научная статья по теме ВЫРОЖДЕНИЕ КВАЗИСТАТИЧЕСКИХ РЕЗОНАНСОВ В ИМПЕДАНСНОМ КРУГОВОМ ЦИЛИНДРЕ, ПОКРЫТОМ СЛОЕМ МЕТАМАТЕРИАЛА Электроника. Радиотехника

Текст научной статьи на тему «ВЫРОЖДЕНИЕ КВАЗИСТАТИЧЕСКИХ РЕЗОНАНСОВ В ИМПЕДАНСНОМ КРУГОВОМ ЦИЛИНДРЕ, ПОКРЫТОМ СЛОЕМ МЕТАМАТЕРИАЛА»

РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 3, с. 238-246

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^

И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН

УДК 538.566.2;621.372.8

ВЫРОЖДЕНИЕ КВАЗИСТАТИЧЕСКИХ РЕЗОНАНСОВ В ИМПЕДАНСНОМ КРУГОВОМ ЦИЛИНДРЕ, ПОКРЫТОМ СЛОЕМ МЕТАМАТЕРИАЛА © 2015 г. А. П. Анютин, И. П. Коршунов, А. Д. Шатров

Фрязинский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН Российская Федерация, 141190 Фрязино Московской обл., пл. Введенского 1 Е-таИ: anioutine@mail.ru; korip@ms.ire.rssi.ru Поступила в редакцию 07.06.2014 г.

Рассмотрена двумерная задача возбуждения нитью магнитного тока импедансного цилиндра, окруженного слоем метаматериала. Исследованы высокодобротные резонансы поверхностных волн, возникающие в малых по сравнению с длиной волны цилиндрах. Обнаружен эффект вырождения колебаний, имеющих различные значения индекса т в законе со8(тф), описывающем азимутальную зависимость резонансных полей. На основе строгих методов проведено численное исследование пространственных и частотных характеристик вырожденных колебаний.

Б01: 10.7868/$003384941503002Х

ВВЕДЕНИЕ

Искусственные среды, у которых относительные диэлектрическая е и магнитная ц проницаемости являются отрицательными величинами, в настоящее время принято называть метаматериа-лами [1]. Электромагнитные поля, возбуждаемые источниками, расположенными вблизи тел из ме-таматериалов, обладают рядом необычных свойств [2—5]. В работах [6, 7] обнаружены высокодобротные резонансы в сплошных и полых цилиндрах электрически малых размеров, выполненных из метаматериалов, у которых значения е и ц близки к минус единице. Такие цилиндры можно рассматривать как кольцевые резонаторы на поверхностных волнах, распространяющихся вдоль границы метаматериала. При этом поле на резонансной частоте описывается единственной азимутальной гармоникой со8(тф). В работе [8] показано, что в киральном анизотропно-проводящем цилиндре, заполненном метаматериалом, возможен эффект вырождения квазистатических резонансов. В частности, он проявляется в том, что резонансное поле описывается функцией со8(тф), имеющей различные значения индекса т в ближней и дальней зонах. В данной работе показано, что эффект вырождения высокодобротных квазистатических резонансов существует и в импедансных цилиндрах, окруженных слоем метаматериала. Рассматриваемая дифракционная задача является скалярной и отличается от близкой по результатам векторной задачи, изученной в работе [8], как объектом исследования, так и более простым математическим аппаратом.

1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ.

МЕТОД РЕШЕНИЯ

Рассматривается двумерная задача возбуждения нитевидным источником импедансного кругового цилиндра, покрытого слоем метаматериа-ла с параметрами е < 0, ц < 0. Изучается случай ТМ-поляризции в цилиндрической системе координат (г, ф, I). Зависимость полей от времени выбрана в виде ехр(/ф0; при этом полагаем, что источник расположен вне цилиндра на луче ф = п в точке г = г0 (рис. 1).

Исследуемая задача дифракции сводится к нахождению скалярной функции и (г, ф) = Hz (г, ф), которая должна удовлетворять неоднородному уравнению Гельмгольца

+ 1 ^ + 4 Й + * ^(ГМГ)

дг г дг г дф 4/

х и(г, ф) = — 8(г - г0)8(ф - п), г

(1)

где к — волновое число в свободном пространстве, функции е(^ и ц(г) определены следующим образом:

е(г) й < г < Ь ц(г) ={* й < г < Ь (2) [1, г > Ь, [1, г > Ь.

