь мелкость сетки определяется уже не только требованиями, которые указаны при вычислении Б0, но и требованием получить необходимую малую погрешность в ответе. Отметим высокий порядок то

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»