ВЫРОЖДЕНИЕ НИЗКОЧАСТОТНЫХ РЕЗОНАНСОВ В КИРАЛЬНОМ АНИЗОТРОПНО ПРОВОДЯЩЕМ ЦИЛИНДРЕ, ЗАПОЛНЕННОМ МЕТАМАТЕРИАЛОМ
А. П. Анютин* И. П. Коршунов**, А. Д. Шатров
Фрязинский филиал Института радиотехники и электроники им. В. А. Котельншова Российской академии наук
141190, Фрязино, Московская, обл., Россия.
Поступила в редакцию 16 января 2014 г.
Рассмотрена двумерная задача возбуждения нитями электрического и магнитного токов цилиндра, заполненного метаматериалом, с анизотропной проводимостью поверхности вдоль винтовых линий. Исследованы высокодобротные резонансы, возникающие в малых по сравнению с длиной волны цилиндрах, магнитная проницаемость которых близка к минус единице. Обнаружен эффект вырождения колебаний, имеющих различные значения индекса т в законе сое(тлр), описывающем азимутальную зависимость резонансных полей. Установлена область параметров задачи, в которой существуют вырожденные колебания. Исследованы пространственная и поляризационная структуры электромагнитных полей. Предложено аналитическое описание резонансных полей в квазистатическом приближении.
DOI: 10.7868/S0044451014090028 1. ВВЕДЕНИЕ
В последние годы интенсивно развивается электродинамика искусственных сред, у которых относительные диэлектрическая е и магнитная // проницаемости являются отрицательными величинами [1 6]. Такие искусственные среды принято называть ме-таматериалами [7]. Электромагнитные поля, возбуждаемые источниками, расположенными вблизи тел из метаматериалов, обладают рядом необычных свойств [8]. Так, в работе [9] при исследовании излучения дипольных источников на сферических частицах из метаматериала обнаружены эффекты резонансного возбуждения мод шара электрического или магнитного типов. Из работы [9] следует, что если параметры материала близки к величинам е = —1 — 1 /т или //. = —1 — 1 /тп (т = 1,2,3,...), то эти резонансы являются квазистатическими, т.е. существуют в частицах электрически малых размеров. Таких резоиапсов нет в объектах из обычных магпитодиэлектриков.
В работе [10] обнаружены квазистатические высокодобротные резонансы в цилиндрах, выполиеп-
E-mail: anioutine'fflmail.ru
E-mail: korip'fflms.ire.rssi.ru
пых из метаматериалов, у которых е или // близки к минус единице. Упомянутые цилиндры можно рассматривать как кольцевые резонаторы на сильно замедленных поверхностных волнах, распространяющихся вдоль границы метаматериала. При этом поле на резонансной частоте описывается единственной азимутальной гармоникой соь^пир). В работе [11] исследованы спектральные и поляризационные свойства полей в многозаходной спирали, заполненной метаматериалом. Спираль моделировалась поверхностью с идеальной анизотропной проводимостью вдоль винтовых линий. В такой структуре поверхностные волны формируются как границей раздела сред, так и проволочной решеткой, расположенной на этой границе. В данной работе будет показано, что при определенных сочетаниях параметров задачи происходит вырождение квазистатических резо-нансов. В частности, показано, что возможны случаи, когда поле описывается функцией сж^тр), имеющей различные значения индекса гп в ближней и дальней зонах.
Из близких по тематике исследований отметим также работу [12], в которой рассматривалось излучение оптически активных молекул, расположенных вблизи сферических частиц из киральных метаматериалов, которые характеризовались тремя величинами е, //. и //, где // параметр киральности. Иссле-
довапы особенности резонансных явлений, обязанные как отрицательности величин е и //, так и ки-ральности среды. В отличие от [12], в данной работе рассматриваются цилиндрические, а не сферические рассеиватели, при этом киральность объекта из метаматериала обусловлена свойствами его границы, а не свойствами вещества, из которого он состоит. Спиральная геометрия проводников это наиболее простой способ реализации киральных электродинамических объектов из метаматериалов при создании новой элементной базы в дециметровом и сантиметровом диапазонах волн. Двумерность рассмотренной модельной задачи позволяет, используя более простой математический аппарат, получить аналитическое описание исследуемых явлений вырождения собственных мод.
