ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2008, том 71, № 4, с. 781-784
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВАКУУМНЫХ КОНДЕНСАТОВ СЛЕДА ТЕНЗОРА
ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА
© 2008 г. В. Г. Ксензов
Институт теоретической и экспериментальной физики, Москва, Россия Поступила в редакцию 30.03.2007 г.; после доработки 13.09.2007 г.
Показано, что изменение эффективного потенциала, предложенного в работе А.А. Мигдала и М.А. Шифмана, позволяет вычислять вакуумные конденсаты следа тензора энергии-импульса в безмассовых теориях в различных размерностях пространен.
PACS:11.10.-z, 11.15.Pg, 11.30.Ly, 11.40.-q
Довольно давно было получено выражение для эффективного потенциала дилатона У^(а) [1, 2], в котором а — поле дилатона. Оно определено соотношением а = в. Замечательно то, что выражение для У^ вычисляется точно из требования воспроизводства аномалии при масштабном преобразовании. Явное выражение имеет простой вид
„„(,) = ^ (,„£ _ г)
(1)
где коэффициент d — нормальная размерность дилатона, а константа ш появляется как следствие решения дифференциального уравнения. Поскольку энергия вакуума определяется минимумом потенциала (1), то ш и определяет энергию вакуума. Очевидно, что в (1) ш является произвольным параметром. Заметим, что соотношение типа (1) может быть получено из уравнения Каллана—Симанзика, решение которого приводит также к появлению произвольной константы. В суперсимметричных моделях можно определить независимо энергию вакуума, что приводит к широкому использованию таких соотношений. Обсуждение этого подхода в моделях без суперсимметрии и с суперсимметрией можно найти, например, в [3] и приведенной там литературе.
Отметим, что формула (1), была получена в глюодинамике [1]. В КХД эта формула неприменима. Дело в том, что дилатационные размерности массового члена, который нарушает дила-тационную симметрию на классическом уровне, и квантового вклада различны. Данная проблема решается, если в эффективном потенциале (1) а будет определяться аномальным членом, а массовый член прибавляется с соответствующим знаком к (1). В этом случае эффективное действие, отвечающее такому потенциалу, будет изменяться на
"полную" аномалию при дилатационном преобразовании. Действительно, массовый член даст классический вклад в след тензора энергии-импульса, а эффективный потенциал (1) даст квантовый вклад по построению. Используя идею выделения из (1) классической части, в других теориях также можно получать "модифицированные" эффективные потенциалы, которые позволят вычислить вакуумные конденсаты.
Цель настоящей работы заключается в том, чтобы показать на конкретных примерах, как это сделать. Используя такие "модифицированные" эффективные потенциалы, получим энергию вакуума в различных теориях без суперсимметрии.
Рассмотрим лагранжиан безмассовой теории, масштабно-неинвариантной уже на классическом уровне. В этом случае выражение для следа тензора энергии-импульса будет иметь два слагаемых. Во-первых, это обычная классическая часть в, а во-вторых, — квантовая поправка. Тогда эффективный дилатационный потенциал можно записать в двух вариантах. Понятно, что первый — в виде формулы (1), в которой взадается суммой двух слагаемых и энергия вакуума остается произвольной. Во втором случае эффективный потенциал можно записать в виде суммы классической дилатационно-неинвариантной части лагранжиана и квантовой поправки в форме (1), в которой а определяется только как квантовая часть Знаки перед этими членами выбираются так, чтобы этот эффективный потенциал также удовлетворял требованию воспроизводства "полной" аномалии при масштабном преобразовании. Кроме того, будем считать, что свободный параметр ш в этом случае является вакуумным конденсатом, который вычисляется по теории возмущений. Последнее является предположением, которое можно сделать только во втором случае.
782
КСЕНЗОВ
Для того чтобы проверить правильность такого подхода, рассмотрим два нетривиальных примера, в которых результаты уже известны.
В качестве первого примера рассмотрим а-модель для размерности Б = 2 + е (е < 1). Известны различные свойства этой модели [4—7], что позволяет сравнить результаты наших вычислений с полученными ранее.
Действие в а-модели с 0(Ы)-симметрией в размерности Б = 2 + е имеет вид
5 = I У с1°х(д,аа)2 + ^ (аУ - у)
(2)
здесь а = 1, ...,Ы, а(х) — лагранжев множитель, а / — размерная константа связи. Масштабные преобразования определяют как одновременное растяжение координаты и перемасштабирование полей в соответствии с их нормальной размерностью:
х — Хх, а(х) — Х-2а(х), а — Х-£/2а(х).
Из (2) видно, что для размерности пространства Б = 2 масштабная инвариантность нарушается на классическом уровне, поскольку в действии (2) имеется размерная константа /. Удобно размерную константу / переопределить следующим образом:
/ = /с^"
= С = -ФУ'
2/с
"Г
а квантовая поправка в главном по 1/Ы приближении в размерности Б = 2 + е имеет вид [6, 7]
вя =
^ 4тг
а(х)^£.
