МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 4 • 2014
УДК 539.3
© 2014 г. Д. А. ШЛЯХИН
ВЫНУЖДЕННЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЛСТОЙ КРУГЛОЙ ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОЙ ПЛАСТИНЫ
Построено новое замкнутое решение осесимметричной нестационарной задачи теории электроупругости для круглой толстой пьезокерамической пластины с жестким закреплением ее внешней цилиндрической поверхности. Использование смешанных краевых условий для криволинейной плоскости позволяет получить достаточно простые расчетные соотношения. Замкнутое решение построено методом разложения по собственным вектор — функциям в форме структурного алгоритма конечных преобразований. С помощью полученных соотношений определяется частота собственных колебаний, напряженно—деформированное состояние исследуемого элемента, а также все характеристики индуцируемого электрического поля.
Ключевые слова: вынужденные осесимметричные колебания, толстая пьезокерамическая пластина, задача электроупругости.
1. Введение. Широкое использование в современном приборостроении в качестве основных рабочих элементов толстых круглых пьезокерамических пластин предъявляет дополнительные требования к точности их расчета. Задача существенно усложняется при исследовании напряженно-деформированного состояния конструкций в случае динамического воздействия и учете связанности механических и электрических полей напряжений. В связи с этим можно отметить достаточно ограниченный круг работ, выполненных для тел конечных размеров в рамках трехмерной теории электроупругости. Причем большинство этих исследований посвящено определению собственных колебаний [1—4]. Результаты, справедливые для пьезокерамического ра-диально поляризованного цилиндра конечной длины, для установившегося режима вынужденных колебаний получены в [2]. Использование базисных функций позволило понизить размерность и свести задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая в дальнейшем решается численным методом.
В исследованиях [5, 6] методом конечных интегральных преобразований построены замкнутые решения нестационарных осесимметричных задач для короткого анизотропного пьезокерамического цилиндра с окружной поляризацией материала при смешанных краевых условий на его торцах. Существенным представляется то, что построенный алгоритм справедлив для произвольного динамического воздействия.
В настоящей работе исследуется нестационарная осесимметричная задача теории электроупругости для круглой толстой пластины с аксиальной поляризацией материала и жестким закреплением ее цилиндрической поверхности. В отличие от традиционно используемых краевых условий в заделке, записываемых в перемещениях, рассматриваются смешанные краевые условия, что позволяет получить достаточно простые, расчетные соотношения.
2. Постановка задачи. Пусть круглая сплошная пьезокерамическая пластина, занимающая в цилиндрической системе координат (г*, 9, г*) область О: {0 < г* < Ь, 0 < 9 < 2п,
0 < г* < Л}, представляет линейно-упругое анизотропное тело. Рассматривается случай, когда цилиндрические неэлектродированные (г* = Ь) поверхности элемента жестко закреплены, а на его торцевую плоскость (г* = К) действует осесимметричная динамическая нагрузка (нормальные напряжения) д*(г*, г).
Краевая задача моделирует работу пьезоэлементов в приборах прямого пьезоэф-фекта, когда механическое воздействие трансформируется в электрический сигнал, который фиксируется путем подключения эквипотенциальных электродированных торцевых плоскостей к измерительному прибору.
В общем случае дифференциальные уравнения осесимметричного движения и электростатики однородной упругой анизотропной среды в цилиндрической системе координат записываются в виде:
дагг , д°Гг , ^ гг -°ее рд2и *
дг* дг* г* дг2
дагг дг* + д°гг дг* + ®гг г* д 2Ж* п р 2 =0 дг2
= 0
(2.1)
дБг/дг* + Б^г^ + дБ,/дг* = 0
Уравнения состояния анизотропного пьезокерамического тела с аксиальной поляризацией материала определяются следующими равенствами [7]:
^ ди*г и* дЖ* Г
= СП~— + С12-+ С13 —--е31Ег
дг* г* дг*
*
-г ди*г и * дЖ *
= С12 "Г--+ С11--+ С13 "Г-
дг* г* дг*
- е31Ег
(2.2)
° гг = С13
( \ ди * + и*
дг* г*
+ С
33
дЖ * дг.*
- е33Ег
° гг = С55
'дЖ * + ди* Л дг* дг*
- е15Ег
= £33Ег + е31
(ди * + и*Л
дг* г*
+ 633
дЖ * дг*
Вг = гпЕг + 615
'дЖ * + ди * ^ дг* дг*
Ег =-
дф* дг*
Ег =-
дф* дг*
В соотношениях (2.1), (2.2) г — время, о]к(г*, г*, г), и*(г*, г*, 0, ^*(г*, г*, г) — соответственно компоненты тензора механических напряжений и вектора перемещений (}, к = г, 9, г); а.(г*, г*, 0, а(г*, г*, г), д.(г*, г*, 0, Ег(г*, г*, г), ф*(г*, г*, г) - компоненты векторов индукции, напряженности и потенциал электрического поля; р, Сте, ет5 — объемная плотность, модули упругости, а также пьезомодули анизотропного электроупругого материала (т, .9 = 1,5); е11, е33 — диэлектрические проницаемости материала.
