МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <1 • 2008
УДК 539.374
© 2008 г. К.И. РОМАНОВ
ВЫПУЧИВАНИЕ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК ПО СХЕМЕ КАРМАНА В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ
Проблема устойчивости и выпучивания пластинок в условиях ползучести исследована в основополагающих работах [1-4]. В статьях [5, 6] дано развитие теории выпучивания стержней и пластинок в рамках модели доминирующего изгиба [7]. При этом усилия в срединной плоскости пластинки определялись вне зависимости от решения задачи изгиба.
Ниже схема Кармана [8] применена к выводу двух основных дифференциальных уравнений связанной теории плоского напряженного состояния и изгиба. Решена задача выпучивания прямоугольной пластинки для линей-новязкой (ньютоновской) среды и показано, что схема Кармана дает существенную поправку к решению задачи изгиба при начальных прогибах, соизмеримых с толщиной пластинки.
1. Постановка задачи выпучивания пластинок. Рассмотрим в любых, в частных, декартовых, осях пластинку, центр которой в момент времени t = 0 имеет малый прогиб А0, нарастающий в процессе ползучести под действием сжимающих сил, приложенных в срединной плоскости. Ставится задача получения зависимости текущего прогиба А(0 центра пластинки и определения величины критического времени, соответствующего резкому нарастанию прогибов.
Допускается возможность смещения краев пластинки в ее плоскости. Уравнение состояния материала принимается в виде [9]:
%е = ка"е (1.1)
где Ъ,е - эквивалентная скорость деформаций; ое - эквивалентное напряжение; к и п -постоянные материала при определенной температуре.
Скорости деформаций и напряжения связаны между собой определяющими соотношениями
^ = Й- ^ - ) а2)
где а0 - среднее нормальное напряжение; 8у - символ Кронекера.
2. Плоское напряженное состояние (ПНС). В срединной плоскости пластинки имеют место однородные уравнения равновесия
дох дтху дт„, доУ
_X +_хУУ = 0 _— +_У = 0
дх ду ' дх ду
отождествляемые с помощью функции напряжений П(х, у) по формулам
ох = д2 П/ ду2, о у = д2 П/ д х2, т ху = -д2 П(дхду) (2.1)
Определяющие соотношения (1.2) с учетом уравнения состояния (1.1) могут быть представлены в виде
о „
Р _ —
V F 1Э2 F"
• д х
д У
22 д F 1 д F^
д x
' д y
Р = -3 Ре iZ.
2 о е д x ду
(2.2)
Геометрические соотношения в схеме Кармана для расчета упругих пластинок принимаются в форме
= ди + 1 fiw2 Р _ ди+1 fiw2
Р ду 21 ду)
Px дх + 21. дх) ' РУ
= 2 _ ди + ди + дЬдw 1ху _ рху _ ду дХ дх ду
(2.3)
где гх, гу, гху - деформации; у - сдвиг; и, и и м> - перемещения вдоль осей х, у и г, соответственно. Компоненты тензора деформаций (2.3) удовлетворяют основному геометрическому тождеству
2
д Р х
2
д Р у
■-2
2
д Р
Э2 ч 2 ~\2 ~\2
w ) д w д w
ху -
ду2 дх2 дхду (дхду) дх2 ду2
(2.4)
Дифференцируя соотношения (2.3) и (2.4) по времени, получим связь между скоростями деформаций и скоростями перемещений в виде
Р _ ди + д£д-W Р _ ди + д-Wi
Рх _ дх дхдх' Ру _ ду дуду
Р _ 1 'ди + д U + д_Е + д-W дWW ^ Рху _ 2(ду дх дх дх дх ду)
и основное геометрические тождество
д2Рх , д2Ру
-2
д2Р
ху _
_ 2
д2w д^ д2wW д2w д^ дw
ду2 дх2 дхду дхдудхду д х2 ду2 ду2 дх2 G[(*),w] _ д-w + ^-2д^^
_ -G(w, w)
(2.5)
д х 2 д y 2 д y 2 д х 2
дхду дхду
где О - оператор теории ползучести пластинки.
