ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 5, 2014
УДК 539.3
© 2014 г. Буяков И.А., Березкин В.А.
ВЫПУЧИВАНИЕ ТОНКОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
ВНУТРИ ШАРОВОЙ ПОЛОСТИ СЖИМАЮЩЕГОСЯ МАССИВНОГО ТЕЛА
Центральный научно-исследовательский институт машиностроения, г. Королев МО
Рассматривается задача о выпучивании тонкой упругой сферической оболочки внутри шаровой полости равномерно сжимающегося массивного тела. Данная проблема возникает, например, при проектировании сосудов давления из композиционных материалов с тонким металлическим герметизирующим слоем. Предполагается, что в начале процесса сжатия оболочка плотно прилегает к стенке полости (к жесткой обойме). Описан алгоритм поиска равновесного состояния оболочки в закритиче-ском состоянии. В результате решения задачи в числе прочего получены критическое значение деформации сжатия и конфигурация оболочки в закритическом состоянии.
Проблема выпучивания тонкостенных тел при кинематических ограничениях, накладываемых на их лицевую поверхность, возникает при создании различных объектов современной техники, например, при проектировании сосудов давления из композиционных материалов. Волокнистые композиты с полимерной матрицей не обеспечивают надлежащей герметичности сосуда. В связи с этим в конструкцию сосуда вводится герметизирующий слой в виде тонкой металлической оболочки (лейнера). Каждый сосуд проходит процедуру опрессовки внутренним давлением. При этом уровень деформирования материала лейнера может превысить предел упругости, в то время как силовая оболочка из композиционных материалов (обойма) ведет себя упруго вплоть до разрушения сосуда. В процессе стравливания давления из сосуда лейнер деформируется упруго (согласно теореме о разгрузке [1]) и вследствие обжатия обоймой может произойти его выпучивание.
Экспериментальное и теоретическое исследования выпучивания сферической оболочки внутри сжимающейся обоймы в настоящее время, по-видимому, отсутствуют [2—4]. Однако потребности современной техники ставят изучение данной проблемы в повестку дня.
Исследование потери устойчивости тонкой оболочки внутри жесткой обоймы опирается на предположение о том, что в процессе выпучивания образуется одна глубокая осесимметричная лунка, размер которой одного порядка с радиусом оболочки (рис. 1). Данное предположение основано на аналогичном поведении кольца, сжимаемого абсолютно жесткой обоймой [5, 6], что было зафиксировано в экспериментах [7, 8]. За-критическая конфигурация лейнера исследуется на основе геометрически нелинейной в квадратичном приближении теории оболочек [9].
Исходная система нелинейных уравнений, описывающая осесимметричное напряженно-деформированное состояние упругой оболочки, имеет вид: уравнения равновесия
Niii = kg(N22 - Nii) - kiNi3 - qu Nm = -kgNu + kNn + k2N22 - q3,
Miri = kg(M22 - Ми) + N13 + 3iNn;
Рис. 1. Закритическая конфигурация сферической оболочки: ф0 — координата границы области выпучивания, 1 — сферическая оболочка (лейнер), 2 — сжимающая обойма
деформационные соотношения
иГ1 = -ки + 8ц - 2иъл = кхих - 3Г1
822 = kgu1 + k2u3, к22 = кг^1;
соотношения упругости
N11 = B11811 + B12822, N22 = B12 811 + B22822,
M11 = D11k11 + D12k22-
M11 = D11k11 + D12k22 ,
Здесь N11, N22Mn, M22 — мембранные усилия и изгибающие моменты; N13 — поперечная сила; q1, q3 — поверхностная нагрузка, которая в зоне выпучивания оболочки тождественно равна нулю; к1, к2, kg — главные кривизны оболочки и геодезическая
кривизна параллели; для сферической оболочки к1 = к2 = к; kg = к ctg ф; ф — угловая координата, отсчитываемая от полюса оболочки; u1, u3 — перемещения оболочки вдоль образующей и по нормали к ней; — угол поворота нормали; 8И, 822 — меридиональная и кольцевая деформации; кш к22 — изменения главных кривизн оболочки; Bn, B22 — жесткости оболочки при растяжении-сжатии; Bn = B22 = B = Eh/(1 — v2);
B12 = vB; Dn, D22 — изгибные жесткости оболочки; D11 = D22 = D
Eh/[ 12( 1 - v2)];
Л12 = vD; (. = d(...)/ds■, ds = Rd<p; Я, к — радиус и толщина сферической оболочки.
Равновесное закритическое состояние сферического лейнера, показанное на рис. 1, определяется из условия равенства энергии деформирования лейнера в до- и закрити-ческом состояниях. При этом предполагается, что часть лейнера, находящаяся в контакте с обоймой, после выпучивания околополярной области лейнера не меняет накопленную энергию деформирования. Таким образом, задача сводится к сравнению энергии деформирования области выпучивания лейнера в упомянутых выше состояниях.
Конфигурация области выпучивания сферической оболочки зависит от трех параметров: величины прогиба в полюсе и30, величины до критического равномерного обжатия лейнера е0 и границы области выпучивания ф0. Определение равновесной конфигурации осуществляется в процессе варьирования указанных параметров путем проведения циклических расчетов: внешний цикл связан с варьированием угла ф0; в этот цикл вложено варьирование деформации е0 и, наконец, осуществляется варьирование параметра и30 во внутреннем цикле. В процессе варьирования прогиба в полюсе на каждом шаге решается геометрически нелинейная задача с граничными условиями:
«з(0) = «30, «1(0) = »1(0) = 0; и3(ф0) = 80^; и^) = = 0.