где знаки «плюс» и «минус» соответствуют внешней (г > и) и внутренней (г < и) сторонам поверхности, ф угол скрутки спирали. Для определенности винтовые линии полагаются правыми (0 < -гр < тг/2). Модель цилиндрической поверхности с анизотропной проводимостью «винтового» типа хорошо описывает проволочные спирали (однозаходиые и мно-гозаходиые), если расстояние между осями соседних проводников много меньше длины волны, а величина зазоров лежит в определенном интервале [13,14].
Цилиндр возбуждают нитями электрического и магнитного токов, которые расположены вне цилиндра в точке г о > и, ро = 0 (рис. 1). Предполагаем, что возбуждающие токи не зависят от координаты г. В этом случае рассматриваемая задача является двумерной, но двухпотенциалыгой. В качестве потенциалов выберем функции
2. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ
Рассматривается задача возбуждения нитевидным источником кругового цилиндра, выполненного из метаматериала с параметрами е и //.. Используется цилиндрическая система координат (г.р, г) (см. рис. 1). Предполагаем, что на поверхности цилиндра г = и выполняются двухсторонние граничные условия идеальной анизотропной проводимости вдоль винтовых линий [13]:
Е+ = Е~, Е+ = Е~, Е, cos ф+Е^ sin ф = 0, (1) (Я.+ - Н7) cos -ф +(Н+ -Н~) sin -ф = 0, (2)
Ui(r,íp) = Е-(г, ip), U2(r,<p) = H,(r,<p). (3)
Далее будем использовать векторные обозначения, например:
U = {U1JJ2}- (4)
Векторная функция U(r, р) удовлетворяет неоднородному уравнению Гельмгольца:
а2 j_ д_ i &2
дг2 г дг г2 др2
k2e(r)fi.(r) 4 <
U(»\v) =
= --Aá(»-r0)%), (5)
где к волновое число в свободном пространстве, функции е(г) и //(г) определены формулами
z,(J. = 1
✓ / \ \ ^ \ __ А > у' N
2a
Рис. 1. Геометрия задачи
//, 0 < г < и, 1, г > и,
(6)
6(... ) дельта-функция Дирака, компоненты А± и Л-2 вектора А задают амплитуды электрического и магнитного возбуждающих токов.
Величины Е,р и Н^, входящие в граничные условия (1) и (2), а также радиальные компоненты электромагнитного поля выражаются через И\ и 11-2 по формулам, вытекающим из уравнений Максвелла:
—
1
i аи2
ike(г) дг
аи-2
* ikfi(r)
¿ке(г)г др
dUi дг
_l_аиi
ikfi(r)r др
(Г) (8)
Поло и (г, (р) должно также удовлетворять условию излучения, т. е. иметь при кг ос следующий вид:
( 2 \1/2
I - I ехр ( —гкг ■
где
U (г, р) = Ф(р)
т1- <9»
\ nkr J
Возбуждающее поле U0 является решением неоднородного уравнения Гельмгольца в свободном пространстве и определено по формуле
U°(»\ v) = АЯ<2) (kyjr* + »•§ -2iT0cos^ , (10)
где Hq функция Ганкеля. Диаграмма направленности поля U0(г, ip) имеет вид
Ф° (р) = А ехр (ikr0 cos р). (11)
Полное поле вне цилиндра U состоит из возбуждающего U0 и рассеянного Us полей. Через Ф3(р) будем обозначать диаграмму рассеяния, т.е. диаграмму направленности поля Us.
