МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2013
УДК 539.3
© 2013 г. Д.А. ШЛЯХИН
ВЫНУЖДЕННЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОЙ ТОНКОЙ БИМОРФНОЙ ПЛАСТИНЫ
Рассматривается нестационарная осесимметричная задача для тонкой аксиально поляризованной биморфной пластины при действии на торцевых поверхностях электрического потенциала, являющегося произвольной функцией радиальной координаты и времени. На основании теории Тимошенко методом конечных интегральных преобразований построено новое замкнутое решение. Полученные расчетные соотношения позволяют исследовать напряженно-деформированное состояние пьезокерамических элементов со сплошными и разрезными круговыми электродами.
Ключевые слова: задача обратного пьезоэффекта, тонкая биморфная пластина, осесимметричная динамическая нагрузка.
1. Введение. При исследовании нестационарных задач электроупругости для составных пьезокерамических элементов целесообразно использовать простые математические модели в виде определенного набора пьезокерамических стержней, тонкостенных пластин и оболочек. Как правило, данные решения строятся на основании технической теории [1—3] для установившегося режима вынужденных колебаний, которые описывают динамическую реакцию системы, справедливую только при низкочастотном внешнем воздействии. Вместе с тем большинство пьезокерамических преобразователей, предназначенных для трансформации электрической энергии в механические перемещения, в частности, биморфные пластины, работают в широком частотном диапазоне [1, 2]. Поэтому в настоящей работе исследование тонкой кольцевой биморф-ной пьезокерамической пластины проводится на основании гиперболической системы уравнений Тимошенко, которая расширяет возможности классической теории в части определения спектра высших частот и форм колебаний, а также изучения напряженно-деформированного состояния элементов большей толщины [4].
2. Постановка задачи. Пусть анизотропная круглая пластина, занимающая в цилиндрической системе координат (г*, 0, г) область {а < г* < Ь, 0 < 9 < 2п, -к/2 < г < к/2} состоит из двух элементов, каждый из которых выполнен из пьезокерамического материала с наведенной аксиальной поляризацией. Рассматривается случай, когда к системе внутренних и внешних электродов различными способами (фиг. 1, 2) подведен электрический потенциал V* (г*, I*), являющийся произвольной функцией радиальной координаты г*, а также времени t*, и возбуждающий осесимметричные поперечные колебания. Для боковых криволинейных поверхностей можно сформулировать различные краевые механические условия. В дальнейшем считаем внутреннюю часть (г* = а) жестко закрепленной, а внешнюю (г* = Ь) свободной от механических напряжений.
Исследования электростатического поля в тонких анизотропных однородных пластинах при аксиальной поляризации материала с помощью уравнения Максвелла [1, 2] позволяют сделать вывод о линейном характере изменения электрического потенциа-
z. V*(r*, t*)
h/2 У % In
h/2 1 r*
b b / / -V*(r*, t.)
Фиг. 1
h/2
И
V *(r*, t*)
h/2
Фиг. 2
r
b
ла ф (г*, г, и) по высоте сечения и, следовательно, о постоянном значении компоненты вектора напряженности Ег (г*, г, и). В этом случае, принимая во внимание характер приложенной электрической нагрузки и ориентацию диполей в каждом элементе би-морфной пластины (фиг. 1, 2), функция описывается следующей зависимостью
Е1 (г*, г, Ь ) = - [Н (г) - Н (-г)] (2.1)
п
Здесь Н(...) - единичная функция Хэвисайда соответствующего аргумента. Следует отметить, что в рассматриваемых конструкциях при г = 0 наблюдается конечное значение скачка функции Ег
Принимая во внимание (2.1), гиперболическая система Тимошенко для тонкой круглой анизотропной пьезокерамической биморфной пластины в безразмерной форме записывается в виде следующих дифференциальных уравнений осесимметрич-ного движения [5, 6]:
kC55 dt
ßV?w -V¥-ß-C1i^ = -V?V (2.2)
ßCn _ ß-i + dw _ ß-Cu= _^15 + e-i dV kC55 ^ p ^ dr kC55 дt2 ßei5 dr
Краевые, при r = p,i и начальные условия для рассматриваемой задачи имеют вид w (p, t) = 0, у (p, t) = 0 (2.3)
M(1, t) = -ß2Cii (^ + C^ V | - kC55e-i V(1, t) = 0
Vdr | r=i Cii ) ei5
е(м) = кс55^ -¥1 + кс55= о
^ дг\г=1 ) дг \г=1
t = 0: ^ (г,0) = (г), ^ (г,0) = (г) (2.4)
V (,0) =¥0 (г) V (,0) = ¥0 (г)
В соотношениях (2.1)—(2.4) используются следующие обозначения: w(r, t), у(г, t), М(г, t), 0(г, 0 — прогиб в безразмерной форме, угол поворота сечения, изгибающий момент и поперечная сила в плоскости (г, г); р, Ст9, ет. — объемная плотность, модули упругости, а также пьезомодули анизотропного электроупругого материала (т, . = 1,5); k — коэффициент поперечного сдвига; м>0, у0, у0 - известные в начальный момент времени вертикальные перемещения, углы поворота сечения и их скорости.