В результате подстановки (2.2) в (2.1) получаем систему дифференциальных уравнений и граничные условия рассматриваемой задачи теории электроупругости для установившегося режима вынужденных колебаний в безразмерной форме:
V U + С55 dU + ( + C55 ) д2W + (e31 + e15 ) д 2ф 2jj _ Q
С11 dz.2 С11 дг dz 633 дг dz v2w + ^ + (C13 + C55) Vди + V2ф + д2ф + \W = 0 (2.3)
С11 С11 dz2 С11 dz езз dz2
en V2W+д^ + (e31 + e15) VдU - V 2ф-С^ = 0
езз dz e33 dz e33 e33 dz
r = 0, r = 1: W (0, z) <<», U (0, z) <<», ф (0, z) <<» СЦБЦ дф + e15 (dW + dU
DrV=1 = -^n dL + tllI ^ + д. I = 0 (2.4)
ef3 dr e331 dr dz)
U (1, z) = 0, W (1, z) = 0
z = 0, z = L: ctzz|z=L = CiVU + C3dWW + ^ = q(r) С11 С11 dz dz
CT zz|z=0 = С3 VU + С3 SW + = 0 (2.5)
Сц Сц dz dz
стгг = ^(W + d_U] + £15^ = 0, 5ф = 0
Сц V дг dz) е33 дг дг В равенствах (2.3)—(2.5) общий для всех функций временной множитель ехр (-Ш) опускается, 0 — частота вынужденных колебаний,
X2 =£1_р, {U,W,r,z,L} = {U*,W*,r*,z*,h}/b, ф = Ф*6зз/(ЬСц)
C
11
q(r) = q*(r), v; + 4j, v2 + , +1
Сц ' dr2 r dr r2' dr2 r dr' dr
r
Соотношения (2.3)—(2.5) и представляют математическую формулировку рассматриваемой краевой задачи электроупругости.
3. Построение общего решения. Решение осуществляется методом конечных интегральных преобразований Ханкеля по координате r. Для этого равенства (2.3)—(2.5) приводятся к стандартной форме, позволяющей провести данную процедуру разделения переменных. Принимая во внимание линейность данных соотношений и теорему о суперпозиции решений, функции U, W, ф представляются в виде следующих разложений:
U(r,z) = /1 (r) q(r) + u (r,z), W(r, z) = /2 (r) K(z) + w(r, z) (3.1)
Ф (r, z) = /3 (r) K (z) + X (r, z)
Кроме того, последнее условие (2.4) заменяется на равенство
= C* idW+тт)+-Г = к М- (3.2)
C11 v dr dz J e33 dr
Здесь K (z) = K* (z)/C11; K*(z) — касательные напряжения, приложенные к цилиндрической поверхности пластины и определяемые в процессе решения задачи из условия отсутствия вертикальных перемещений при r = 1.
При этом функция К(г) должна удовлетворять зависимости ь 1
|К (г)йг = -|д (г) гйг
(3.3)
которая является условием уравновешенности пластины при действии осесимметрич-ной нагрузки.
В результате подстановки (3.1) в (2.3)—(2.5), (3.2) при учете соотношений
/1 (1) = /1 (0) = 0,
df2 (г
йг
|г =0
й/3 (г йг
= 0
|г=0
й/2 (г;
йг
С11£11
й/3 (г
"=1 С55£11 + е15
йг
е15е33
(3.4)
•=1 С55Е11 + е15
получаем новую краевую задачу относительно функций и (г, г), г (г, г), X (г, г). Дифференциальные уравнения (2.3) и граничные условия (2.5) становятся неоднородными с правыми частями + Е3, N1 - N, а (2.4) с учетом (3.2) при г = 1 принимают вид
и (1 г) = 0, дг
дг
-=1
= 0, дХ
дг
= 0
(3.5)
-=1
В преобразованных равенствах Р1 = -у? + ^2) [[(г^г)]-
С13 + С55 /г) + е31 + е15 /г) Сц йг е33 йг
йК(г) йг
Р2 =-
Е3 =-
V2^2(г) + 615 у/г) + А/г)
С11 е33
К(г) -
^ /2(г) + /3(г)
С11
й К(г)
йг2
615 V/ (г) - ^ v2/з (г)
е33
2
е33
К (г) -
Су.
