ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 11, с. 1880-1897
УДК 519.651
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТОЧЕК ВЕТВЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Предложен метод вычисления собственных значений 'тп(Ь, с) и собственных функций куло-новского волнового сфероидального уравнения в случае комплексных параметров Ь и с. Метод использует представление решения в виде комбинации разложений и их сшивку в одной точке. На основе обширного численного анализа показано, что определенные точки Ь, и с, являются точками ветвления второго порядка для функций 'тп(Ь, с) с различными номерами п1 и п2, так что собственные значения в этих точках являются двойными. Для высокоточного расчета точек ветвления Ь, и с, и двойных собственных значений использованы аппроксимации Паде, квадратичные аппроксимации Эрмита-Паде, метод конечных элементов и обобщенный итерационный метод Ньютона. Вычислено большое количество этих особых точек. Библ. 25. Фиг. 7. Табл. 3.
Ключевые слова: кулоновские волновые сфероидальные функции, вычисление собственных значений, точки ветвления собственных значений, аппроксимации Паде, квадратичные аппроксимации, обобщенный метод Ньютона.
Кулоновские волновые сфероидальные функции возникают в задачах квантовой механики, астрофизики, физики плазмы, теории химической связи, атомной физики и т.д. (см. [1], [2]). В частности, в квантовой механике эти функции возникают при исследовании уравнения Шрё-дингера, в задачах рассеяния, задаче двух кулоновских центров и в задаче трех тел.
Трехмерное уравнение Шрёдингера имеет вид
здесь А - лапласиан, ¥ - функция плотности вероятности, Е - энергия, а У(х) - функция потенциала.
При специальном виде потенциала уравнение (1.1) допускает разделение переменных в сфероидальных координатах п, ф), получаемых вращением вокруг осей симметрии плоской эллиптической системы координат.
Обозначим через / фокусное расстояние эллиптической системы, а ось г будем считать осью вращения. Тогда при вращении системы вокруг большой оси эллипса мы получим вытянутые сфероидальные координаты п, ф); их связь с декартовыми координатами точки (х, у, г) имеет вид (см. [3])
1. ВВЕДЕНИЕ
А¥(х) + 2[Е- У{х)]¥(х) = 0, х е
(1.1)
г = 2 £п, £е[ 1,~), п е [ -1, 1 ], фе[ 0, 2п).
Ь
1)Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 07-01-00295, 07-01-00503) и Программы < 3
ОМН РАН).
1880
При вращении эллиптической системы вокруг малой оси эллипсов получим сплюснутые сфероидальные координаты п, ф); их связь с декартовыми координатами точки (x,y, z) имеет вид
x = (^2+1)(1-п2) cos ф, y = (^2+1)(1-п2) sin ф,
z = ^п, 0,-), пе[-1, 1 ], фе[ 0, 2п).
Если потенциал п, ф) представлен в виде
т,п,ф) = -4{ 2 C(tp) 2 I (1.2)
d-1 п2 (52-1)(I-п2)J
то уравнение (1.1) допускает разделение переменных в вытянутых координатах. Здесь A(^), В(п) и С(ф) - некоторые функции координат п и ф соответственно. Аналогично, если потенциал п, ф) имеет вид
К(5.п.ф) = -4 {+ 2 2 i (1.3)
d1 52 + п2 К2 + 1)( 1-п2)
то уравнение Шрёдингера допускает разделение переменных в сплюснутых координатах. Выбирая решение ¥ в виде
= X(%) Y (п) Z (ф),
получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для функций X©, Y^), Дф). Запишем лишь уравнение для угловой функции Y^), в вытянутых сфероидальных координатах оно будет иметь вид
2
2
(1- п) ^ Y (п)
+ (Х - с2п2 + В(п)Y (п) = 0;
здесь ц и X - константы разделения, а параметр с определяется из равенства
2 Её2 С = —
где величины Е и ё заданы в (1.1) и (1.2), (1.3).
