Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Кузнецов Е.В., кандидат технических наук, доцент Государственного морского университета им. адмирала Ф.Ф. Ушакова
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ ТЕРМОДИНАМИКИ СОПЛА ЛАВАЛЯ
Предлагается метод расчета процесса истечения идеального газа из сопла Лаваля, который базируется на полученном в статье дифференциальном уравнении термодинамики потока газа, связывающем изменение температуры и давления потока газа. Это устраняет вычислительные проблемы, существующие при решении классических дифференциальных уравнений истечения. Метод учитывает зависимость теплоемкости газа от его температуры, что увеличивает точность расчета по сравнению с классическим методом.
Ключевые слова: истечение газа, сопло Лаваля, термодинамика потока газа.
COMPUTIONAL ASPECTS OF THERMODYNAMICS OF THE LAVAL NOZZLE
The calculation method for ideal gas outflow from contracting nozzle is suggested. The method is based on received in this article differential equation, which connects changing of the temperature and pressure of gas flow. This eliminates the computional problems that exist for solving classical differential equations of outflow. This method takes in consideration the dependence of the specific gas heat from its temperature, which increases calculation accuracy compared to the classical method.
Keywords: gas outflow, Laval nozzle, gas flow thermodynamics.
Базовыми математическими выражениями, описывающими термодинамические процессы течения газа через сопла (включая сопло Лаваля), служат дифференциальные уравнения адиабатного потока идеального газа [1], [3], [7]. Решение этих уравнений позволяет учитывать влияние на параметры потока газа зависимости теплоемкости газа (и коэффициента Пуассона) от температуры газа и позволяет получить наиболее точные значения параметров.
Однако прикладные задачи для адиабатного потока газа [6], [7], включая течение через сопло Лаваля, классически решаются по алгебраическим зависимостям с использованием уравнения адиабаты [3]:
pvk= const, (1)
где p - давление газа, v - удельный объем, k - коэффициент Пуассона (показатель изоэн-тропы).
Решение выполняется в предположении, что коэффициент Пуассона имеет постоянное значение, и поэтому результаты решения имеют погрешность.
Использование уравнения (1) в значительной степени объясняется тем, что (как будет показано далее) классические дифференциальные уравнения идеального потока газа [3], [7] не имеют решения в точке критического режима, а ошибка вычислений в окрестностях критической точки становится неприемлемой.
В связи с этим, в статье предлагается вычисление параметров потока газа через сопло Лаваля с использованием полученного здесь такого дифференциального уравнения, для которого не существует отмеченной выше проблемы, то есть решение дифференциального
уравнения будет существовать на всех режимах течения газа (включая критический) в каждом сечении сопла.
При решении задач использовалась расчетная схема сопла Лаваля, приведенная на рис. 1.
Обозначения величин на рис. 1 имеют следующий смысл:
/ - площадь проходного сечения сопла, р - абсолютное давление газа, Т - абсолютная температура газа, ж - скорость газа, ] - плотность потока газа.
Индексы на схеме соответствуют значениям величин:
о - в бесконечном объеме перед соплом, где скорость газа жо=0; 1 - во входном сечении сопла; 2 - в минимальном сечении сопла; 3 - выходном сечении сопла; 4 - в бесконечном объеме за соплом; х - в произвольном сечении, находящемся на относительном расстоянии х от входного сечения.
Режим истечения газа через сопло Лаваля может быть различным в зависимости от величины давления газа р4 за соплом [7].
Режим истечения газа, характеризующийся сверхзвуковой скоростью в выходном сечении сопла и равенством давления в выходном сечения сопла и внешнего давления р3р=р4, называется расчетным [3]. При этом в минимальном сечении сопла устанавливается критическое истечение, когда скорость газа в сечении равна скорости звука.
График изменения давления газа в сопле Лаваля на расчетном режиме истечения показан на рис. 2.
Для описания течения газа по каналу используется дифференциальное уравнение, которое для истечения идеального газа через сопла можно привести к виду [1]:
/2, р2, т2, щ, }2 рх, Тх, , ]х
о
х
Рис. 1 Расчетная схема сопла Лаваля.
(2)
где Мх - число Маха.
Р\Щ>
Пространственная координата - х
Рис. 2. Изменение давления газа внутри сопла Лаваля на расчетном режиме.
В этом уравнении площадь проходного сечения сопла считается независимой переменной, а величина wx - искомой.
Поскольку данное дифференциальное уравнение не имеет аналитического решения, для его решения следует применить какой-либо метод численного интегрирования.
Предварительно уравнение должны быть приведено к форме Коши, то есть записано в явном виде относительно дифференциала скорости газа [2]:
1 w
^х =-1--^Э/х . (3)
Х Мх 2 - 1 /х Х
При расширении газа в суживающейся части сопла до критического состояния число Маха Мх стремится к 1, и, следовательно, знаменатель правой части уравнения (3) по абсолютной величине будет уменьшаться и стремиться к 0, то есть (МХ2-1)^ 0, а правая часть уравнения будет неограниченно увеличиваться.
