КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА
УДК 517.925+531.38
ВЫЧИСЛЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ РЕШЕНИЙ МОДИФИЦИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ ОДУ Н.КОВАЛЕВСКОГО АЛГОРИТМАМИ СТЕПЕННОЙ ГЕОМЕТРИИ
© 2011 г. А. Б. Арансон НИИ Дальней Радиосвязи 107258 Москва, 1-я ул. Бухвостова, 12/11 E-mail: aboar@yandex.ru Поступила в редакцию 12.10.2010
Продолжается вычисление степенных разложений решений системы ОДУ Н.Ковалевского алгоритмами степенной геометрии. Система Н.Ковалевского это система двух нелинейных неавтономных ОДУ. Ранее А.Брюно, В.Лунёв, И.Гашененко алгоритмами степенной геометрии вычислили различные разложения решений этой системы во всех случаях, когда независимая переменная стремится к нулю и бесконечности. Теперь рассматриваются случаи, когда независимая переменная стремится к отличной от нуля и бесконечности константе. Для этого в независимой переменной выделена постоянная часть, являющаяся новым параметром, а разложение ведётся по оставшейся переменной части. Алгоритмами степенной геометрии вычислены степенные разложения решений такой системы. Также сделана реализация применённых алгоритмов на языке системы символьных вычислений Maxima и на языке программирования C+—Ъ
1. ВВЕДЕНИЕ
1.1. Уравнения Эйлера-Пуассона
Система уравнений движения тяжёлого твёрдого тела с неподвижной точкой имеет вид [1]
dp
Adt = (B - C)qr - Mg{z°Y2 - y°Y3),
dq
B— = (C - A)rp - Mg(xoY3 - zoYi),
dr
C— = (A - B)pq - Mg(yoYi - X0Y2),
dYi dt dY2 dt dY3 dt
(1.1)
= rY2 - qY3, = PY3 - rYi, = qYi - PY2,
где переменная t — время, А, В, С — главные моменты инерции твёрдого тела, которые удовлетворяют неравенствам треугольника
А > 0, В > 0, С > 0, А + В ^ С, А + С ^ В, В + С ^ А,
Мд — вес тела, x0, у0, го — координаты центра масс твёрдого тела в системе координат, связанной с телом, р,ц,г — проекции вектора угловой скорости на оси координат, связанные с телом, 71,72,73 — направляющие косинусы вертикали в системе координат, связанной с телом. Система уравнений (1.1) имеет три первых общих интеграла
Ap2 + Bq2 + Cr2-
- 2Mg(xoYi + yoY2 + Z0Y3) = h = const, ApYi + BqY2 + CrY3 = l = const, Yi2 + Y22 + Y3 = 1.
(1.2)
Это интегралы энергии, момента и геометрический. Первые два интеграла следуют из общих теорем механики.
Возьмём такую систему единиц, что Мд = 1. Остаётся 6 параметров : А, В, С, жо, уо, ¿о и два значения интегралов (1.2): Н и I.
1.2. Уравнения Н.Ковалевского
Для случая
В = С, жо = 0, уо = ¿о = 0 (1.3)
Н. Ковалевский [??] предложил рассматривать р как независимую переменную и ввёл новые зависимые переменные
а = (B - C)q2/A, т = (B - C)r2/A.
Тогда
и два первых интеграла
г í ч def da dT ,
/э(а, т, р) = —т - а— + ci + С2Р+ + Сэ ра + С4рт + С5Р =0,
/4 (а'т'р) d=f di( I)т+аШ +
+ d2 + ^эа + d4T + d5a2 + dep^^T+
ар
+ а7ра^Т + dg ат + dgT2 + diop2+ dp
+ dnpV + а12р2т + di3p4 = 0,
где коэффициенты а1,..., а5, bi,..., b5, ci,..., c5, di,..., di3 равны
(1.7)
^ = VАа/(В - С), г = ^Ат/(В - С). (1.4)
В результате подстановки (1.4) в первые три уравнения системы (1.1) и в первое уравнение системы (1.2) получим d ,— d
, /ат—, dt dp
Y3 =
Y2 =
Yi =
B
A
2жо V B - C V dp
C
dа C - A ,- ,
— л/т - 2—-— \/тр ,
A
2жо V B - C
dт 2
dp
B AB
C
л/ар
(h
2xo V B - C
<t —
AC B — C
т - Ap2
(1.5)
