МЕХАНИКА
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ И УПРУГОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
© 2015 г. Член-корреспондент РАН М. А. Ильгамов
Поступило 24.10.2014 г.
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 463, № 1, с. 36-38
УДК 534
Б01: 10.7868/8086956521519010Х
Неустойчивость Рэлея—Тейлора обусловлена большей тяжестью верхней жидкости над нижней. Отклонение вниз (вверх) контактной поверхности приводит к увеличению (уменьшению) перепада давлений. Этот перепад, установившийся скачком в начале рассмотрения движения, является постоянно действующим отклоняющим фактором контактной поверхности. Происходит развитие во времени малых начальных отклонений [1].
Неустойчивость Рихтмайера—Мешкова — это импульсный вариант неустойчивости Рэлея-Тей-лора (падение на контактную поверхность ударной волны). Сам Рихтмайер называл ее неустойчивостью Тейлора [2]. После экспериментального подтверждения явления [3] она получила нынешнее название. В явлении неустойчивости Рихтмайера—Мешкова гравитация отсутствует, а имеется кратковременное воздействие перепада давления, после чего движение происходит по инерции в условиях отсутствия внешних сил. Кроме того, она может существовать как в неустойчивом, так и в устойчивом режимах по критерию неустойчивости Рэлея—Тейлора. Так или иначе, уже давно приняты указанные названия, которые позволяют различать эти сложные явления на контактной поверхности жидкостей. Обзор и исследование гидродинамической неустойчивости даны, например, в [4—7].
Рассмотрим явление выпучивания тонкой пластины при сжатии распределенной по кромке силой, действующей в ее плоскости. В задаче Эйлера критическое значение РЕ этой силы определяется как собственное значение краевой задачи. Однако в данной работе под неустойчивостью Эйлера будем подразумевать развитие малых начальных отклонений от плоскости пластины с медленным ростом силы сжатия Р. При достиже-
Институт механики им. Р.Р. Мавлютова
Уфимского научного центра Российской Академии наук,
Уфа
E-mail: ilgamov@anrb.ru
нии этой силой того же значения РЕ указанные отклонения в линейной задаче неограниченно возрастают. Тонкие вопросы постановки задачи Эйлера обсуждаются, например, в [8, 9].
В [10] впервые рассмотрено изгибное волнообразование в стержне (пластине) при скачкообразном приложении осевой сжимающей силы Р, которая в дальнейшем остается постоянной. По длине пластины образуется большее количество полуволн п, чем в задаче Эйлера (где п = 1), а
именно, п2 ~ Р(2РЕ)-1. В последующих работах в различных приближениях изучалось поведение тонких стержней, пластин и оболочек различной формы, в частности, учитывалось влияние сдвига и инерции вращения поперечного сечения, распространения продольной волны, нелинейных факторов [11]. Производилось ранжирование по гармоникам начальных возмущений [12].
Очевидно, динамическое поведение пластины при ступенчатом приложении сжимающей силы значительно отличается от ее статического выпучивания, по крайней мере, так же как поведение контактной поверхности жидкостей при неустойчивости Рихтмайера—Мешкова и неустойчивости Рэлея—Тейлора. В данной работе экспоненциальный рост амплитуд гармоник при динамическом изгибе с количеством волн, большем, чем при статическом выпучивании пластины, будем называть неустойчивостью Лаврентьева—Ишлин-ского. Взаимодействие неустойчивостей схематически показано на рис. 1 штриховыми линиями.
Рассмотрим простейшую гидроупругую систему (рис. 2). Статическое взаимодействие выпучивания пластины под действием медленно возрастающего по времени сжатия силой Р и перепада давления жидкостей с плотностями и р2 с медленно возрастающим ускорением О, направленным по нормали к контактной границе, было рассмотрено в работе [13] (взаимодействие неустойчивостей Эйлера и Рэлея—Тейлора). Изучено также взаимодействие при ступенчатом возрастании Р и О с последующими их неизменными значениями (взаимодействие неустойчивостей Лав-
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ
37
Ст
2 О 2
Рихтмайер
Рэлей (1883) (1960)
Тейлор (1950) Мешков
3 (1969)
Г - ■1 - _ _ * I 1
1 |
р 2
Эйлер(1744, Г
1757, 1778) Лаврентьев
Ишлинский
3 (1949)
О
Р2
р
Р1
ч
Рис. 1. Схема взаимодействия гидродинамической неустойчивости и упругой неустойчивости; 1 — медленное возрастание ускорения О и силы Р; 2 — ступенчатое возрастание О и Р; 3 — ступенчатый сброс О и Р.
рентьева—Ишлинского и Рэлея—Тейлора). В данной работе рассматривается взаимодействие неустойчивости Рихтмайера—Мешкова и неустойчивости Лаврентьева—Ишлинского. При этом жидкости считаем идеальными, несжимаемыми и невесомыми, занимающими протяженные области по обе стороны пластины. Сложное явление падения плоской ударной волны на пластину, частичное ее отражение и прохождение заменяем на ступенчатое возрастание и ступенчатое уменьшение до нуля ускорения О за время I от нуля до г1, как это показано на рис. 1. Во многих работах ускорение задается в виде дельта-функции. Здесь интервал г1 принимается конечным и произвольным. Отметим, что длительность ударной волны в воде г1 ~ 10-3 с. Очевидно, такая упрощенная модель не описывает многие аспекты явления. Ступенчатая сила Р также действует в течение времени г1. Во многих конструкциях падение волны на криволинейную панель и оболочку обусловливает появление сжимающих сил [13]. В данной постановке задачи разная продолжительность действия Р и О не приводит к принципиальным сложностям, однако принимаем их действие одновременным. Таким образом, постановку задачи Рихтмайера— Мешкова мы значительно упростили, а задачи Лаврентьева—Ишлинского усложнили. Рассматривается только линейная стадия взаимодействия неустойчивостей.
