научная статья по теме ВЗАИМНАЯ ХАОТИЧЕСКАЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ В ШУМОВОЙ СРЕДЕ Электроника. Радиотехника

Текст научной статьи на тему «ВЗАИМНАЯ ХАОТИЧЕСКАЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ В ШУМОВОЙ СРЕДЕ»

РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 10, с. 1036-1042

ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС ^^^^^^^^

В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ

УДК 621.385.63

ВЗАИМНАЯ ХАОТИЧЕСКАЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ В ШУМОВОЙ СРЕДЕ

© 2015 г. Э. В. Кальянов

Фрязинский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, Российская Федерация, 141190 Фрязино Московской обл., пл. Введенского, 1

E-mail: ervask@mail.ru Поступила в редакцию 30.03.2012 г.

Рассмотрены уравнения, описывающие взаимную хаотическую синхронизацию автоколебательных систем в шумоподобной среде. В качестве источника внешних колебаний использованы решения уравнений, обладающих хаотической динамикой, а также программа RND, формирующая внешний шум с нормальным законом распределения. Показано, что в обоих случаях воздействия нерегулярных колебаний на парциальные генераторы, в противоположность ожидаемому эффекту ухудшения взаимной синхронизации, синхронизм взаимодействующих хаотических колебаний при повышении уровня внешнего шумоподобного воздействия улучшается.

Б01: 10.7868/8003384941510006Х

ВВЕДЕНИЕ

Явление принудительной и взаимной хаотической синхронизации широко исследуется применительно к генераторам, обладающим хаотической динамикой. Рассмотрены как системы, основанные на реалистичных моделях Чуа [1—3], Ван дер Поля— Дуффинга [4], Дмитриева—Кислова [5], многомо-довых генераторов [6], так и системы, созданные на основе искусственно сконструированных уравнений Рёсслера [7, 8], Спротта [9]. И те и другие системы представляют интерес с позиций изучения новых воззрений в нелинейной динамике и используются для моделирования хаотических процессов в физике и химии. Многие результаты ранних исследований явления синхронизации вошли в монографии и учебные пособия [10—14].

Взаимная синхронизация более полно изучена применительно к связи взаимодействующих подсистем, обладающих идентичными параметрами, тогда как создание идентичных хаотических генераторов на практике проблематично. Исследования связанных генераторов с неидентичными управляющими параметрами проведены в меньшей степени. Наряду с дальнейшими исследованиями особенностей взаимной синхронизации с неидентичными управляющими параметрами представляет интерес изучение влияния на процесс синхронизации внешнего шума. Это, в частности, важно применительно к системам скрытой связи, основанным на эффекте синхронизации.

Исследованиям этого вопроса и посвящена данная работа. Рассмотрено влияние внешнего

шумоподобного, а также шумового сигналов на взаимную синхронизацию двух связанных неидентичных генераторов, обладающих хаотической динамикой. В качестве источника внешних шумоподобных колебаний использованы хаотические решения уравнений Спротта, а в качестве шумовых — колебания, формируемые программой ямэ.

1. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

СВЯЗАННОЙ СИСТЕМЫ С ВНЕШНИМ НЕРЕГУЛЯРНЫМ СИГНАЛОМ

В качестве исходной математической модели воспользуемся автоколебательной системой, предложенной в [15]. Уравнения этой модели имеют вид

2 2

йх/й? - [р( 1 - 2г)ехр(-г) - 5]йх/& + х = 0, йг/й? = (х -г)/а,

где в — параметр, определяющий усиление, 8 — параметр диссипации, а — постоянный коэффициент, определяющий инерционность системы.

При а = 0 и малых значениях параметров в и 8 система (1) имеет простой предельный цикл. Если а Ф 0, но значительно меньше единицы, то предельный цикл, соответствующий решениям уравнений (4), располагается на поверхности, близкой к параболической поверхности х2 = г. С

увеличением а эта поверхность усложняется, а предельный цикл преобразуется в хаотический аттрактор. При этом хаос сохраняется и при е = 0.

В случае двух резистивно связанных генераторов, находящихся под воздействием внешнего нерегулярного сигнала ^(0, можно, используя уравнения (1), получить

(а)

йх 1 /йг = у,

йу;/йг = [р;.( 1 - 2ехр(-ъ) - 8;]у -- х + Б(у - у) + С(г), й^/йг = (х2 -/аь

(2)

где I,] = 1, 2 (IФу), Б — коэффициент симметричной взаимной связи. При этом смысл параметров Р,-, 8,- и а,- — прежний.

Применительно к рассмотрению влияния внешних колебаний в качестве шумоподобных сигналов ^(0 удобно использовать автоколебательную систему, описываемую уравнениями Спротта (модель Е) [16]. Эта модель имеет аттрактор, который по виду подобен аттрактору Рёсслера. В переменных и(1), ^(1), w(í) модель Е описывается следующими уравнениями:

йи/& = й^/й1 = (и2 — V), = (1 — 4и). (3)

При этом воздействующий сигнал ^(0 представляется как ^(0 = ум(0, где у — коэффициент, определяющий уровень внешнего воздействия.

При использовании для формирования внешнего шума программы ЯМЭ воздействующий сигнал £(0 = ум(0 в модели (2) определялся решением уравнений

йи/& = V, = -£у — и + ЯМЭ.

(4)

В этом случае колебаниями и^) при е = 0.2 ре-ализовывался цветной шум.