Таким образом, в точке критического режима и ее окрестности значения параметров потока газа не могут быть вычислены непосредственным решением уравнения (3).
В данной работе задача течения газа через сопло решается с использованием полученного далее дифференциального уравнения, связывающего давление и температуру газа, и это позволило устранить отмеченную вычислительную проблему.
Для решения были выбраны следующие соотношения [3]:
- уравнение состояния идеального газа
ру=ЯТ ; (4)
- уравнение первого закона термодинамики в виде
wdw= - уйр ; (5)
- выражение для энтальпии газа
ёк = ср dT , (6)
где ср - изобарная теплоемкость газа;
- одно из основных уравнений течения газа для сопел.
dk + dw = 0. (7)
Предполагается, что зависимость энтальпии газа от температуры к= к(Т) задана в табличной форме, например, [4]. Промежуточные значения энтальпии могут вычисляться каким-нибудь интерполяционным методом [2]. В данной работе достаточная точность расчетов была достигнута простой линейной интерполяцией.
Истинная изобарная теплоемкость газа ср при температуре Т может вычисляться с достаточной точностью численным дифференцированием функции И(Т):
ср=И(Т+ 0.5) - И(Т- 0.5). (8)
Из уравнений (5), (6) и (7) получим следующее уравнение, связывающее изменение температуры и давления газа в сопле:
V
ёТх = ^йрх. (9)
с
рх
Разделив уравнение (9) на дифференциал времени Ж, получим:
ЖТх Vx ЖРх
Ж с рх Ж
рх
(10)
Будем считать независимой переменной давление газа, изменяющееся во времени, например, по линейному закону:
Рх(г) = Ро - Ур г , (11)
где Ур - постоянная скорость изменения давления во времени.
Продифференцировав функцию (11), получим
сИ р
и уравнение (10) становится дифференциальным уравнением с известной правой частью, в котором все величины являются функциями времени:
'Тх -±-У, . (12)
Ж СрХ
Интегрируя уравнение (12), можно определить значение температуры газа, соответствующее давлению газа и всем остальным параметрам потока газа.
Параметры газа в объеме перед соплом ( ро, То), становятся начальными условиями для уравнения (12) при г=0.
Перед интегрированием уравнения (12) необходимо вычислить значения vx и срх по выражениям (4) и (8), взяв исходные значения величин для вычисления с предыдущего шага интегрирования, начиная с начальных условий.
Остальные термодинамические параметры газа вычисляются по следующим сопутствующим выражениям:
- скорость газа - = ^2(И(То) - И(Тх) ,
- плотность потока газа - ]х = / vx ,
Ср (Тх)
истинный коэффициент Пуассона - k (Тх ) = ■
p
Сp(Тх)-R '
- скорость звука - wa = ^кЯТх ,
- число Маха - Мх = / .
Решение задачи для сопла заключается в непрерывном интегрировании уравнения (12) с постоянным достаточно малым шагом изменения давления газа рх и вычислении остальных параметров, соответствующих рх, при уменьшении давления газа от начального значения ро. Окончательным результатом расчета будут значения параметров в выходном сечении сопла.
Для расчетного режима по данному алгоритму можно решить несколько задач, выбирая в соответствии с таблицей 1 условие окончания процесса интегрирования сформированной системы уравнений.
Пример результатов решения задачи 2 из таблицы 1 показан на рис.3 в виде графиков величин Тх, Мх, ]х. Критические параметры в данном случае являются промежуточным результатом.
Таблица 1.
Задачи расчета термодинамических параметров расчетного истечения газа
через сопло Лаваля
№ № задачи Задача Условие окончания интегрирования
1 Определение параметров критического режима истечения. Мх > 1
Определение параметров расчетного режима истечения по выбранному параметру на выходе сопла:
2 давление Рх < Р4
3 температура Тх < Т4
4 скорость их > и4
5 плотность потока ]х <. 14
1 \
1 \ г Чм.т = $71$ 1 I
1
; \ 1
|\ 1 х /.'.VI 1
л ЬТ ■' - 1 Т /Т - ; - *.
■ Л'' ' О
1 1 ................1......
1 1 РгФо - Рщ'Рс Р2'Ра \ргФо
Относительное давление -рх/ра
Рис. 3. Пример зависимости параметров потока газа внутри сопла Лаваля
от давления в сечениях сопла.
После оп:ределения параметров критического истечения (задача 1 в таблице 1), то есть значений ркр, Ткр, икр, укр, можно решить следующие технические задачи:
- определить критический расход газа через сопло Окр = /2 укр, если известна площадь минимального сечения сопла /2,;
- определить непрерывно изменяющуюся площадь сечений сопла,
/ х= Окр / ] х,
если известен расход газа через сопло Окр.
В данных задачах также представляет интерес нахождение мощности потока газа в сопле
2
и
Р = О —.
х ^ кр 2
Графики изменения площади проходного сечения и мощности потока также показаны на рис. 3.
Данный расчет также позволяет определить площадь выходного сечения сопла для заданного расчетного давл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.