Тогда "полный" след тензора энергии-импульса будет
Зи, = 0№ =
а(х) £ ¡л
4п
1
2пе
Получим Уей(а), используя предложенный метод. Эффективный потенциал будет определяться суммой классической части исходного лагранжиана (2), которая нарушает масштабную симметрию, и квантовой поправки к ней в виде дилатационного потенциала (1), зависящей только от квантовой аномалии (5). Явный вид эффективного потенциала записывается в виде
Кй
ал
2/с
-// +
а
1п-
а
1
V2
(7)
В этом выражении первый член является частью исходного лагранжиана, который нарушает дилатационное преобразование на классическом уровне, а вторая часть есть собственно Уе$ (1), в котором 0определено в (5), а ш — вакуумный конденсат следа тензора энергии-импульса, вычисленный в теории возмущений, ц2+£^/4п [6]. Знаки выбраны так, чтобы эффективное действие изменялось на минус 0^ (6) при дилатационном преобразовании.
Найдем теперь минимум Уе$(а). Для этого удобно переписать (7) в виде
(3)
^ей(а) =
а
4^
-IXе 1п
а
V2 ехр (-2пй//с)
1.
V — масса регулятора.
Нарушение симметрии на классическом уровне равно:
Минимум Уед(а) достигается, если
(4)
(а) =
' ехр
2пй
Обозначая (а) = т2\/]У, получаем
22 т = V ехр
2пй
(8) (9)
(10)
(5)
Чтобы воспроизвести результат работы [7] заметим, что
ехр
(6)
2пй
Условие сохранения дилатационного тока определяет критическое значение константы связи /с:
/сг = 2пе, е < 1.
Энергия вакуума определяется как етас = = ¿(01^10) [6]. По виду в^ (6) ясно, что энергия вакуума определяется величиной (а). Стандартно для нахождения (а) необходимо вычислить Уед(а), что требует некоторых усилий даже в такой простой модели. Явный вид Уед(а) и значение (а) можно найти в [7].
если 2пе ^ /с и d = 2, тогда
2 2 Л 2ку2/*
п =" к1—) ■
Это и есть приближенный результат работы [7], который получался из довольно сложных для этой теории вычислений эффективного потенциала.
Второй пример — это теория безмассовых скалярных полей с Б = 4 и лагранжианом
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВАКУУМНЫХ КОНДЕНСАТОВ
783
В этой теории известен эффективный потенциал, полученный Коулменом и Вайнбергом [8], который равен:
ф4 Х2ф
VeS А" ¥ + (16тг)2
шМ2
V2
25
У
(12)
где
Ли = А +
Л2
(8п)2
+16
2m2
а m — произвольный параметр. Потенциал (12) перепишем в виде
Лф2
25
(16п)2 V ц2 exp (—32п2/3Л) 6
(13)
Минимальное значение Veff достигается при
{Лф2) = v2e-32n2/(3Х).
(14)
Получим этот результат, используя соотношение (1). Здесь необходимо заметить, что, если в (7) положить е = 0, результат для вакуумного конденсата а остается справедливым и при Б = 2. Это происходит потому, что вывод формулы (1) позволяет добавить к произвольную величину, интеграл от которой по пространству является инвариантным при дилатационных преобразованиях. В нашем примере (11) можно формально рассмотреть теорию в размерности Б = 4 — е, что приведет к нарушению дилатационной симметрии на классическом уровне, после чего написать эффективный потенциал и перейти к размерности Б = 4. В теории (11) дилатационная аномалия равна:
(АЛ2 (15.
3
в^ ~ 32-/Г2
4!
Здесь будем считать ф внешними полями, тогда, обозначая а = Лф2, эффективный потенциал можно записать в виде
Veff(a) =
а
1
+ т:
3 а2
2 • 4!А 4 32п2 4!
1п4-1
/Л4
(16)
В этом выражении а2 обезразмеривается пертур-бативным вакуумным конденсатом, который полагаем равным ц4, поскольку мы хотим только показать возникновение непертурбативной экспоненты.
Выражение (16) переписываем в виде
Veff =
а
ln
а
(32п)2 V V4 exp (—64п2/(3Л))
1
(17)
Экстремум потенциала достигается при значениях {Лф2), определенных в (14). Учет первого члена в (16) меняет обезразмеривающую константу под
логарифмом на величину exp — 64п2/(3Л)). Появление этой экспоненты связано с тем фактом, что в лагранжиане (11) на каждую степень ф приходится Л1/4, тогда как в квантовых петлях (по крайней мере, в однопетлевом приближении) получаем Л1/2 на каждую степень ф.
Используя (12), можно проверить, что конденсат (14)—неренорминвариантная величина, и поэтому не является физически значимым параметром в отличие от ренорминвариантной величины (10) в а-модели при f0 > fcr. Если f0 < < fcr, вакуумный конденсат становится неренор-минвариантной величиной. Поэтому, хотя формально дилатационный ток в (6) не сохраняется при fo < fcr, безмассовая фаза остается [9].
В настоящей работе построен эффективный потенциал в виде классического потенциала плюс квантовая поправка в виде (1), в которой 9^ включает в себя лишь квантовую часть — дила-тационную аномалию. Под знаком логарифма 9 обезразмеривается вакуумным конденсатом, полученным по теории возмущений. Последнее является гипотезой. Вычисления показали, что непертур-бативная экспонента появляется из-за классического потенциала. Под классическим потенциалом понимается обычный потенциал исходной теории, зависящий от классических полей. Фаза между этими частями выбирается из требования воспроизводства "полной" аномалии.
Предложенный метод вычисления дилатацион-ного конденсата был проверен на моделях, в которых возможно найти дилатационный конденсат из эффективных потенциалов. Результаты вычис
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.