ВЗАИМОДЕИСТВИЕ ПОВЕРХНОСТНОЙ И ОБЪЕМНОЙ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН С ДВУМЕРНЫМ ПОЛУМЕТАЛЛОМ
В. М. КовалеваК А. В. Чаплик" '
"Институт физики полупроводников им. А. В. Ржмнова Сибирского отделения Российской академии наук
630090, Новосибирск, Россия
ь Новосибирский государственный технический университет 630095, Новосибирск, Россия.
€ Новосибирский государственный университет 630090, Новосибирск, Россия.
Поступила в редакцию 26 августа 2014 г.
Изучается взаимодействие поверхностной упругой волны Рэлея с электрон-дырочной плазмой двумерного полуметалла, обусловленное двумя механизмами взаимодействия — деформационного потенциала и пьезоэффекта. Получены дисперсионные уравнения, описывающие связанные плазмон-акустические моды для обоих типов взаимодействия. Вычислено затухание рэлеевской волны. Рассчитано затухание акустической и оптической плазменных мод, обусловленное излучением звука плазменными колебаниями в объем подложки. Показано, что излучение звука в основном обусловлено акустической плазменной модой в случае деформационного механизма, и оптической — в случае пьезомеханизма.
DOI: 10.7868/S0044451015020145 1. ВВЕДЕНИЕ
Недавнее обнаружение [1,2] двумерного полуметалла в широких квантовых ямах (КЯ) на основе соединения HgTe стимулировало появление ряда теоретических работ, в которых изучались циклотронный резонанс [3], рассеяние носителей заряда [4], свойства фермионных [5] и бозонных (плазмоны) [6] возбуждений, в том числе, в магнитном поле [7].
Настоящая статья посвящена рассмотрению взаимодействия плазменных возбуждений двумерного полуметалла с рэлеевской поверхностной акустической волной (ПАВ), обусловленного деформационным потенциалом и пьезоэлектрическим механизмом, а также излучению объемного звука коллективными возбуждениями двумерной двухкомпонентной плазмы. Взаимодействие поверхностных волн Рэлея и воли Блюштейиа Гуляева с монополярной двумерной плазмой хорошо изучено в литературе [8]. Электрон-дырочная плазма в пьезоэлектрическом поле поверхностной волны изучалась работе [9]. В отличие от нашей постановки, в работе [9] рассмат-
* E-mail: vadimkovalev'fflisp.nsc.ru
ривалась сильно неравновесная ситуация: в уравнениях учитывались как фотогенерация носителей светом, так и их рекомбинация. В полуметалле ситуация существенно другая. Во-первых, не требуется генерация носителей заряда благодаря перекрытию зоны проводимости и валентной зоны заселение квантовой ямы носителями обоих знаков возможно соответствующим выбором положения химического потенциала системы т.е., фактически, затворным напряжением. Во-вторых, разнесенные в импульсном пространстве электронная и дырочные долины препятствуют рекомбинации носителей заряда, см. рис. 1. И, наконец, в-третьих, динамика носителей заряда в работе [9] рассматривалась в режиме сильных столкновений с примесями и описывалась статической проводимостью Друде. В таком режиме, как известно, плазменные колебания отсутствуют и авторы [9] рассматривали лишь перенормировку скорости и поглощение ПАВ. Мы будем изучать противоположный бесстолкновительный предел.
На рис. 2 изображена рассматриваемая структура, состоящая из подложки и расположенной на ней квантовой ямы Н^То. Для простоты полагаем, что подложка является изотропной упругой средой, в которой могут распространяться упругие волны, ха-
т, к 0.024/по ш/, к 0.18/по ¡ко к 2 • 10° см"1
где
Лкх—гизЬ
■и,(г) = - ¡к. Ь :.
■иг(г) = к В.
(2)
К[ = л/к2 — и/2/с2, К/. = л/к2 — и/2/с;
Рис.1. Зонная структура двумерного полуметалла
+ + + + + + + + + + + + ++////// Электрон-дырочная плазма п^'ре КЯ
Подложка
и2 (х,г)_ А
ПАВ
с(х, х)
Рис. 2. Взаимодействие ПАВ с электрон-дырочной плазмой двумерного полуметалла
рактеризуемые продольной с/ и поперечной скоростями звука. Кроме того, типичные ширина квантовой ямы Н^Те в экспериментах [1,2] (1 « 20 нм, что намного меньше длины рэлеевской волны, поэтому деформацию в пределах квантовой ямы можно считать однородной. Влияние электрон-дырочной плазмы сводится к изменению граничных условий для тензора напряжений <т.у на поверхности г =0. В то же время при расчете кулоновского взаимодействия частиц будем полагать, что электроны и дырки разнесены пространственно внутри квантовой ямы на расстояние (1.
2. ДЕФОРМАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Вектор смещения точек среды и(г, ¿) удовлетворяет уравнению [10]
и = с/Ли + (с2 — е2^гас1<:Иуи.
(1)
В геометрии рис. 2 решение уравнения (1) для поверхностной волны Рэлея, распространяющейся в направлении оси х, имеет вид
Здесь Л, В произвольные постоянные, значения которых определяются граничными условиями на поверхности упругой среды, которые имеют вид <т.у Ту = /¡, где Ту вектор нормали к поверхности упругой среды, £ поверхностная плотность силы, действующей со стороны возмущенной электрон-дырочной плазмы на поверхность упругой среды подложки. Величина силы £ может быть найдена усреднением соответствующей объемной плотности силы Г с весом ^'2(г) квадратом волновой функции поперечного движения электрона (дырки) в квантовой яме. При возникновении флуктуации плотности частиц Лг на единицу объема упругой среды действует сила [11] Г = Agl•adЛ^ где Л постоянная деформационного потенциала, которую мы считаем для простоты не зависящей от импульса частиц. Усредняя [12] Г, получаем £ = XV п, где п поверхностная плотность частиц, зависящая только от координат вдоль поверхности, а V двумерный оператор. Таким образом, граничные условия на поверхности подложки г = 0 принимают вид
()С1.