.^Ь^А к(Г1 ) =*(г*и^ ^ — СИ в = г = г*
вЪ ' 1 ' ' 2кЪС55 ' Ъ \ Р ' Р л/12' Ъ
Т к а „ 3 ,1 ^2 32 . 1 3 ^2 „2 1
Ь = -, р = -, \ =— + -, У1 =—- +--, \2 = \1---
Ъ Ъ дг г дг 2 г дг г
В (1.3) и ниже точка означает дифференцирование по времени.
Соотношения (1.1)—(1.3) являются математической постановкой рассматриваемой начально-краевой задачи.
3. Построение общего решения. Используя процедуру стандартизации по координате г (приведение к однородным краевым условиям) представляем ^ (г, t), у (г, t) в виде
^ (г, г) = Н1 (г, {) + Ж (г, {), ^ (г, 0 = Н2 (г, ^ + ф (г, ^ (3.1)
и получаем новую краевую задачу относительно Ж (г, t), ф (г, t):
РУ2ж-Уф-в^ = ъ (3.2)
кС55 дt
вСп V 2Ф-р-1ф + дЖ-в!С11 ^ = Ъ2
кС55 дг кС55 дt2 2
г = р,1: Ж(р, t) = 0, ф(р, {) = 0 (3.3)
Кг-
дФ + С11ф| = 0 (р^ -ф) = 0
дг С11 )\г= \ дг !\г=1
I = 0: Ж (г,0) = (г)-Н1 (г,0), Ж(г,0) = >^0 (г)-НН1 (г,0) (3.4)
ф (г,0) = V0 (г) - Н2 (г,0) , ф (г, 0) = 1|/0 (г) - Н2 (г, 0)
Н (г, t) = р-1 (р - г)ду
дг \г=1
Н2 (г, t) = ^ (р -1)-1 [г2 - (р + 1) г + р]У (1,0
е15в С11
г1 = - р у?Н! + ун2 нх
кС55
р2 = - £и±£-1 дт - Си Ру 2н 2+р-1н 2+^ Р- Н 2
в е15 дг С55 к дг С55 к
Начально-краевую задачу (3.2)—(3.4) решаем, используя структурный алгоритм метода конечных интегральных преобразований КИП [6, 7]. Введем на сегменте [р, 1] КИП вектор-функции ядра преобразования с неизвестными компонентами. Имеем
1
О (X, t) = |[[(г, ^ (X, г) + Ф(г, 0К2 (XI, г)] гйг (3.5)
ж (г, = £ О {Ьиt )К2 {Ьи г), ф (г, ^) = £ О t )К 2 .г) (3.6)
Й 1К112 , 1 ' ¿1 ||к||2 ( )
1
КII2 = {[К (Х1 , г)2 + К2 (X;, г)2] гйг, ,= 1, 2 ,...
где Х{ - положительные параметры образующие счетное множество.
