РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2014, том 59, № 11, с. 1065-1072
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 538.566.2;621.372.8
ВЫСОКОДОБРОТНЫЕ РЕЗОНАНСЫ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В ТОНКИХ ЦИЛИНДРАХ ИЗ МЕТАМАТЕРИАЛА © 2014 г. А. П. Анютин, И. П. Коршунов, А. Д. Шатров
Фрязинский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, Российская Федерация, 141190 Фрязино Московской обл., пл. Введенского, 1 Е-таИ: anioutine@mail.ru; korip@ms.ire.rssi.ru Поступила в редакцию 27.01.2014 г.
Численно исследована двумерная задача возбуждения нитевидным источником кругового цилиндра из метаматериала. Установлено, что при значениях относительных диэлектрической и магнитной проницаемостей, близких к минус единице, в цилиндрах электрически малого диаметра существуют высокодобротные резонансы. Рассчитаны картины ближних и дальних полей. Обнаружено, что диаграмма рассеяния в резонансе имеет многолепестковый вид, характерный для сверхнаправленных антенн. Исследовано влияние потерь на характеристики резонанса.
БОТ: 10.7868/80033849414110011
ВВЕДЕНИЕ
В последние годы интенсивно развивается электродинамика искусственных сред, у которых относительные диэлектрическая е и магнитная ц проницаемости являются отрицательными величинами. Первые теоретические исследования радиофизических свойств таких сред выполнены Веселаго [1], и эти среды часто называют его именем. В настоящее время такие искусственные среды принято называть метаматериалами [2].
Взаимодействие электромагнитного поля с объектами из метаматериалов сопровождается рядом необычных эффектов: отрицательным преломлением, субволновым разрешением, "обращением" эффектов Доплера и Вавилова—Черенкова. Число работ, посвященных изучению этих эффектов, весьма велико; отметим обзоры [3—6].
Модифицированный метод дискретных источников [7, 8] позволяет эффективно рассчитывать волновые поля в двумерных задачах дифракции на магнитодиэлектрических телах сложной формы. В основном исследуются объекты, имеющие большие по сравнению с длиной волны размеры. Первые исследования, в которых изучаются электродинамические свойства малых двумерных объектов из метаматериалов, проведены в работах [9, 10].
Цель данной работы — исследование резонансных свойств электрически малого цилиндра, выполненного из метаматериала, у которого проницаемости е и ц близки к минус единице.
1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается задача возбуждения нитевидным источником цилиндра из метаматериала с параметрами б < 0, ц < 0. Исследуется случай ТМ-поля-ризации. Предполагается, что источник расположен вне цилиндра, в точке г0 > а, ф0 = 0 (рис. 1), используется цилиндрическая система координат (г, ф, г).
Сформулированная задача сводится к нахождению скалярной функции и (г, ф) = Нг (г, ф), которая должна удовлетворять неоднородному уравнению Гельмгольца
дГ2 +1 д + А дп + к 2е(г«г)
дг2 г дг г дф2
= -4 8(г - г0)8(ф), г
и(г, ф) =
(1)
2а
У ' * {г, ф| X
/хф
\ б, ц « —1 К {% фс }
Рис. 1. Геометрия задачи.
где к — волновое число в свободном пространстве, функции е(г) и ц(г) определяются следующим образом:
е(г) = |(г) =
(2)
[е, 0 < г < а,
|1, г > а,
[||, 0 < г < а,
|1, г > а,
8(..) — дельта-функция Дирака.
На границе г = а должны выполняться условия
и (а - 0, ф) = и (а + 0, ф),
1 ди(а - 0,ф) = ди(а + 0,ф).
8 дг дг
(3)
Поле и (г, ф) должно удовлетворять условиям излучения, т.е. при кг ^ да иметь вид
и (г, ф) = Ф(ф) (2/ пкг )1/2 ехр (-1кг +1, (4)
где Ф(ф) — диаграмма направленности.
Поле падающей цилиндрической волны является решением уравнения (1) при е = 1, ц = 1 и определяется по формуле
и0(г, ф) = Н)2) (к^г2 + г02 - 2гг0 ео8 ф), (5)
где Н02) — функция Ганкеля. Диаграмма направленности поля и 0(г, ф) имеет вид
Ф 0(ф) = ехр(/кг0со8 ф). (6)
Таким образом, при принятой нормировке правой части уравнения (1) волновое поле и (г, ф) является безразмерной величиной.
Рассмотрим дифракционные явления в случае, когда размеры цилиндра существенно мень-
ше длины волны X = 2я/к. Для цилиндров, имеющих большие электрические размеры (ка > 1), эта задача численно исследовалась в работе [11] при помощи модифицированного метода дискретных источников.
2. МЕТОД РЕШЕНИЯ
Сформулированная задача допускает аналитическое решение методом разделения переменных (ряд Рэлея [12]). Для цилиндров малых электрических размеров этот ряд может эффективно использоваться при численных расчетах. Приведем основные формулы метода Рэлея.
Поле внутри цилиндра (г < а) может быть представлено в виде следующего разложения:
21
и (г, ф) =--х
пка
8^^(кг^т^пг) С08(/Иф) =0Н^ХкаУт^па) - пН(т\ка)Гт(кпа)
(7)
где
8 т =
1, т = 0,
2, т > 1, = л/ёц,
(8)
(9)
У т — функции Бесселя, штрих означает дифференцирование по аргументу.