Подстановка соотношений (2.2) в тождество (2.5) приводит к основному уравнению ПНС:
д у
Гд2 F 1 д2 F^
д х 2
д у2
+ -d —
д х 2
Гд2 F 1 д2 F^
д х 2
' д у
Ч (0;
^ + 1L '
3 -ч 2
y 3 х 2 y
/
+ 2
дх ^
' д-F+ ^'
х 3 х y 2
+ 3
_э2_(Ре\aV
Л Л I I + — v2 v2F _ -G(w, w) дхду (ое) дхду 0е
(2.6)
2
= к
У2,
д2 F d^F ду д x
22 д x 2
+ 3
f ÉL)2
Vdxдy)
n - 1 2
В случае п = 1 основное уравнение ПНС принимает вид
kV2 V2F = -G(w, w)
(2.7)
3. Доминирующий изгиб. Схема доминирующего изгиба [7] разработана в случае нелинейно-вязкого материала в статьях [10, 11]. В декартовых осях основное уравнение доминирующего изгиба с учетом формул (2.1) принимает вид
д m - 1 2X
д x
д 2 wW + 1 д 2 w
~ 2 - - 2
2
, д m-1
ду X
д x
Л з •
'д у
+ д m - 1
Т"2х
ду
д2 тт + 1 д2 w
~ 2 д x2
2
ду2
, д m-1
+2 dx х
д w + д w д x3 д x д у2
аз • ^ . ) д w + д w
ду3 д x2 ду.
. д2 m-1 d2w mА ,
+ х ;Г;Г + X VV w = — G (F, w)
dxdу дxдy
D„
. д2Fd2w , д2Fд2w , д2F d2w G(F, w) = "Г—+ ——
д у2 д x 2 д x2 д у2
22
д w
д x 2
+ d2w d2w + д x 2 д у 2
22 д w
-д-у2
f ÉÉ.)2 vdxду)
(3.1)
Бп = 3-(т + 1)/2( Ш)тИт + 2/(т + 2), т = 1/п
где Бп - обобщенная жесткость, А - толщина пластинки.
В случае п = 1 основное уравнение доминирующего изгиба может быть представлено в форме
DV2V2w = hG(F, w)
(3.2)
Таким образом, задача расчета пластинок на выпучивание сводится к решению связанной системы уравнений (2.6) и (3.1). В частном случае п = 1 указанная система двух уравнений приводится к уравнениям (2.7) и (3.2).
Варианты аналитических решений указанных систем уравнений связаны с использованием метода коллокаций или метода Бубнова-Галеркина-Канторовича. Возможные координатные функции, полученные методами теории упругости, удовлетворяющие граничным условиям, в частности, для прямоугольных пластинок, даны в [8, 12].
4. Круговые цилиндрические оболочки. Компоненты деформации срединной поверхности тонкой круговой цилиндрической оболочки радиуса Я принимаются равными следующим выражениям [13]:
= ди +1 (д^)2
£х дх 21дх )
= ди + 1 fdw) 2- w Еу ду 2 V ду) - R
= 2е = ди + ди + dw dw ^ ду dx dx ду
e
X
х:у
Комбинация геометрических переменных образует тождество
Э ех + Э еу д Уху _ ( д2 м \2 Э2 м д2 м 1 Э2 м ЭХ2 ^ (д х ду) дх2ду2 Я д х2 Следовательно
д2 р х д2Ъу д2 рху Ъх + -2 ,г4гу _ -Ь (м, м)
ду дх2 дхдУ Ь (V, м) _
д2М д^ + д 2 V д2 м ^ д2М д2 м + 1 д2м
дх2 ду2 ду2 дх2 дхдУдхдУ Я дх2 где оператор теории ползучести оболочки Ь[(*), м] = м] + д2/(Ядх2).
Таким образом
д2. гЪ
д у2
2 1Э 2 + — 2 1Э 2 +2Эу
(д у2 2 Эх2, дх2 (°е) уд х2 2 Э у2, ^е)
/ 3 3 \ д^ + д3 F
ду3 дх2ду)
+ 2
д х 1ое
'д^+^л
3 Л л 2
д х д х ду"
+ 3
(.к).^ + V2у2F _ -Ь(м дхду (Ое)дхду Ое
-Ь (м, м)
(4.1)
(4.2)
В случае п = 1 основное уравнение ПНС принимает вид
кУ2 V2F _ -Ь (м, м)
(4.3)
Вывод уравнения по схеме доминирующего изгиба основывается на уравнении равновесия [8, 13]:
д2мх д2мху дМ _х - 2_ху +_у _
дх2 дхду ду2
д2м , К
а + М^м + + 2К ^ + ^
4 х- 2 у ду2 худ х ду Я
д х
где Мх и М , М^ - изгибающие и крутящий моменты в поперечных сечениях оболочки; а - внешнее давление; Мх, Ыу, - внутренние силы в срединной плоскости пластинки.