Численный анализ проводился методом Рун-ге—Кутты—Мерсона 4-го порядка с шагом интегрирования по времени, равным 0.02. Для всех переменных начальные условия заданы равными 0.1. Для устранения влияния переходных процессов на взаимодействие подсистем при проведении расчетов исключались колебания, реализующиеся при ? < 960. В соответствии с решениями уравнений (3) экстремальные "выбросы" хаотических колебаний и(1) находятся в интервале и е [—1.5, 2.3]. Это значительно меньше "выбросов" автономных хаотических колебаний х1(1) и х2(0, занимающих интервал х1, х2 е [—3.9, 3.9]. "Выбросы" колебаний цветного шума, определяемого уравнениями (4), занимают интервал и е [0.3, 0.7].

0.12

0.06

0.12

0.06

0.12

0.06

2.375

2.750

Рис. 1. Изменение максимального характеристического показателя Ляпунова в зависимости от параметра усиления Р (а) и от параметра инерционности а (б, в) при 5 = 0.01; а = 2.6 (а), р = 5 (б), 4.99 (в).

2. АВТОНОМНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПАРЦИАЛЬНОЙ ПОДСИСТЕМЫ

Чтобы выбрать удобные режимы работы связанных генераторов (подсистем), была рассмотрена автономная работа парциальных подсистем при использовании уравнений (1).

(а)

-5 0 х1

Рис. 2. Аттрактор, соответствующий колебаниям х^/) (а), и траектория движения изображающей точки в проекции на плоскость {х1, Х2} (б) при Р1 = 5 и Р2 = = 4.99.

На рис. 1 представлено изменение максимального характеристического показателя Ляпунова в зависимости от параметра усиления в при фиксированных значениях а = 2.6 и 8 = 0.01 (а), а также в зависимости от параметра инерционности а при фиксированных величинах в и 8 (б, в). В случае рис. 1б параметр в = 5, а в случае рис. 1в — в = 4.99. Как и при расчете диаграммы, представленной на рис. 1а, параметр потерь задан значением 8 = 0.01. Видно, что в соответствии с приведенными диаграммами изменения максимального характеристического показателя Ляпунова для взаимодействующих подсистем можно выбрать следующие значения параметров, обеспечивающих хаотические колебания при их автономных режимах работы в связанной системе: в1 = 5, в2 = 4.99, а1 = а2 =2.6, 81 = 82 = 0.01.

На рис. 2а представлен аттрактор, соответствующий колебаниям х1(?), а на рис. 2б — траектория движения изображающей точки в проекции на плоскость {х1, х2} при выбранном малом различии параметров усиления в1 и в2. Расчеты проводились

дБ

25

1 vVV;v;д

50

—75-1-1-

0 12 ю

Рис. 3. Спектры мощности автономных колебаний подсистем при Р1 = 5 (кривая 1) и при Р2 = 4.99 (кривая 2), а также спектры мощности воздействующих колебаний м(Г), формируемых как решение уравнений (3) (кривая 3) и уравнений (4) при 5 = 0.2 (кривая 4).

по уравнениям (2) в интервале времени I е [960, 1280] при автономной работе подсистем (при Б = = у = 0). Видно (см. рис. 2а), что аттрактор подобен по виду аттрактору Лоренца. Траектория движения изображающей точки (см. рис. 2б) свидетельствует о том, что относительно малое изменение параметра усиления приводит к существенному различию структуры колебаний подсистем при их автономной работе: эта траектория движения не имеет определенно выраженной ориентации. В то же время различие статистических характеристик незначительное; это следует из анализа спектров мощности 5 первой (1) и второй (2) подсистем, представленных на рис. 3. Для сравнения на этом же рисунке представлены спектры мощности колебаний, которые будут использоваться далее в качестве источников внешнего хаотического сигнала (кривая 3) и внешнего цветного шума (кривая 4).

3. СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА

При адиабатическом увеличении параметра симметричной взаимной связи Б связанных подсистем, описываемых уравнениями (2) при у = 0, во всем интервале изменения параметра взаимной связи (в интервале Б е [0, 0.6]) сохраняется хаотический режим колебаний х1(1) и х2(0; дехао-тизация взаимодействующих колебаний не возникает. Это иллюстрируется нерегулярным разбросом точек, соответствующих максимальным значениям колебательного процесса х1(?) (рис. 4а). Для максимальных значений колебательного процесса х2(0 реализуется аналогичный разброс точек. При этом синхронность движений взаимодействующих колебаний повышается по мере увеличения параметра взаимной связи: об этом свидетельствует уменьшение разброса точек, соответствующих максимальным значениям разно-

(а)

[Х1 - Х2]

(а)

[Х1 - Х2]

(б)

0.2

0.4

Б

[Х1 - Х2]

Г1,'

(б)

■V/ ; , ■ ■■. : . г

/I а. Л _ _ ..." *

. .:::< »

0.4

0.8

2

2

0

0

0

0

У

Рис. 4. Изменение максимальных значений колебательного процесса х^) (а) и максимальных значений разности колебательных процессов х^Г) и Х2(0 (б) в зависимости от параметра взаимной связи при отсутствии внешнего воздействия.

Рис. 5. Изменение максимальных значений разности колебательных процессов х^) и Х2(0 в зависимости от параметра взаимной связи при у = 0.9 (а) и в зависимости от параметра, определяющего уровень внешнего шумоподобного воздействия, при Б = 0.2 (б).

сти колебательных процессов [х1 — х2] связанных подсистем (рис. 4б). При Б > 0.36, как следует из анализа рисунка, реализуется взаимная хаотическая синхронизация, так как разброс точек, соответствующих максимальным величинам разности колебательных процессов, близок к нулю. Однако возможны срывы синхронности колебаний х1(1) и х2(1): это

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Электроника. Радиотехника»