Подвергая уравнения (3.2) и начальные условия (3.4) КИП получаем счетную систему задач Коши для трансформанты О (Х ,-, t) решение которой имеет вид [7]
1
О (X, t) = О0 (Х1) соз(Х(-1) + О0 (X,-) Х-18т(Х;-О - Х-1 (X,-, т) 8т[Х;- ( - т)]йт (3.7)
р
а также, с учетом (3.3), однородную краевую задачу для компонент ядра преобразования
в^К - УК 2 + Х2 ^ К1 = 0 (3.8)
кС55
^ V2к2 - в-1К2 + йК + X2 ^ К2 = 0 кС55 йг кС55
г = р,1:К1 (р, 0 = 0, К 2 (р, 0 = 0 (3.9)
йК2 , Сп „ ^ /„¿К,
+ "Т2К2 I = 0, - К2) = 0
¿г Сп =1 \ йг !\г=1
В равенстве (3.7):
1
¥н (Х„ t) = ^ [[[ (Х,, г) + ¥2К2 (Х„ г)] гйг вС11 р
1
О (Х1), (50 (Х1 )] = ¡{{Ж (г, 0), Ж (г, 0)] К (Х,, г) + [ф (г, 0), ф (г, 0)] ] (Х„ г)} гйг
Система (3.8) сводится к однородному дифференциальному уравнению четвертого порядка относительно функции К (Х1, г), которое допускает факторизацию на коммутативные сомножители второго порядка и может представлено в виде
dr r dr
+ Af
dr rdr
- B
Kl (Xt, r) = 0
Общий интеграл равенства (3.10) имеет вид
Kl (X, r) = J0 ( Ar) + DYo ( Ar) + D2iIo (Br) + DKo (Br)
(3.10)
(3.11)
Здесь — постоянные интегрирования, 1Ц (...),Уц (...), 1Ц (...),Кц (...) - обыкно-
венные и модифицированные функции Бесселя первого и второго родов порядка п:
Bt = Xfi
- i il + Cl
kC
55
+ J i il
kC
55
ь 2в4
1/2
, A =
x 2e2 1l+Cl | + B2
kC
55
1/2
Используя зависимости между К! (Х,, г) и К2 (Х1, г), полученные в процессе приведения (3.8) к (3.10), получаем выражения для второй компоненты ядра преобразований
K2 (Xi, r) = a3l- [Ji (Air) + DYi (Air)] + ^4,- [D^I^ (B{r) - DK (B{r)], an = aiiAi[a2(A2 - X2a2) -1] Я4,- = auB^Bf + ^2) + 1]
(3.12)
aii =
kC55p
kC55 -X2p4Cii'
a2 =
C11P2
kC
55
Подстановка (3.11), (3.12) в (3.9) формирует трансцендентное уравнение для вычисления собственных значений X t :
J0 (А,Р) + D1Y0 (А,Р) + D2Io (Bip) + D3K0 (Bip) = 0 (3.13)
а также систему уравнения для вычисления постоянных интегрирования D1i...D3i :
(3.14)
B12 B13 B14 D1i B11
B22 B23 B24 X D2i = B21
B32 B33 B34 D3i B31
B11 = J1 ( Aip), B12 = a3iY1 ( Aip), B13 = a4il1 ( B,P) , B14 = ( B,P)
, B22 = a3i
B21 - -a3i B23 = a4i
AJ0 (Ai H^2 -1| J1 (Ai )
V C11
B,Io(Bi)+||2-1)I1 (Bi) , B24 = a*
AYo (Ai ) + [ Cn -1 |Y (Ai ) VC11
B,Ko (Bi) + |1 - C12) K1 (Bi)
B31 = - (pAi + a3i ) J1 ( Ai ), B32 = (РЛ- + a3i ) Y1 ( A ) B33 = - (pB;- - a4i) I1 (Bi), B34 = - (a4i - pB;-) K1 (Bi)
w(1, t)/Vo 20
10
-10 -20
Фиг. 3
Круговые частоты осесимметричных колебаний цилиндра ы связаны с X { зависимостью
Ш i =
M Cii
2b Ч 3р
(3.15)
Наконец, используя формулы обращения (3.6), с учетом (3.1), (3.7), (3.11), (3.12) получаем выражение для Ж (г, I), у (г, I):
w
(r, t ) = Hi (r, t ) + ¿ J (^r) + АЛ (4r) + D2i Iо (B¿r) + I0 W] (3.16)
(r, t ) = H2 (r, t ) + ¿ ^^ { [Ji (V) + ^4-r)j + % [D2i Il (Bf) - D3i Kx (Bf)]} i=1 \\Ki\\
4. Численный анализ результатов. В качестве примера рассматривается кольцевая биморфная пьезокерамическая пластина из состава ЦТС-19 [2] при действии на торцевых поверхностях гармонического воздействия: V ( r, t ) = V0 X ( r ) sin 91, где V0 — амплитудное значение нагрузки, 0 — частота вынужденных колебаний, X(r) — компонента нагрузки зависящая от координаты r.
Расчеты проводились при следующих исходных данных: е31 = -4.9 Кл/м2,
е15 = 10.6 Кл/м2, {C11,C12,C55} = {10.9;6.1;2.4} х 1010 Н/м2 [2], к = 0.926 [4], p = 0.5.
В таблице приведены собственные значения X i х L осесимметричных колебаний пластины различной толщины, полученные на основании классического уравнения [5] и теории Тимошенко, используемой в настоящей работе. Анализ результатов подтверждает известн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.