Предполагаем, что шарнирно закрепленная по кромкам х = 0, х = Ь тонкая пластина имеет нуле-
(1)
Рис. 2. Жидкости с разными плотностями в плоском протяженном канале, разделенные тонкой упругой пластиной, сжатой силой Р. Ускорение О направлено вдоль канала.
вую начальную скорость, начальный прогиб w0(х, 0) и дополнительный прогиб *(х, г) в виде w0 = W0nsmnв х, * = Wnsmnв х,
в = пГ\ п = 2, 4, ... При I < 0 пластина свободна от изгибных напряжений, перепад давления на нее равен нулю. Уравнение движения пластины имеет вид [11]
В ^ + Р + рн ^ = рно + р, (2)
дх дх дг
где Б — жесткость на изгиб, р — перепад давления жидкостей на пластину. На левую поверхность изогнутой пластины действует давление жидкости, равное р0 + Ор2(Н + w0 + *), где Н — расстояние от пластины до сечения канала с давлением р0. Сюда должно быть добавлено давление —р 2ф 2, обусловленное упругим изгибом пластины. На правую поверхность пластины действует давление
р0 + р2ОН + рОк + p1G(w0 + *) - рдор Перепад давления равен
Р = О(р2 - Р:)(^0 + *) - Орк + р:ф! - Р2Ф2. (3) Потенциал скорости ф;-, / = 1, 2, удовлетворяющий условиям равенства скоростей по нормали к пластине и затухания решения по удалении от пластины, приблизительно выражаются через функцию прогиба [13]
ф;(г = 0) = + (яр)-1 *. (4)
Из (1)—(4) следует уравнение относительно Жп:
Ж - Ь^л = Я^я,,
к, = И, - В (яр)4 ш-1, (5)
1 1 (5) Ип = [Р (яр)2 + О (Р2 -Р1 )]т-1,
Шп =рк + (Р1 +Р2 )(яр)_1.
Решение его при условиях = 0, Жя = 0 (г = 0) имеет вид
= Ж0пИпк-2(сЪкпг -1), кп > 0,
Ж, = Щ)п*пк-2(1 - еоз к,г), кп < 0,
= 1ж0пЮЛ2г2, ®Я = В(яр)4 ш- 1 , кп = 0.
X
г
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 463 № 1 2015
3В
ИЛЬГАМОВ
Здесь юв — собственная частота колебаний пластины, контактирующей с жидкостями по обеим поверхностям.
При kn < 0 имеем колебательный режим, а при kn > 0 — экспоненциальное возрастание амплитуды волн в системе. Случай кп = 0 также соответствует неустойчивому режиму: Так как в поставленной задаче knt1 < 1, то 2chknt ~ 2 + (knt)2, 2cosknt ~ 2 - (knt)2 и во всех трех случаях (6) решение возрастает пропорционально t2. Непосредственно после удара не проявляется упругое сопротивление пластины, а проявляется только инерционное сопротивле-
4
ние жидкости и пластины. Учет третьих членов —
24
разложения chy и cosy в ряды дает более полную картину процесса. Упругое сопротивление пластины проявляется при t > (3kn)-1. Рост возмущений происходит тем быстрее, чем больше сжимающая сила Р, ускорение G, разность плотностей р2 -р1, меньше толщина и плотность пластины. Присоединенная масса жидкостей, которая зависит от числа волн, снижает интенсивность выпучивания и частоту колебаний.
Для описания инерционного процесса при t > t1, когда P = 0, G = 0, имеем условия 2Wn =
= W)nSnt12, Wn = W0nSj1 (t = t1). В решении задачи (1)—(4) Wn = Сnсos &nt + Dn sin &nt выражение для амплитуды дополнительного прогиба имеет вид
2Wn = W0ns,t , 0 < t < tl,
л
cos
((t - ?l)) +
2W = W0M x 2
(7)
sin
K(t - tl))
t > t,,
Итак, до времени снятия нагружения ^ = происходит возрастание изгиба пропорционально А, а далее — изгибные колебания пластины и жидкостей с частотой юп (6) около состояния, достигнутого ко времени прекращения внешнего воздействия ^ = tl). Возникновение колебаний обусловлено упругостью пластины.
В случае отсутствия жидкостей (р: = р2 = 0) приходим к обобщению задачи Лаврентьева-Ишлин-ского [10]. В случае = р2 в состав зп (5) не входит ускорение О, а влияние жидкостей проявляется в виде присоединенной массы в составе тп. Соответственно, рост возмущений в пределах 0 < t < ^ медленнее и частота колебаний (t > ниже, чем в предыдущем случае. Такая же динамика системы
реализуется при G = 0, хотя может быть р, ф р2. В этих случаях нет механизма неустойчивости Рихтмайера—Мешкова. В отсутствие пластины между жидкостями (h = 0, D = 0, P = 0 ) из (S), (7) следует известное решение [6, 7]. При t > t, в данном случае колебания отсутствуют. Из (7) имеем W, = W0,GnßAtit при t > t,.
Таким образом, в течение процесса удара амплитуды возмущений возрастают по квадратическому закону, а после прекращения удара — по линейному закону. В упрощенной модели, использованной в данной работе, отдельные эффекты, характерные для неустойчивости Рихтмайера—Мешкова, не проявляются. Случай P = 0 представляет собой обобщение задачи Рихтмайера—Мешкова об устойчивости границы жидкостей, разделенных упругой пластиной. Происходит стабилиз
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.