АКУСТИЧЕСКИМ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 4, с. 565-573
АКУСТИКА ОКЕАНА. ГИДРОАКУСТИКА
УДК 551.463
ВЫСВЕЧИВАНИЕ ЛУЧЕЙ ИЗ ГОРИЗОНТАЛЬНО-НЕОДНОРОДНОГО ПОДВОДНОГО ЗВУКОВОГО КАНАЛА
© 2007 г. Д. В. Макаров, М. Ю. Улейский
Тихоокеанский океанологический институт имени В.И. Ильичева ДВО РАН 690041 Владивосток, ул. Балтийская 43 E-mail: makarov@poi.dvo.ru Поступила в редакцию 21.01.06 г.
Рассмотрена задача о распространении звука в пространственно-неоднородном подводном звуковом канале. Исследуется эффект высвечивания - хаотической раскачки водных лучей, в результате которой эти лучи достигают дна и быстро затухают. С помощью отображения Пуанкаре и карт высвечивания продемонстрирована связь высвечивания со свойствами фазового пространства системы лучевых уравнений. Выявлено, что максимальное высвечивание наблюдается при резонансе между колебаниями луча в волноводе и вертикальными осцилляциями неоднородности - так называемом вертикальном резонансе. Построена качественная теория вертикального резонанса. Показано, что высвечивание лучей приводит к значительному сокращению времени затягивания звукового сигнала.
PACS: 43.3.+m, 05.45.-a, 42.25.Bs, 42.15.Dp
ВВЕДЕНИЕ
Открытие явления лучевого хаоса [1] позволило существенно расширить представления о свойствах волновых полей в пространственно-неоднородных средах [2-7]. Лучевой хаос обусловлен ля-пуновской неустойчивостью решения системы уравнений Гамильтона, описывающих траекторию луча, и означает экспоненциальную расходимость двух сколь угодно близких лучей. При этом их траектории принимают вид нерегулярных и не коррелированных между собой колебаний. Для появления хаотических лучей достаточно даже малой горизонтальной изменчивости профиля скорости звука, связанной с влиянием внутренних волн. По этой причине лучевой хаос рассматривается как один из главных механизмов образования сложной структуры поля на достаточно больших расстояниях от источника.
Одним из проявлений лучевого хаоса является эффект высвечивания лучей из волноводного канала. Под высвечиванием подразумевается "раскачка" водных лучей до такой степени, что они начинают достигать поглощающего дна. Таким образом, высвечивание является дополнительным источником потерь акустической энергии. Высвечивание возможно даже при адиабатической горизонтальной неоднородности канала [8], однако лучевой хаос значительно усиливает этот эффект [9-11]. Пример высвечивающегося луча приведен на рис. 1. Очевидно, что в первую очередь высвечиванию подвержены наиболее крутые лучи, соответствующие высоким модам.
Основная цель данной работы - на примере простой модели звукового канала оценить зависимость доли покидающих канал лучей от вертикального и горизонтального масштабов неоднородности канала. Такая постановка задачи во многом мотивирована результатами недавней работы [12], где исследовалось качественное соответствие лучевого и волнового описания в неоднородном подводном звуковом канале. В этой статье было показано, что некорректность приближения геометрической акустики при низких частотах сигнала можно преодолеть путем сгла-
2, км 0
0.2
0.4
r, км
Рис. 1. Хаотическая раскачка луча с последующим высвечиванием.
живания тонкоструктурных особенностей поля внутренних волн, вертикальный масштаб которых не превышает порог чувствительности, приближенно оцениваемый как
п
/tg Фтах'
где / - частота сигнала и tg фтах - максимальное значение тангенса угла скольжения в распространяемом волновом пакете. Таким образом, меняя частоту сигнала, мы изменяем эффективный вертикальный масштаб неоднородности звукового канала. С другой стороны, в работах [11, 13] было показано, что устойчивость лучей в звуковом канале кардинально зависит от соотношения вертикального и горизонтального масштабов поля неоднородности. Это позволяет, например, сделать предположение о связи аномально высокого затухания низкочастотного звука [14] с высвечиванием лучей.
профиль скорости звука. При этом z и p рассматриваются как сопряженные координата и импульс, горизонтальная координата r является независимой переменной, т.е. играет роль времени, а неоднородность вдоль трассы является возмущением.
В настоящей работе мы рассматриваем идеализированную модель подводного звукового канала, когда горизонтальные вариации скорости звука описываются простой формулой
6 c (z'r) = е V( z) cos (kzz + krr), C0
где V(z) - плавная функция глубины, kz = 2 n/Xz и kr = = 2лДг - соответственно, вертикальное и горизонтальное волновые числа неоднородности канала. Лучевые уравнения (1) могут быть приведены к более удобному виду в терминах переменных действие-угол. Соответствующее преобразование задается формулами
ВЕРТИКАЛЬНЫМ РЕЗОНАНС
Траектория луча в двумерном акустическом волноводе описывается системой уравнений Гамильтона
dz dr
dH
dp'
dr
dH
' dz'
(1)
H
= -л/n (z, r) - p2.