Будем рассматривать случай кулоновских функций, чему соответствует
ц = т = 0, 1, 2, ..., В(п) = Ьп. Сформулируем возникающую сингулярную задачу Штурма-Лиувилля.
Задача Р. Найти собственные значения X (далее СЗ) и собственные функции 7(п) (далее СФ) -ограниченные на отрезке п £ [-1, 1] решения кулоновского волнового сфероидального уравнения
2
(1- п2) тY (п)
+ ÍX- c2п2 + bп Y(п) = 0, m = 0, 1, .... (1.4)
v 1 - п '
Поставленная краевая задача имеет дискретный невырожденный бесконечный спектр Хп (т.е. каждому СЗ соответствует только одна СФ, см. [2]), соответствующие СФ Утч(с, Ь; п), Ц = 0, 1, ..., определенные с точностью до нормировки, называются угловыми кулоновскими сфероидальными функциями.
Аналитическое продолжение функции Утд(с, Ь; п) с отрезка п £ [-1, 1] на плоскость с двумя разрезами по вещественной оси, п £ -1] и п £ [1,(т.е. в звезду Миттаг-Леффлера функции Утд(с, Ь; п)), дает голоморфную в этой области функцию Утд(с, Ь; п). Радиальные кулоновские сфероидальные функции Птк(с, а; возникают при аналогичном рассмотрении уравнения для функции Х(^), когда Л© = а^.
При Ь = 0 задача Р превращается в задачу Штурма-Лиувилля, определяющую угловые сфероидальные функции 8т(с; п) (см. [2]-[7]), при этом
Утд(с, 0; п) = ^тп(с,п),
где п = q + т. Таким образом, кулоновские сфероидальные функции являются обобщением сфероидальных функций.
При фиксированном значении т в случае вещественных параметров Ь и с2 (т.е. при вещественном или чисто мнимом значении параметра с), согласно теории Штурма-Лиувилля (см. [8]), функции Ут(с, Ь; п) образуют базис в пространстве Х2(-1, 1), а все СЗ упорядочены по возрастанию:
'т, Ч +1 (Ь, с)>'т, Ч( Ь с ) .
В случае комплексных параметров Ь и с2 (т.е. когда параметр с не лежит на действительной или мнимой осях) оператор Шрёдингера становится несамосопряженным, поведение СЗ ^Ь, с) в зависимости от одного из параметров становится довольно сложным.
В настоящей работе разработан эффективный метод вычисления СЗ 'тДЬ, с) и угловых ку-лоновских сфероидальных функций Ут(с, Ь; п) при произвольных комплексных значениях параметров. Метод основан на построении разложений решения в особых точках п = 1 и п = -1 и на сшивке этих разложений в одной точке. Численно исследованы значения 'тДЬ, с) как функции комплексного аргумента с при фиксированном Ь и как функции комплексного аргумента Ь при фиксированном с. С помощью обширных высокоточных численных экспериментов показано, что при каждом выбранном т и Ь функции 'тДЬ, с) имеют особые точки с, - точки ветвления 2-го порядка. В этих точках склеиваются римановы поверхности двух функций 'тДЬ, с) и 'т, q + 2р(Ь, с) для одного из значенийр = 1, 2, ..., так что эти СЗ образуют двойное СЗ 'т<?(Ь, с,) = = 'т, q + 2р(Ь, с,). Аналогично, при каждом выбранном т и с функции 'тДЬ, с) имеют особые точки Ь, - также точки ветвления 2-го порядка, в которых склеиваются римановы поверхности двух функций 'т(Ь, с) и ч + Х(Ь, с), так что эти СЗ образуют двойное СЗ 'т<?(Ь,, с) = ч + Х(Ь,, с).