N1 (г, Ь) = д (г (г )д (г)] -
С11
/2 (г) - ^ /3 (г)
е33
йК (г)
йг \г=Ь
й2К (г) йг2
С3 /2 (г) + /3 (г) 1.41
N2 (г,0) = - С3 У[Л (г )д (г )]■ С11
С33 /2 (г) + /3 (г) С11
йК (г)
йг \г=0
{{3 (г,Ь),N4 (г,0)}=-С55{К(Ь),К(0)}, {{ (г,Ь), N6 (г,0)} = -{К(Ь), К(0)} С11 йг йг
К краевой задаче относительно и (г, г), г (г, г), X (г, г) применяем преобразование Ханкеля с конечными пределами по переменной г, используя следующие трансформанты
ин (}п, г) = |и (г, г) П1 (}пг) йг
0
1
{гн (Л, г), фн (Л, г)} = {{( г), х ( г)}П0 (>)йг
(3.6)
и формулы обращения
— (, z) = 2Х 0„г)
п=1 1 0 )
- (г, ^ = 2]Г 0 (/», х (г, z) = 2]Г Шфо О/)
п=о 1 о (Л) п=о 1 о (Л)
В равенствах (3.6), (3.7) ]п — корни трансцендентного уравнения
1 (/п) = о (И = о^; ]о = о)
В пространстве изображений получаем следующую краевую задачу: • 2 С55 й2-н (С13 + С55) . й-н (е31 + е15) ,. ¿фн л 2 _
]п—И + _ 2 _ 1п ,
С11 йт. С11 dz
+ Х —н _
е33 dz
С55 .2 С33й2—н (С13 + С55) . й—н е15 л, й2фн . 2 ^
--Т5/п-Н ^ТТ1-2Н +-^--/пФН + —+ ^ 2н _ Р
С11 С11 dz,2 С11 dz в33 йГ
е15 ;2 + й2-Н + (е31 + е15) . й—н + С11Ё11 :2Ф С11Ё33 й2фН _ г
--/п-н +-— +-/п~Г~ + —2— /пфн--2--Г _ Г3Н
е33 dz е33 ^ е33 е33 dz
2н
z =
о, z = Ь С^/п—н + С3^ + = { (/п, Ь), Щн (]„,о Сп Сп dz dz
С55 - /п-Н] = {{ (/п, Ь), мщ (Л, о)}
-/пФн = {н (/п, Ь), N 6Н (}п, о)}
1
{н, N3н, NЛн, N5H, N 6н} = N3, N4, N5, N6}} (() йг
о
1
{{н, Рн, ^н, N2Н} = } {, Г3, N1, N2}}о (() йг
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
При исследовании (3.9), (3.10) необходимо рассмотреть два случая: п = о и п ф о. Когда п = о, формируется следующая задача относительно —н (/о,z), фн (/о,z):
й 2wн|dz 2 + р2-н = Гн
Фн \-н + К^) |
С11£33 I
/2 (Г) - ^ /3 (Г)
2
е33
гйг >
(3.11)
(3.12)
z =
о, z = Ь: — — + ^ = N2Н (о) Сп dz dz
Рн = (Сцен + е23) ^СпЕцГН- + е^Н), р2 = Х2/
(3.13)
/4 = С711Ё33 2 , (N5,, N2*н, РН, РН} =
С33е33 + е33
|{N1, N2, Г2, Р}
о
Общий интеграл равенства (3.11) с учетом (3.4), (3.13) имеет вид
гн С/0,г) = А0С08(рг) + ¿^т (рг) + р 1 (£) sinp (г - йЕ,
»10 = [1п (рЬ)
-1
»20PС0S (рЬ) - /41д (г) гйг -
ь i \ 1
+ |^ ф^р (Ь -$)й^ + ^ |/2 (г) гйг
йг 1г=ь :
(3.14)
»20 = р
-1 йК (г) йг
|г=0 ,
|/2 (г) гйг
При п ф 0 система уравнений (3.9) при
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.