(2)
H = Ho + Hx( r). H0 = -1+2 H = 5 с (z,r)
А с (z)
(3)
1 2n
° pdz, $ = д J pdz
где z - глубина, r - горизонтальная координата, p = n sinф, n(z, r) = c0/c(z, r) - показатель преломления, c - скорость звука, c0 - ее значение на некоторой глубине, ф - угол скольжения луча, H -функция Гамильтона
где z0 - глубина одной из точек заворота. В дальнейшем в качестве z0 мы будем использовать верхнюю точку заворота луча. Переменная действия характеризует амплитуду, а угол - фазу колебаний траектории луча в подводном звуковом канале. Кроме того, говоря о "физическом" смысле переменной действия, стоит отметить, что с помощью правил квантования Бора-Зоммерфельда
ко Im = m -
Vup + V lo
2п
В подводных звуковых каналах показатель преломления звуковых волн слабо меняется с глубиной, и только лучи с малыми углами скольжения не касаются поглощающего дна. Поэтому, представляя профиль скорости звука в виде суммы невозмущенного слагаемого (опорного профиля) и возмущения
с (z, г) = с (z) + 5с (z, г),
и учитывая, что |п2 - 11 <§ 1, мы можем привести гамильтониан (2) к виду
где Ас^) = с(£) - с0.
По своему виду гамильтониан (3) аналогичен гамильтониану точечной частицы единичной массы в потенциальной яме, роль которой исполняет
где уир и у1оте - фазы коэффициента отражения в верхней и нижней точках заворота луча, к0 = 2/с0, действие связано с номером моды т, соответствующей лучу. В новых переменных гамильтониан (3) выглядит следующим образом:
Н = Но( I) + Н1 (г).
Традиционный подход к описанию динамики лучей в периодически-неоднородных волноводах, развитый в работах Абдуллаева и Заславского [9, 15], предполагает представление функции Н1 в виде двойного ряда Фурье
Hi = £ Hmn(I)exp [i(m$ + nkrr)].
m, n =
Подставляя это разложение в лучевые уравнения в представлении переменных действие-угол
Э H1 Э$~
dI
dr
^ = -S. g = 2? + ^. (4)
2E + dH
D Э1
z
z
2
о
о
где D - длина цикла луча, получаем
dr = -i X тНт"ехр[i(т— + пкгГ'
Представляя функцию V в виде ряда Фурье по циклической переменной угла Ь
V( 1,Ь) = £ Vm(I) cosmЬ,
d— = 2п + Y
dr = D X
H di
■exp [ i (m — + nkrr)].
Лучи, удовлетворяющие условию стационарной фазы
т\ = nD(ires), т, п = 1, 2, 3, ...,
(5)
Hu = mQ| ®i (1res )|(1 - 1res f + \Н тп\ cos ,
(6)
где ¥ = тЬ - пкгг + у0, - начальная разность фаз между резонансной гармоникой и модой неоднородности, ю) - производная частоты колебаний луча ю = 2п/0 по действию. Степень влияния отдельного резонанса на движение лучей можно характеризовать его шириной по частоте пространственных колебаний
Аю = |юЦ Ai = 2 J |юЦ |Н„
(7)
преобразуем уравнения (8) к виду
di = í
dr = 2
X тУт (cos Y~+cos )■
(9)
+
kP X Ут ( si" - sin W )
где Хг = 2п/кг - горизонтальный период неоднородности, попадают в пространственный нелинейный резонанс с модой неоднородности волно-водного канала [9, 10, 15, 16]. В резонансе изменение переменной действия имеет вид колебаний, описываемых универсальным гамильтонианом нелинейного резонанса [15]
d — , е dr = ю + 2
X d-yf (cos ¥" + cos Ч>+ )■
(10)
kzX Ут dZ ( si" ^"+sin )
т
т ю( i) - к (i,—) - 0, тю(i) + к(i,—) - 0,
где Ai - ширина резонанса по переменной действия. При выполнении критерия Чирикова [17]
Аю - i 5 ю - 1,
соседние резонансы, отстоящие друг от друга по частоте на 5ю, перекрываются, что приводит к глобальному хаосу лучей.
К сожалению, в рамках изложенного выше подхода достаточно сложно исследовать влияние вертикальных осцилляций возмущения 5c(z, r) на динамику лучей. Для того чтобы устранить этот недостаток, представим систему уравнений движения для угла и действия (4) в следующем виде
-г = -eí^rcos(kZz + krr) - kZVPsin(kZz + krr)1, dr z ю r j
(8)
— = ю + e^djcos(kzZ + krr) - kzV^sin(kzZ + krr)j.
где ¥± = тЬ ± кг ± кД1, Ь). Основной вклад в решение этой системы дают точки стационарной фазы dy¥±/dr — 0, определяющие систему целочисленных резонансов
(11) (12)
где к(1, Ь) = кг + кр(1, Ь).
Таким образом, мы получаем два независимых резонансных условия. Рассмотрим первое из них. Его можно упростить, если влияние возмущения У(1, Ь) на траекторию сосредоточено вблизи верхней точки заворота луча, где Ь = 0. Это вполне соответствует реальным условиям в глубоком океане, поскольку наибольшие флуктуации профиля скорости звука наблюдаются именно на малых глубинах [18]. Поскольку расстояние между двумя последовательными прохождениями луча через точку Ь = 0 равно длине цикла траектории, мы вправе заменить в выражении (11) функцию к(1, Ь) на ее среднее значение за цикл, равное кг. Тогда условие (11) принимает вид
тю(i) - kr - 0,
(13)
т.е. идентично уравнению (5) при п = 1. Свойства резонансов этого типа описываются формулами (6) и (7).
В данной работе нас будет больше интересовать второе резонансное условие (12), соответствующее резонансному взаимодействию луча с вертикальными осцилляциями возмущения. В отличие от (13), это условие может выполняться только в отдельных точках траектории луча при определенном значении тангенса угла скольжения р = рге8 < 0. В дальнейшем, во избежание пута-
т = 1
т
т
т
ницы, мы будем называть резонансы (13) горизонтальными, а резонансы (12), соответственно, вертикальными.
Назовем п-окрестностью вертикального резонанса с рез
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.