Подставляя в это уравнение тождества (2.1) и внутренние моменты [11] получим второе основное уравнение задачи теории выпучивания оболочки при ползучести
д -1 д х2
22 д м + 1 д м>
д х2
■д у
, д т - 1
+ дТ2 х
¿У
22 д м + 1 д м>
~ 2 э х2
, ^ Э т - 1
ду Х
3
3
д м + дм ~ -. 2
+Лгх
ду
т -1 д2!^
, Э т-1
+2 эхх
д м> + дм
д х3 д х ду2
дхду- дхду + хт-1у2у^_ ¿П[а + Ь(F'м)]
,ду д х ду
В случае п = 1 основное уравнение доминирующего изгиба принимает вид БпУ2У2м _ к [а + Ь(^ м)]
(4.4)
(4.5)
Следовательно, задача расчета круговой цилиндрической оболочки на выпучивание сводится к решению связанной системы уравнений (4.2), (4.4). В случае ньютоновской среды указанная система двух уравнений приводится к уравнению (4.3) и (4.5).
Соотношения безмоментной теории получаются, если уравнения (4.2) и (4.3) оставить без изменений, а в уравнениях (4.4) и (4.5) положить Бп = 0. В частном случае п = 1 уравнения (4.3) и (4.5) сводятся к системе
kV2 V2П = - L (W, w), q + L (П, w) = 0
5. Пример расчета. Структура решения, получаемого по схеме Кармана, выясняется на примере шарнирно опертой прямоугольной пластинки, сжатой силами Px = -Р, Py = 0.
В одночленном приближении в задаче теории ползучести примем w = = A(t)sin(лx/a)sin(л;y/й), где A(t) - определяемая в результате решения функция времени, a и Ь - размеры пластинки.
Положим п = 1. Тогда принятая функция прогиба дает возможность представить уравнение (2.7) в форме
VVf = Шf?П cos2^-- sin2 —
(5.1)
k Vaj Vb Функцией напряжений зададимся в виде
F =P¿ + B (t) sin—sin 2 bh a b
где B(t) - функция времени. Подстановка этого выражения в уравнение (5.1) приводит к невязке
B
a)4+2© i!+f i
sin—sin S-2 AAfl) 2fn) 2f cos2 ?-sin2 0
a b k V aj V b J V b a
По методу Бубнова-Галеркина-Канторовича отсюда следует первое уравнение исходной связанной системы
B = aAA
32 fn)2fn)2
а =
kn2VaJ VbJ [(n/a)4 + 2(n/a)2(п/b)2 + (n/b)4]
Второе уравнение (3.2) приводит к невязке
. nx . пy 2h . nfn)2fn)2f . 2ПX 2ny in—sin—-— ф — AB\ - 7 sin--cos -fa b D Vaj VbJ V a b
A
nj - f D! f b) 2+f í
, PA fn)2 . nx . ny
+ ------- --- sin------ sin------
DbV a
(5.2)
(5.3)
откуда с помощью метода Бубнова-Галеркина-Канторовича получим второе уравнение исходной связанной системы
A = IA
p_fn)2. -2Bhfn)2f?)2^
Db V a
D V a
/i J1
aj 4+2 f i! f!) 2+f b
a b
T r r • 2nx . 2ny , , ab Jj = J J sin —sin -b- dxdy = —
a b
00
г eel 2пу . пх . пу . зпх . пу) , , 4ab J2 = cos -f- sin—sin-f- — sin —sin-f- \dxdy = —— 2 JJl, b a b a b ) y п2
Подстановка равенства (5.3) в уравнение (5.2) определяет зависимость B(A):
\4П 1 т~1./„,\2/„\2
B
= faP(п)2 г V. Г(пч4
Db{ a
Ji /[Ji
a) + 2{a) {bj +{b
i 2 a h (п)2 (п)2 A2 D {a)[b) J2
Тогда из (5.3) следует дифференциальное уравнение
AA
i = f P (п
Db{ a
J i /1 J
п)4+2 fnj W+(п
12 ah (п) 2(п) %
A2 ~{a) [b)J2
Решение полученного уравнения с учетом начального условия A = A0 при t = 0 имеет вид (P = const):
Ji
п) Чп) "(п) 2+(п
4A
in a+
A0
+ah (п) (п) J 2 (A2- A ) = Dbf^J, t
В частном случае квадратной пластинки (a = b):
Pa
, A , 288A2-AO
ln AA + ——
t
0п
h
4 Dп
(5.4)
Решение без учета F, то есть по схеме доминирующего изгиба [11] получается на основе уравнения (п = 1):
V2V2w = D
/
-P
\
2)
д w д х2
откуда следует (P = const):
in
A = P (п
t
A0 Db{a) [(п/a)4 + 2(п^)2(п/b)2 + (п/b)4
В частном случае квадратной пластинки
Pa
A
in ------ =
Ao 4п2 D
t
(5.5)
Сопоставление решений (5.4) и (5.5) показывает, что поправка, вносимая схемой Кармана в решение задачи выпучивания, оказывается существенной при прогибах, соизмеримых с толщиной пласти
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.