Предполагаем, что на поверхности цилиндра г = а выполнены граничные условия 3-го рода:

а ди (а, ф) = ^и (а, ф), дг

Б < 0, ц < 0

Рис. 1. Геометрия задачи.

где м> — безразмерный вещественный параметр, пропорциональный импедансу поверхности. На границе г = Ь функция Щг, ф) подчиняется условиям

и(Ь - 0,ф) = и(Ь + 0,ф),

1 ди(Ь - 0,Ф) = ди(Ь + 0,ф).

8 дг дг

(4)

Поле Щ(г, ф) должно также удовлетворять условию излучения на бесконечности.

Поле вне цилиндра (г > Ь) можно представить в виде суммы падающего и рассеянного полей:

и (г, ф) = и °(г, ф) + иБ (г, ф).

(5)

Из уравнения (1) следует, что поле падающей цилиндрической волны задано в виде

и 0(г, ф) = Н)2) (к^г2 + г02 + 2гг0 ео8 ф), (6)

где Н02) — функция Ганкеля.

Рассеянное поле Щ в дальней зоне (кг ^ да) представим в виде

и5(г,ф) = Ф5(ф)(2/пкг)1/2 ехр(кг +1п/4), (7)

где Ф^(ф) — диаграмма рассеяния. Тогда диаграмма направленности падающего поля Ц°(г, ф) будет иметь единичную амплитуду:

Ф 0(ф) = ехр (-/кг0 ео8(ф)).

Сформулированная задача дифракции может быть решена методом разделения переменных (ряды Рэлея [9]). Приведем основные формулы метода Рэлея. Введем следующие обозначения:

Лт(кЬ) = 1т(ЖЬ)1'т(кЬ) -1 Ш'т(ЖЬ)1т(кЬ),

8

1 лги-(2)',

Бт(кЬ) = Нт2)(МкЬ)1т(кЬ) -±МНС)(МкЬ)1т(кЬ),

8

Ст(кЬ) = Jm(Nкb)H{¿) (кЬ) -1 Ш'т(ЖЬН\Щ, (9)

Бт{кЬ) = Н(2)(ЖЬ)Н(2)(кЬ) -1 NHi2)(NкЬ)Hi2)(кЬ),

8

Ьт(ка) = wJm(Nкa) - Ш^'т(Ша),

Мт(ка) = wH(2)(Nкa) - NкaHi2)'(Nкa),

где

N = Т^Й, (10)

1т — функции Бесселя, штрих означает дифференцирование по аргументу.

Рассеянное поле вне цилиндра (г > Ь) имеет вид

и5 (г, ф) = £ (-1)т 5 тН(2)(кг0) X

X Mm(кa)Лт(кЬ) - Ьт^тОА) Н(2)(кг) С08(тф) ,

(8) ^^^„.(кЬ) - Мт(кй)Ст(кЬ)

т=0

б(м)

-0.9

-1.0

3.5 м

Рис. 2. Траектории резонансных параметров мод с индексом т в плоскости м—8 при а = 0.81; кЬ = 0.2; ц = -1.

Ь

где

8 т =

1, т = 0,

(12)

(13)

ций Бесселя и два члена разложения по отрицательным степеням для функций Ганкеля. Учитывая условия (14), получим следующее выражение для резонансных частот:

(*Ьт )2 = 2т(т - 1)

1 + "

1 -ц + т(1 + ц)

1 \ I \ 2т

1\т - ъ а

8/ т + МЬ,

(15)

т > 2.

[2, т > 1. Поле внутри слоя (а < г < Ь) равно

и (г, ф) = X (-1)т 5 тНт2)(*о) X

т=0

х Мт(ка~)<[т(Мкг) - 1т(ка)Н(т](Ыкг)с

Ьт (ка)Лт (*Ь) - Мт (ка)Ст (*Ь) ^ '

Формула для диаграммы рассеяния Ф^(ф) может быть получена из выражения (11) путем замены

функции Ганкеля Нт\кг) на (¡)т.

2. НИЗКОЧАСТОТНЫЕ РЕЗОНАНСЫ Ряды Рэлея содержат резонансные знаменатели Ьт(ка)Вт(кЬ) — Мт(ка)Ст(кЬ). Исследуем зависимость этих знаменателей от частоты, предполагая

кЬ < 1, ЖЬ < 1, (^) < 1, |е +1 < 1. (14)

При выполнении условий (14) действительная часть знаменателей значительно превышает мнимую часть. Действительная часть резонансного знаменателя обращается в нуль в точке кЬт, которая и является резонансной частотой. Для определения резонансных частот воспользуемся известными асимптотическими разложениями цилиндрических функций при малых значениях аргумента. Используем два члена разложения по положительным степеням аргумента для функ-

В случае ТМ-поляризации магнитная проницаемость слабо влияет на резонансные частоты. Поэтому далее для определенности будем полагать ц = —1. На резонансной частоте кЬт в поле Щ(г, ф) будет доминировать единственная азимутальная гармоника со8(тф).