Уравнение (5), граничные условия (1), (2) и условия излучения (9) полностью определяют краевую задачу для поля U(r, р).
Сформулированная задача допускает аналитическое решение методом разделения переменных [11]. Приведем окончательные выражения для волновых полей. Введем векторы L'm\ M'm\ и ска-
ляр W"(m):
L(m) = ^Hl^'(ки) sin iK iH^ (ки) cos , M(m) = |я,(„2)'(А-а) sin ipi-iH™ (ka) cos</-}
irím) = Hi2)(ku)Jm(k>iu)
— (ku)Jm(knu) \ eos2 ф +
(12)
(13)
(14)
" Hm' () J'm (knu) 7 Hm ' () J'm (knu) ~
J1
— (ku),Jm(knu) \ sin2tf\ (15)
где
n = y/ifl , (16)
Jm(knu) функции Бесселя, штрих означает дифференцирование по аргументу.
Полное поле U(r, р) внутри цилиндра (г < и) можно представить в виде
U(r,р) = Y, 6тН!2Цкг0) х
х В(т) Jm (knr) cos(тр), (17)
т=0
Sm =
MÜÜnW.
(18)
(19)
irkuWím^
Через (А,М('")) в (19) обозначено скалярное произведение
(A,Mím)) = ЛгМ^ + А2М{2т). (20)
Поле вне цилиндра (г > и) представляется в виде двух слагаемых падающего и рассеянного полей:
U(»\v) = U°(r,(p) + Us(r,(p). (21)
Рассеянное поле выражается формулой
ОС
Us(г,р) = Y, 6mH^{krQ) (cím) + Dím)) х
х Hi2)(kr)cos(rnp), (22)
m=0
где
QÍm) _
•im(A-a) J'm( ka)
——-. —Л2
H™{l>u) ^H^'(ka)
(23)
2t (A. M()) - Jm (knu) J'm (knu) Dím) =-—-^-Lím). (24)
■ккиНт (ku)H,n (kü)Wí'«)
Диаграмма направленности рассеянного поля #s(ip) представляется в виде ряда:
= ^г бтагн%Нкг о) х
т=О
х (с(т) + Б(т))со5(ш^). (25)
Формулы (17), (22) применимы как для цилиндров из обычных материалов (е > 0, // > 0), так и для цилиндров из мотаматориалов (е < 0, // < 0). Показатель преломления п (см. (16)) для этих случаев будем считать положительным.
Разложения (17) и (22) сходятся при любых вещественных значениях параметров е и //, что легко устанавливается с помощью асимптотических представлений Дебая для цилиндрических функций Зт и Дт' при т ос [15]. Функция стоящая в зна-
менателях формул (19) и (24), являясь комплексной функцией параметра ки, не обращается в нуль при вещественных значениях частоты ки. Поэтому рассмотренная задача дифракции на цилиндре имеет
1)001011110 при любых вещественных значениях материальных параметров, в том числе для е = //= — 1, в то время, как задача дифракции поля точечного источника на полупространстве е = //= — 1 в отсутствие тепловых потерь неразрешима [8].
Далее будем рассматривать только электрически малые цилиндры:
ки -С 1, пки -С 1.
(26)
В знаменателях выражений (17), (22) содержатся резонансные функции \¥{тЦки)< определяемые формулой (15). Исследуем зависимость этих знаменателей от частоты. При выполнении условий (26) вещественная часть выражения (15) значительно превышает его мнимую часть. Вещественная часть функций (ки) обращается в нуль в точках, которые и являются резонансными частотами. Таким образом, уравнение для резонансных частот имеет вид
Ие [И'(П,)(М] = 0.
(27)
На резонансных частотах в разложениях (17), (22) будет доминировать единственная азимутальная гармоника соь(тр).
Преобразуем уравнение (27), используя асимптотические разложения цилиндрических функций при малых значениях аргумента [15]:
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.