Подстановки (1.4) и (1.5) в четвёртое уравнение системы (1.1) делают это уравнение тождеством. Теже подстановки в пятое и шестое уравнения системы (1.1) и во второе и третье уравнения системы (1.2) преобразуют их в систему двух уравнений
/ (а т ) d=f d2ат +1 dа dт + ^ + ' ' dp2 2 dp dp
dт 2
+ а2а + аэр— + 04т + а5р = 0 , dp
def
/2(а,т,р) = аор2 + 2 dpdp + b i+
, d^ , 2 + »2^^ + Ьэа + 64т + b5p =0 dp
1 dа dт
2 dp dp
(1.6)
а i = -z/y, а2 = ж/(y - 1), аз = (ж - 2)/y,
а4 = (2жу + 2 - ж - 2y)/(y(y - 1)),
05 = (3ж - 2y)/y;
6i = -z, b2 = 2y - ж,
Ьз = (2y2 + 2ж - 2y - жу)/(у - 1),
b4 = ж/(у - 1), b5 = 3ж - 2;
c i = -2(y - 1)A£/(жу), С2 = z(y - 1)/y,
Сэ = ж - 2у, С4 = (ж - 2)/у,
С5 = ж (у - 1)/у;
d i = у2, d2 = (z2 - 4£2m)(y - 1)/ж, dэ = -2yz, d4 = -2z, d5 = жу2/(y - 1), d6 = -4(1 - ж)у, d7 = -4(ж - y), dg = 2жу/(y - 1), dg = ж/(y - 1), d io = -2z(y - 1), d 11 = 2(2ж2 - Зжу + 2y2), d 12 = 2(2 - Зж + 2ж2), d 1 э = ж(у - 1);
(1.8)
а параметры ж, y, z, A, £ выражаются через параметры систем (1.1) и (1.2)
ж = A/C, y = B/C, z = h/C,
A = l/C, £ = жо/C, m = 1.
С помощью алгоритмов степенной геометрии А.Брюно, В.Лунёв, И.Гашененко [3] вычислили различные разложения решений системы (1.6) во всех случаях, когда независимая переменная р ^ 0 и р ^ то. Некоторые из полученных решений были известны ранее, другие решения были вычислены впервые.
1.3. Сдвинутые 'решения уравнений Н.Ковалевского
Теперь вычисляются степенные разложения решений системы (1.6), когда независимая переменная p ^ po, где
p0 = const € C, 0 = po = то.
Для этого введём новую переменную p = p - 'po. Тогда условию p ^ po соответствует условие p ^ 0. После подстановки p = p + po в системы (1.6) и (1.7) получим уравнения
f (a r ~) d= f + da dr /2 ' ' \ dp2 dp dp
f dr _ \ dr
+ аз— p + a^r + a2a + аз po — + \ dp J dp
+ a5p2 + 2a5pop + (a5po + a i) = 0 , def ^ d2r + da dr dp2 dp dp'
f2(a,r,p) = (a— + ^^/2) +
(1.9)
+ ( b2 ^p + ЬзИ + b2po ^ + b4r+ \ dp J dp
+ b5p2 + 2b5pop + (b5po + b i) = 0
и первые интегралы
¡з(а, т,р) а= ^^г - + сзаР + сзРо^+
32 + С4Тр + С4 Рот + С5р + 3С5Рор +
+ (3С5р0 + С2) р + (С5р0 + С2ро + с 1) = 0,
Тр) т+ч^) +
/ , "ст , "т\
+ "бРо^зт + d7Роа— + \ dp "р)
+ ( "б "^тр + "7а"тр + "встт ) + \ "р "р )
+ "5СТ2 + "от2 + "11СТр2 + 2"11РоСТр+ + "12тр2 + 2"12Ротр + ("пР2 + "3) + ("12Ро + "4) т + "13}54 + 4"1зРо}53 + + (6"13Р2 + "ю) р2 + (4"13Р3 + 2"юРо) р+
+ ("13Р4 + "1оР2 + "2) = 0,
(1.10)
где р — новая независимая переменная.
Для системы уравнений (1.9) при р ^ 0 вычислим степенные разложения её решений вида
a
pa |ao + Е aj j j=i
(1.11)
=
p ro + ^ rj p
jA
j=i
где ao,aj,ro,rj € C, ao,ro = 0, а, в, A € Q, A > 0. Это можно сделать с помощью алгоритмов степенной геометрии. Эти алгоритмы состоят из большого количества вычислений, в том числе символьных. Поэтому для реализации этих алгоритмов написаны процедуры на языке системы символьных вычислений Maxima и образцы скриптов на этом же языке для вычислений по алгоритмам степенной геометрии.
2. УКОРОЧЕНИЯ И НОРМАЛЬНЫЕ КОНУСЫ СИСТЕМ (1.9) И (1.10)
Уравнения систем (1.9) и (1.10) являются суммами конечного числа слагаемых. Слагаемые являются произведениями обычных мономов на конечное число производных. Такие слагаемые называются дифференциальными мономами. В дальнейшем слово дифференциальный будем опускать.
