научная статья по теме ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПРАВОЙ ЧАСТИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Математика

Текст научной статьи на тему «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПРАВОЙ ЧАСТИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 6, с. 1020-1027

УДК 519.633

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПРАВОЙ ЧАСТИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ^

© 2015 г. П. Н. Вабищевич*, В. И. Васильев**, М. В. Васильева**

(* 115191 Москва, Б. Тульская ул., 52, ИБРАЭ РАН;

** 677000Якутск, ул. Белинского, 58, СВФУ) e-mail: vabishchevich gmail.com; vasvasil mail.ru; vasilyevadotmdotv gmail.com Поступила в редакцию 11.08.2014 г.

Среди обратных задач для уравнений в частных производных представляют интерес коэффициентные обратные задачи, которые связаны с идентификацией правой части уравнения при использовании некоторой дополнительной информации. При рассмотрении нестационарных задач можно выделить как самостоятельные задачу восстановления зависимости правой части от времени и задачу восстановления зависимости правой части от пространственных переменных. Эти задачи относятся к классу линейных обратных задач, что существенно упрощает их исследование. Данная работа посвящена проблеме определения зависимости правой части многомерного параболического уравнения от времени по дополнительным наблюдениям за решением в точке расчетной области. Чтобы решить численно обратную задачу для модельного уравнения в прямоугольнике, мы используем стандартные разностные аппроксимации по пространству. Вычислительный алгоритм основан на специальной декомпозиции решения, при которой переход на новый временной слой реализуется на основе решения двух стандартных сеточных эллиптических задач. Представлены результаты численных экспериментов. Библ. 10. Фиг. 5.

Ключевые слова: обратные задачи, идентификация коэффициентов, параболическое уравнение, разностные схемы.

Б01: 10.7868/80044466915030199

ВВЕДЕНИЕ

При рассмотрении обратных задач можно выделить проблемы идентификации коэффициентов уравнений, граничных условий по некоторой дополнительной информации (см. [1], [2]). С учетом важности практического применения особое внимание должно быть уделено обратным задачам для уравнений в частных производных (см. [3], [4]). Теоретическое рассмотрение таких задач включает основные вопросы исследования единственности решения и его устойчивости (см. [4], [5]). Многие обратные задачи формулируются как неклассические задачи для уравнений в частных производных — нагруженные задачи, нелокальные и т.д. Часто обратные задачи относятся к классу некорректных задач. При приближенном решении обратных задач основной упор делается на развитие устойчивых вычислительных алгоритмов, которые учитывают особенности обратных задач (см. [6], [7]).

Большое внимание уделяется проблеме определения правой части, младших и старших коэффициентов параболического уравнения второго порядка. В частности, рассматриваются обратные задачи, в которых правая часть и коэффициенты зависят только от времени. Дополнительные условия наиболее часто формулируются в виде задания решения во внутренней точке (точках) или как некоторое взвешенное среднее значение — результат интегрирования решения с некоторым весом по всей области на каждый момент времени. Существование и единственность решения таких обратных задач и корректность этих неклассических краевых задач в различных функциональных классах рассматривается многими авторами. В этой связи укажем, например, книгу [5], в которой можно найти соответствующую библиографию.

1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 14-01-00785).

Численные методы решения задач идентификации правой части, младших и старших коэффициентов параболических уравнений исследуются во многих работах. С учетом важности практического использования мы выделяем отдельно исследования, которые касаются численного решения обратных задач для многомерных параболических уравнений (см. [7], [8]). Аппроксимация по пространству осуществляется на основе стандартной техники численного анализа краевых задач: конечные разности, метод конечных объемов и метод конечных элементов. В данной работе мы рассматриваем обратную задачу определения зависимости правой части параболического уравнения от времени по известному решению во внутренней точке. Рассматривается модельная задача в прямоугольнике при конечно-разностной аппроксимации по пространству. Неклассическая сеточная задача на новом временном слое решается на основе декомпозиции решения, при которой достаточно решить две обычные сеточные эллиптические задачи. Возможности предложенного вычислительного алгоритма иллюстрируются данными численных экспериментов.

Заметим, что обратные задачи часто принадлежат к классу некорректных. Поэтому при отработке вычислительных алгоритмов их приближенного решения особое внимание уделяется задачам с неточными входными данными. Рассматриваемая нами задача идентификации правой части параболического уравнения относится к классу корректных неклассических задач для уравнений с частными производными. В силу этого мы не представляем в данной работе результатов решения нашей обратной задачи с зашумленными входными данными.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для простоты изложения мы ограничимся двумерной задачей, когда расчетная область есть прямоугольник. Пусть х = (хь х2) и

О = {х|х = (хь х2), 0 <ха < 1а, а = 1, 2}.

Прямая задача формулируется следующим образом. Ищется функция и(х, ?), 0 < ? < Т, Т> 0, которая удовлетворяет параболическому уравнению второго порядка

— - Шу(к(х^гаёи) = Х0у(х, 0, х еО, 0 < г < Т. (1.1)

дг

Граничные и начальное условия задаются следующим образом:

к(х) — = 0, х едО, 0 < г < Т, (1.2)

дп

и(х, 0) = и0(х), х е О, (1.3)

где п — нормаль к дО. Формулировка (1.1)—(1.3) соответствует прямой задаче, в которой правая часть и коэффициенты уравнения заданы также как граничные и начальное условия.