2
Q0 ■ 10-1, Н ■ мм-12
4
0 -4
-12 -20о
. мм 5
V ■ 10-2, Н ■ м 10000 г
6000
2000 0
2 s0 ■ 103 3
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 2. Изменение радиальной силы, приложенной в полюсе сферической оболочки, в зависимости от прогиба полюса при различных значениях величины обжатия оболочки е0 при ф0 = 10°: 1 — е0 = 1 • 10-3,
2 - Е0 = 0,555 • 10-3, 3 - Е0 = 3 • 10
0 =
А 3
Поскольку величина прогиба в полюсе и30 задана, то сосредоточенная радиальная сила Т0 в указанной точке не регламентируется и в общем случае эта сила не равна нулю. Вместе с тем в равновесном закритическом состоянии область выпучивания лей-нера свободна от всех сил, кроме сил, приложенных на границе ф = ф0. Отсюда вытекает условие прекращения варьирования величины и30: радиальная сила Т0 равновесной конфигурации должна равняться нулю.
В каждой равновесной конфигурации вычисляется энергия деформирования лей-нера в зоне выпучивания, которая сравнивается с энергией в докритическом состоянии аналогично тому, как это сделано применительно к кольцу [5, 6]. Такие сравнения проводятся для всех пар значений ф0 и е0.
В качестве примера рассмотрено выпучивание тонкостенного сферического лейне-ра, имеющего размеры: радиус Я = 1000 мм, толщина к = 1 мм; материал лейнера — изотропный, модуль упругости Е = 7,06 • 104 МПа, коэффициент Пуассона V = 0,3. В результате варьирования параметров ф0 и е0 установлено, что минимум энергии деформирования зоны выпучивания лейнера достигается при величине ф0 = 10° и е0 = —5,55 • 104; при этом прогиб в полюсе и30 составил величину 4,22 мм. Характер изменения силы Q0 = Т0/2пк в зависимости от и30 показан на рис. 2 для ряда значений параметра Е0(здесь к — начальное значение координаты 5 при численном решении задачи).
Энергия деформирования сферического лейнера в зоне выпучивания вычисляется по формуле [10]
Фо
V =
Eh d2 -- nR
1 ^ 1 - v
J (e11 + £22)2 + ^(к11 + K22)2 - 2(1 - v)(£11£22 + h2К11К22^)
sin ф^ф . (1)
В докритическом состоянии, когда бп = e22 = e0 и ки = к22 = 0, выражение (1) принимает вид V0 = --E-h— e02nR2(1 - cosф0). Анализ геометрии лейнера в зоне выпучивания показал отсутствие соприкосновения обоймы и лейнера в закритическом состоянии.
Отметим, что критическая деформация идеальной сферической оболочки при действии равномерного внешнего давления в отсутствии стеснения в 2,4 раза меньше, чем в условиях стеснения.
3
о
На рис. 3 показана зависимость энергии деформирования лейнера V от величины его обжатия для зоны выпучивания ф0 = 10° в докритическом состоянии (кривая 1) и в закритическом (кривая 2). Точка пересечения двух кривых определяет момент выпучивания лейнера.
Для сравнения укажем параметры, при которых происходит выпучивание кольца в обойме при тех же значениях радиуса, толщины и механических характеристик [6]: е0 = 2.51 ■ 10-4, ф0 = 10°. Таким образом, сферический лейнер выпучивается при однородной деформации s0 более, чем вдвое превышающей критическую деформацию кольца, при этом угловые координаты ф0 границы области выпучивания оболочки и кольца совпали.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948. 376 с.
2. Кантор Б.Я. Контактные задачи нелинейной теории оболочек вращения. Киев: Наукова думка, 1990. 136 с.
3. Михайловский Е.И. Элементы конструктивно-нелинейной механики. Сыктывкар. Изд-во Сыктывкарского ун-та, 2011. 212 с.
4. Михайловский Е.И. Устойчивость и закритическое поведение упругих систем при односторонних ограничениях на перемещения. Сыктывкар: Изд-во УРО РАН, 2004. С. 32—57.
5. Chen H.C., McMinn S.J. The stability of a uniformly compressed ring surrounded by a rigid circular surface // Int. J. Mech. Sci. Pergamon press Ltd., 1966. V. 8. P. 433-442.
6. Буяков И.А. Простейшее решение задачи о выпучивании кольца внутри жесткой обоймы // Космонавтика и ракетостроение. 2004. Вып. № 1 (34). С. 119-130.
7. Odell H., Albeit W.E. The Filament-Reinforced Motor Case. Aerospace Engineering, Apr, 1962. P. 52-53, 70-72.
8. Johns R.H., Kaufman A. Filament-Overwrapped Metallic Cylindrical Pressure Vfessels // Spacecraft, Jul 1967. V 4. № 7. P. 872-877.
9. Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И. и др. Статика и динамика тонкостенных оболо-чечных конструкций. М.: Машиностроение, 1975. 376 с.
10. НовожиловВ.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. 432 с.
Москва Поступила в редакцию 23.IX.2013
2 ПМ и НМ, № 5
33
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.