При разработке эффективных численных методов основным инструментом для нас служили квадратичные аппроксимации Эрмита-Паде (см. [9], [10]), позволившие построить сходящиеся с геометрической скоростью итерационные процессы для высокоточного расчета нескольких первых точек ветвления с,, Ь, и соответствующих им двойных СЗ '(с,, Ь) и '(с, Ь,). Обобщенный метод Ньютона и метод конечных элементов позволили перевычислить полученные значения с высокой точностью, а также вычислить точки ветвления с,, Ь, и соответствующие им двойные СЗ '(с,, Ь), '(с, Ь,) для широкого диапазона параметров Ь и с. Обобщенный метод аргумента подтвердил верность полученных результатов.
В разд. 2 разработан метод вычисления СЗ и СФ с помощью построения разложений для СФ в точках п = ±1 и их сшивки. Здесь исследованы также асимптотики коэффициентов разложений.
В разд. 3 исследованы разложения СЗ '(с, Ь) по степеням параметра с при Ь = 0 и по степеням Ь при с = 0.
В разд. 4 с помощью аппроксимаций Паде и метода конечных элементов исследованы точки ветвления СЗ '(с, Ь) при фиксированном параметре Ь и точки ветвления при фиксированном параметре с. Проиллюстрирована динамика этих точек при изменении параметров.
В разд. 5 точки ветвления вычислены с помощью квадратичных аппроксимаций Эрмита-Паде, наиболее адекватных исследуемым особым точкам.
В разд. 6 приведены карты точек ветвления СЗ и даны таблицы этих точек и соответствующих им двойных СЗ.
Значения '(Ь, с) для комплексных параметров Ь и с определялись с помощью аналитического продолжения из точки Ь = 0, с = 0 сначала по вещественным осям, а затем с помощью непрерывного изменения мнимых частей Ь и с.
Значения '(0, с) вычислялись согласно методам, рассмотренным в [11], [12], путем продолжения с вещественной оси Re(c).
Проведенный обширный численный анализ позволяет предположить, что верна
Гипотеза. При любых фиксированных параметрах т = 0, 1, ... и Ь е С все ветви собственных значений 'т(Ь, с) составляют полную аналитическую функцию в плоскости комплексного параметра с; при этом существует счетное множество точек ветвления с, второго порядка
значений Хтц(Ь, с). Аналогично, при любых фиксированных параметрах т = 0, 1, ... и с £ С все ветви собственных значений Хтц(Ь, с) составляют полную аналитическую функцию в плоскости комплексного параметра Ь; при этом существует счетное множество точек ветвления Ь второго порядка значений Хтц(Ь, с). В точках с и Ь соответствующие СЗ образуют двойные СЗ.
2. МЕТОД РЕШЕНИЯ 2.1
Сначала спектральный параметр X в уравнении (1.4) будем полагать произвольным, X £ С, и построим метод вычисления СЗ Хп и СФ Уп(п).
С помощью метода Фробениуса (см. [13]) легко показать, что в особых точках п = 1 и п = -1 характеристическими показателями решений 7(п) являются числа
ц = ±т/2.
Тогда, с учетом ограниченности решения 7(п) в точках п = ±1, используем замену для функции 7(п) (см. [2, с. 601]):
2 т/2
7(п) = (1- п2) Ф(п).
Это позволяет получить уравнение для Ф(п) в простой форме:
(1-п2)Ф''(п) - 2(т +1 )пФ'(п) + [X - т(т +1) + Ьп - с2п2]Ф(п) = 0. (2.1)
Теперь нас интересует решение Ф(п), регулярное в точках п = 1 и п = -1, т.е. когда искомая функция Ф(п) является целой.
2.2. Окрестность точки п = 1 Сначала представим решение Ф(п) уравнения (2.1) в окрестности точки п = 1 в виде степенно-
го ряда
ф(п) = XSk( 1-N<~,
(2.2)
k = 0
с неизвестными коэффициентами sk = як(т, Ь, с, X).
Продифференцировав дважды разложение (2.2) и подставив результат в (2.1), получим уравнение для искомых коэффициентов sk:
2 2 2
-(m + k) - c + m +
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.