Введём пространство R2+i векторов Q = (qi,q2,q3) векторных показателей степеней мономов уравнений систем (1.9) и (1.10). Коэффициентам aj, bj, Cj, dj, po и полиномам от этих коэффициентов соответствует векторный показатель Q(const = 0) = (0, 0,0). Степенным функциям соответствуют векторные показатели Q(aqi) = (qi, 0, 0), Q(rq2) = (0,q2, 0) и Q(pq3) = (0, 0, q3). Производным соответствуют векторные показатели Q(dla/dp1) = (1,0, -1) и Q(dlr/dpl) = (0,1, -1). Векторный показатель степени монома равен сумме векторных показателей степеней входящих в моном множителей.
Множество векторных показателей степеней мономов уравнения называется носителем уравнения.
Чтобы вычислять векторные показатели степеней мономов и носители для систем с конечным числом уравнений в виде сумм из конечного числа мономов написана функция на языке системы символьных вычислений Maxima [4]. Этой
те
те
функции в качестве параметров передаются система уравнений и список переменных, причём независимая переменная в этом списке должна быть последней. Результатом работы процедуры является список векторных показателей и суммы мономов с такими показателями.
С помощью этой функции для мономов уравнений систем (1.9) и (1.10) вычислены векторные показатели:
$(^2ст^р2)т) = д((^р)^т^р)/2) = $1,
$(аз^т^р)р) = $(а4т) = $2, $(«2ст) = $з, $(азро^т^р)) = $4, $(а5р2) = $5, $(2а5рор) = $6, $(а5р° + «1) = $7, $(ст^2т^р2)) = $((^р)^т^р)/2) = $1,
$(б2(^р)р) = $(Ьзст) = $(&2ро^СТ^р)) = $8, $(^4Т) = $2,
$(Ь5Р2) = $5, $(2Ь5РоР) = $6, $(^0 + Ь1) = $7,
$(^СТ^р)т) = $(-СТ^Т^р)) = $9, $(сзСТр) = $10, $(сзрост) = $3, $(С4Тр) = $11, $(С4РоТ) = $2, $(С5рз) = $12, $(3С5Рор2) = $5, $((3С5Р2 + С2)р) = $6, $(С5Ро + С2Ро + С1) = $7,
$№(^р)2т) = $13, $(ст^Т^р)2) = $14,
$^ро^ст^р)т) = $^рост^т^р)) = $9, $^6^ст^р)тр) = $^7ст^т^р)р) =
= $^8СТТ) = $15, $^5СТ2) = $16, $^Т2) = $17, $^цСТр2) = $18,
$^простр) = $1о, $№2тр2) = $19, $^12Ротр) = $11, $(^11 ро + dз)ст) = $з, $(№2рс) + d4)т) = $2, $№зр4) = $20,
$^1зрор3) = $12, $(М^р° + dlо)p2) = $5,
$(2^1зро + dlо)pоP) = $6,
$№зРо + dl0P0 + d2) = $7,
где $1 = (1,1, -2), $2 = (0,1,0), $з = (1, 0,0) $4 = (0,1, -1), $5 = (0,0,2), $6 = (0,0,1) $7 = (0, 0, 0), $8 = (1, 0,-1), $9 = (1,1, -1)
$10 = (1, 0,1), $11 = (0,1,1), $12 = (0, 0,3)
$13 = (2,1, -2), $14 = (1, 2, -2), $15 = (1,1, 0) $16 = (2, 0, 0), $17 = (0, 2, 0), $18 = (1, 0, 2) $19 = (0,1, 2), $2о = (0, 0, 4),
и носители 5(/1) = £1 = {$1, $2, $з, $4, $5, $6, $7}, 5(/2) = 52 = {$1,$2,$з,$5,$6,$7,$8}, 5(/з) = 53 = {$2, $3, $5, $6, $7, $9, $10, $11, $12}, 5(/4) = 54 = {$2, $3, $5, $6, $7, $9, $10, $11, $12, $13, $14, $15, $16, $17, $18, $19, $20}.
Некоторым различным мономам в одном уравнении соответствует один и тотже векторный показатель степени. Суммы таких мономов показаны в больших скобках. Пока предположим, что в уравнениях систем (1.9) и (1.10) для каждого векторного показателя носителей 51,..., 54 присутствует не менее одного монома. В дальнейшем это предположение будем уточнять.
Введём пространство М2+1 векторов Я = (п, г2,гз), двойственное пространству М2+1, т.е. определено скалярное произведение ($, Я) = д1г1 +
г2 + дзгз. Каждому вектору Я € М2+1 \0 в каждом носителе 5^, г' = 1, 2, 3, 4 соответствует граничное подмножество
5г',к = {$' | ($',Я) = тах ($,Я)} С 5*. (2.1)
Q€Si '
Граничному подмножеству 5соответствует укороченное уравнение
/г',д(ст,т,р) дз (ст,т,р) = °
3
$(дз(а,т,р)) € 5*/)Д.
где д3- (ст, т, р) — моном из / (ст, т, р).
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.