Очевидно, что представленные выше формулы могут быть использованы для решения задачи дифракции, когда импедансный цилиндр заменяется цилиндром с идеальной проводимостью поверхности электрического (м = 0) или магнитного (м = го) типа.

3. ВЫРОЖДЕНИЕ НИЗКОЧАСТОТНЫХ РЕЗОНАНСОВ

Возможен случай, когда параметры 8, ц, м,а, кЬ

Ь

являются резонансными одновременно для двух различных значений азимутального индекса т. На рис. 2 изображено семейство дисперсионных кривых, описывающих связь между резонансными значениями м и 8 при ц = —1, а/Ь = 0.81, кЬ = 0.2. Кривые соответствуют различным значениям индекса т. Эти кривые построены по формуле (15). Как видно из рисунка, все кривые пересекаются, и это соответствует явлению вырождения. Точку на плоскости параметров (м, 8), в которой происходит пересечение дисперсионных кривых с разными значениями индекса т, далее будем называть точкой вырождения, например "3—4".

Приведем результаты расчетов волновых полей в условиях вырождения квазистатических ре-зонансов. Во всех последующих расчетах (кроме последнего примера для м < 0) принято ц = —1, а/Ь = 0.81, г0 = 1.2Ь. Изменяемыми параметрами будут только 8, м, кЬ.

Поведение поля в полосе частот описываем с помощью амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), под которой будем понимать зависимость модуля поля от частоты на границе исследуемой структуры в точке г = Ь, ф = п.

На рис. 3 представлена АЧХ цилиндра при параметрах

8 = 0.9478999730915, ъ = 2.98,

(16)

соответствующих вырождению резонансов с азимутальными индексами т = 4 и т = 6. Амплитуд-

|U(b, п)| 1014

10

13

12

10

1011 ,

2.33 х 10

2.34 х 10

2.35 х 10-7 kb — 0.188774

Рис. 3. АЧХ импедансного цилиндра, покрытого ме-таматериалом в точке вырождения "4—6" при s =

= -0.947899973091; ц = —1; w = 2.98; - = 0.81; r0 = 1.2b.

b

|U(r, 0)| 1014

10

Рис. 4. Распределение модуля поля по радиальной координате вне импедансного цилиндра, покрытого метаматериалом при в = -0.9478999730915; ц = —1;

м = 2.98; - = 0.81; г0 = 1.26; кЬ46 = 0.18877423398. Ь

но-частотная характеристика представляет собой резонансную кривую с максимумом в точке кЬ46 = = 0.18877423.... Приближенные значения параметров, обеспечивающих вырождение колебаний, находим с помощью графика на рис. 2. Далее численным методом последовательных приближений находим их точные значения. При этом учитывали то свойство, что отклонение параметров 8 и м от истинных значений приводит к "раздвоению" АЧХ.

Расчеты показали, что на резонансной частоте кЬ4, 6 распределение поля вдоль границы цилиндра и диаграмма рассеяния описываются одной высшей

гармоникой:

\(Ь,ф) = Д6 ^(6ф), Ф(ф) = В6 ^(6ф),

где Д6 ~ 1012, В6 ~ 104. Распределение модуля поля по радиальной координате вдоль направления Ф = 0 представлено на рис. 4. На кривой есть два участка: кг < 6 и кг > 10, на которых поля спадают

по законам: \\ ~ (кг)"6 и \\ ~ (кг)Эти участки соответствуют ближней и дальней зонам дифракционного поля.

На рис. 5 приведена АЧХ рассматриваемой структуры, когда величина 8 = —0.94789995 отличается от значения (16) в седьмом знаке. На кривой видны два максимума, разделенных провалом. Частоты, соответствующие максимумам АЧХ, весьма близки: кЬ6 = 0.18875964, кЬ4 = 0.18877076. Иными словами, вырождение исчезает; кроме того, между резонансными пиками появляется глубокий провал на частоте кЬ = 0.188767015. Ближние и дальние поля на резонансных част

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Электроника. Радиотехника»