Рассмотрим обратную задачу, в которой коэффициентр(1) в уравнении (1.1) неизвестен. Дополнительное условие часто задается в виде

|и(х, ?)п(х)йх = ф(?), 0 < г< Т, (1.4)

п

где п(х) — весовая функция. В частности, выбирая п(х) = 5(х — х*)(х* е О) в (1.4), где 5(х) есть 5-функция Дирака, получаем

и(х*, ?) = ф(г), 0 < г < Т. (1.5)

Мы предполагаем, что сформулированная выше обратная задача по нахождению пары и(х, ?), р(0 из (1.1)—(1.3) и дополнительного условия (1.4) или (1.5) является хорошо поставленной. Соответствующие результаты о существовании и единственности решения можно найти в цитируемых выше работах. В настоящей статье мы рассматриваем проблемы построения вычислительного алгоритма приближенного решения обратной задачи, формулируем условия применимости алгоритма. Кроме того, при более жестких условиях на параметры задачи мы получаем оценки устойчивости приближенного решения, на основе которых, с учетом линейности рассматриваемой обратной задачи, можно доказывать сходимость приближенного решения к точному решению дифференциальной задачи.

2. РАЗНОСТНОЕ РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ

Для численного решения параболической задачи введем в области О равномерную прямоугольную сетку:

ю = <|х|х = (хъ х2), ха = (1а + ^На, 1а = 0, 1, ..., (N + 1)ка = 1а, а = 1, 21.

Для сеточных функций определим гильбертово пространство Н = Х2(ю), в котором скалярное произведение и норма определены следующим образом:

(у, V) = ^ у(х)V(х)НхЙ2, Ы = (у, У)

1/2

Для сеточного оператора диффузионного переноса Б будем использовать аддитивное представление

2

В = ^ Ва, а = 1, 2, х ею, (2.1)

а = 1

где Ба, а = 1, 2, связаны с соответствующими дифференциальными операторами по одному направлению.

Для всех узлов сетки, исключая приграничные, при достаточно гладком коэффициенте диффузии к(\) сеточный оператор Б1 может быть записан в виде

В у = --1 к (х 1 + 0.5Й1, ¿2 )(у (х 1 + К, Й2) - у (х)) + -2 к (х 1 - 0.5ЛЬ ¿2 )(У (х) - У (х 1 - Ль ¿2)), Н1 Н1

х ею, х1 Ф 0.5 А1, х1 Ф 11 - 0.5 Н1. Для приграничных узлов аппроксимация проводится с учетом граничного условия (1.2):

В1у = -—к (х1 + 0.5 А1, Н2 )(у (х 1 + А1, Н2) - у (х)), х ею, х1 = 0.5 Н1, ¿2

В1у = — к(х1 - 0.5А1, Н2)(у(х) - у(х1 - къ Н2)), х ею, х1 = 11 - 0.5А1.

К

Сеточный оператор Б2 рассматривается аналогично. Прямые вычисления (см., например, [9], [10]) дают

В а = В* > 0, а = 1, 2.

Этот сеточный оператор диффузионного переноса аппроксимирует соответствующий дифференциальный оператор с точностью 0(|й|2). Как и в дифференциальном случае, сеточный оператор диффузионного переноса (2.1) является самосопряженным и неотрицательным в Н:

Б = Б* > 0. (2.2)

С учетом (2.2) мы можем получить соответствующую априорную оценку для решения краевой задачи (1.1)—(1.3) и задачи Коши для соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений после аппроксимации по пространству в Н, которая обеспечивает устойчивость решения по начальным данным и правой части.

После дискретизации по пространству от задачи (1.1)—(1.3) мы приходим к задаче Коши

^ + Ву = р((), 0 < (< Т, (2.3)

у(0) = «0. (2.4)

х Е Ш

Для задачи Коши (2.3), (2.4) имеем

t

\\y (t)||<| |u0|| + |b(0)llv(0)l dQ. (2.5)

о

Априорная оценка (2.5) имеет место также в банаховом пространстве сеточных функций Хш(ю), в котором

INI = INI», 1У11» = max|y|.

x ею

Этот факт устанавливается, например, на основе принципа максимума для сеточных функций и соответствующих теорем сравнения (см. [9]), принимая во внимание нестрогое диагональное преобладание матрицы (оператора) D.

Будем использовать равномерную сетку по времени: tn = пт, n = 0, 1, ..., N, tN= Типусть yn = y(tn), tn = пт. Мы начнем с аппроксимации по времени при решении прямой задачи (2.3), (2.4). Для приближенного решения краевой задачи для нестационарного уравнения диффузии (1.1) будем использовать безусловно устойчивую неявную схему

n + 1 n

y-+ Dyn +1 = pn +1 vn +1, n = 0, 1, ..., N - 1. (2.6)

т

Начальное условие (2.4) дает

У° = "о. (2.7) Сеточное решение задачи (2.6), (2.7) удовлетворяет следующей послойной оценке в Хш(ю):

||yn +1 <||уЦ + т \pn + Ц^ +1, n = 0, 1,..., N- 1. (2.8)

Оценка (2.8) выступает в качестве сеточного аналога оценки (2.6) для решения задачи (2.3)—(2.5). Для доказательства соотношения (2.8) мы можем применить принцип максимума для сеточных функций (см. [9]). Вторая возможность получения априорной оценки

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»