Поле вне цилиндра (г > а) состоит из двух слагаемых (падающего и рассеянного полей):
и (г, ф) = и °(г, Ф) + и>, ф), (10)
где рассеянное поле определяется по формуле:
х
в
п
и" (г, Ф) = -Х-
.8 тН^^)
Ут(ка)Ут(кпа) - п1т(ка)1'т(кпа)
_е_=
Н{т)(кг)со^(тф)
п=0
Н(ту (ка)Ут(кпа) - п Нт}(ка)Гт(кпа) е
(11)
Поле и" в дальней зоне (кг ^ да) имеет вид где диаграмма рассеяния Ф"(ф) представлена в виде
ряда
и"(г, ф) ~ Ф"(ф) (2/пкг) ехр (-¡кг +1п/4), (12)
ф » = -Е-
5 т(0 тНт2)(кг0)
Ут(каУт(кпа) - п1т(ка)1'т(кпа)
_е_=
со8(тф)
и=0
(13)
Нт (ка)1т(кпа) Н^каУ'т^па) е
В формулах (7), (11), (13) присутствует величи- преломления плоской волны, распространяющей-на п = -у/бц, формально совпадающая с показателем ся в однородной среде с материальными парамет-
30
30
рами е и ц. Как известно, показатель преломления плоских волн, распространяющихся в однородной среде с тензорами диэлектрической и магнитной проницаемостей 6 Д, находится из биквадратного уравнения Френеля [13]. В случае изотропной среды уравнение Френеля сводится к квадратно-2
му уравнению п = бц, которое имеет два решения: п = В электродинамике обычных сред (е > 0, ц > 0) принято выбирать знак "плюс". Некоторые авторы для описания сред Веселаго (е < 0, ц < 0) рекомендуют использовать знак "минус". Такой выбор знака удобен, например, при использовании закона Снеллиуса. Однако следует иметь в виду, что термин "показатель преломления" характеризует, строго говоря, не свойства среды, а свойства плоских волн, распространяющихся в этой среде. "Язык показателей преломления не всегда результативен, а в некоторых случаях может приводить к неверным результатам. Гораздо удобнее использовать понятия диэлектрической и магнитной проницаемостей, являющихся единственными материальными параметрами, входящими в уравнения Максвелла" [5].
Как и следовало ожидать, формулы (7), (11), (13), инвариантны относительно знака п (в уравнение
Гельмгольца (1) входит величина п2 = бц). Действительно, числители и знаменатели отдельных слагаемых в разложениях (7), (11), (13) являются одновременно либо четными, либо нечетными функциями параметра п. Это следует из формул
1Я(-х) = (-1)т1т(х), Гт(-х) = -(-1)тгт(х). (14)
Резонансы поверхностных волн в цилиндре из метама-териала с параметрами е = -1.01, ц = - 0.91
Номер резонанса т Частота кат Частотный интервал (кат+1 - кат)
3 0.455450 0.22429
4 0.707479 0.25203
5 0.980963 0.27348
6 1.272137 0.29117
7 1.578155 0.30602
8 1.896774 0.31862
9 2.226206 0.32943
10 2.565006 0.33880
возрастания резонансные частоты первых восьми мод. Ограничимся изучением лишь низших резо-нансов, которые являются низкочастотными. Как показано ниже, нумерация резонансных частот выбрана так, что на резонансной частоте кат диаграмма рассеяния Ф * (ф) и поле на поверхности цилиндра и (а, ф) с большой точностью описываются одной азимутальной гармоникой ео8(тф).
На рис. 2 изображена АЧХ, рассчитанная на основании формулы (7), на которой наблюдаются два резонанса на частотах ка3 и ка4. Добротности этих резонансов оцениваются соответственно величинами Q3 = 150 и Q4 = 1050. Видно, что с увеличением частоты добротность резонансов возрастает.
3. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Представленные ниже численные результаты получены как при помощи модифицированного метода дискретных источников [11], так и по формулам (7), (11), (13). Результаты соответствующих расчетов хорошо согласуются. Во всех иллюстрациях используются линейный масштаб при описании пространственной структуры поля и логарифмический масштаб при описании частотных характеристик поля.
Исследуем сначала зависимость модуля полного поля в точке г = а, ф = п, расположенной на теневой стороне цилиндра, от параметра ка, пропорционального частоте (амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) полного поля). Частотной дисперсией метаматериала пренебрегаем. Во всех расчетах пространственную координату источника цилиндрической волны полагали равной г0 = 1.2а. Оказалось, что частотная характеристика для случая
е = -1.01, ц = -0.91 (15)
представляет собой последовательность резонансных всплесков. В таблице представлены в порядке
\и(а, п\ 105Р
104 г
103 г
102 _I_I_I_I_I_I
0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75
ка
Рис. 2. Модуль поля \и(а, п)| в окрестности частот каз, ка4.
270 ф, град
Рис. 3. Модуль диаграммы рассеяния Ф"(ф) на резонансной частоте каз = 0.455.
На рис. 3 и 4 приведены диаграммы рассеяния на резонансных частотах ка3 и ка5, состоящие из шести и десяти одинаковых лепестков соответственно. Отметим, что при размерах рассеивателя 2а < X эти лепестки характеризуются достаточно малыми угловыми размерами. Это означает, что в резонансах имеет место эффект "сверхнаправленности". Кроме того, в резонансе амплитуда диаграммы рассеяния значительно превышает амплитуду диаграммы направленности падающего поля:
|ф"(Ф)| > 1.
На рис. 5 изображена диаграмма рассеяния на нерезонансной частоте ка = 0.844, т.е. на частоте, расположенной между резонансными частотами ка4 и ка5. Видно, что в этом случае рассеянное излучение практически не имеет направленности и
диаграмма рассеяния Ф" соизмерима с диаграммой направленности падающего поля Ф0.
На рис. 6 изображено поле на поверхности цилиндра на резонансной частоте ка5. С графиче-
ской точностью оно описывается функцией со8(5ф). Поле на резонансной ч
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.