9их дг
2ди-7
ди,
дх
= А,
2с,
дп дх . диг дх
•АЛ
= 0,
др дх'
(3)
где п.р флуктуации поверхностных концентраций электронов и дырок, р плотность упругой среды. Отклонения плотности электронов и дырок от их равновесных значений создают в окружающем пространстве электрическое поле, электрический потенциал которого находится из решения уравнения Лапласа \!2ф = 0, с граничными условиями
ф(0+) = ф(0~), ф(<1+) = ф((Г е[ф'(0-)-ф'(0+)] = 4пепКШ, ф'((1+) — еф'((Г~) = -4перкш.
(4)
где плотности электронов и дырок, согласно теории линейного отклика,
Чу = 0,
щ и, = Ики][^еф(0)+Ш'(ы1 ры = Рк ш[сФ{(1)+\¥^}
0
х
и
Здесь штрих означает дифференцирование по г, а потенциальные энергии электрона и дырки в деформационном поле волны определяются выражениями
= -ЧсИуи )-=а = А г(1Ьи3, + д~-и~)\~=С1, И'/.. = А,(сИуи)-=0 = ХАН'".г +д-_и-_) |-=0.
(5)
Поляризационный оператор электронов
Щи —
И- к2 г2}
/и^
• кЧ2 .И в[к21?
Vпщ
(6)
где ис скорость Ферми электронов. Поляризационный оператор дырок отличается от (6) заменой т.. г, —¥ И)),. !■/,. Выражение (6) применимо в области к -С и), I',. и! -С и), '7/2.
Как уже указывалось выше, длина акустической волны намного превышает ширину квантовой ямы (1. В такой ситуации можно пренебречь конечной шириной ямы в выражении для И*Л в (5) и вычислять его при г = 0. Отметим однако, что такое приближение неприменимо для вычисления кулоновского взаимодействия электронов н дырок, т.е. нельзя считать ф((1) = ф{0) в граничных условиях, так как в этой ситуации акустическая плазменная ветвь исчезает [6].
Подставляя найденные плотности электронов и дырок, а также компоненты вектора смещения нз (2) в граничные условия (3), получаем дисперсионное уравнение
2 2
где
/(к, и;) = (к2 + к2)2 — 1к;к//.-2
(7)
(8)
= 1
2пе2Икш ек
2тге2Икш е(е + 1)к
_[5< \
к
1 )к)
-2 к<1
Б {к, и) = А; 11(I - < •,. /\ „ )—„ (I —г/ 111. ) -
— -А, А/, 1-1.1Ц
где 1'к = 4тге2/А'(<т +1). При вычислениях в (8) мы для простоты везде положили (1 = 0 за исключением величины _!(/>•.„•). поскольку, будучи детерминантом
системы уравнений (4), она определяет закон дисперсии обоих плазменных ветвей.
В отсутствие связи плазмы и упругой волны, т. е. при Ас = А/, = 0 имеем Б (к, и)) = 0 и дисперсионное уравнение распадается на два условия = = 0 и /(к, и)) = 0, которые описывают независимо соответственно плазменные акустическую и оптическую моды [6] н рэлеовскую волну [10]. Действительно, (см. [10]) дисперсия звука описывается выражением и> = к, где £ удовлетворяет соотношению /(¿•^ = = *4/(0 = 0 и
Плазменные моды легко получаются как решения уравнения А(к,и) = 0 в пределе и! » Н>е,Н>ь,
'•¿ас = Л'к, Л' = Г, Г/,
мор1 = \ / к
(10)
Здесь иС;/, = (е + 1)/2тС;/,в2 боровские радиусы электронов н дырок, и, кроме того, при вычислении выражения для акустической моды мы считали, что к(1 -С 1. Теперь рассмотрим поглощение ПАВ и затухание плазменных мод при учете их взаимодействия. Будем предполагать всюду выполнение неравенств С'1, С{ -С 1>е, ( '/).
3. АКУСТИЧЕСКАЯ ОБЛАСТЬ ЧАСТОТ
Исследуем сначала область частот, характерную для акустической волны, т.е. и; ~ ((:1,С[)к -С •С (ре,1% кроме этого, для простоты можно принять (1 = 0. В этой области выражение (6) упрощается,
тп,
«--- ( 1 + ¡^
■ N
(Н)
Р'кю
Ч>1, ^ ! _ ._[£ к1<к
и, подставляя в (7) и; = получаем
21- _
№ = — Су/Г3С1х
р( I
Х2.Щ + Х2Р^укЩР^\с + \ьУ2 1 - '*л(П€ + Р€)
* 7Г V '-'Л.
„ II), /', . С)
(12)
Выражение (12) дает миимую и действительную поправки к С. определяя тем самым поправку к закону дисперсии рэлеевской волны и ее затухание. Наличие множителя к в числителе (12) позволяет решать это уравнение итерациями в длинноволновой области к —¥ 0. Представим левую часть (12) в виде /(Со + ¿£) « /(Со) + /'(Со)<">£, где Со решение уравнения (9) /(Со) = 0. Тогда поправка определяется правой частью (12) с заменой С —Со и к = и/Со(-!/■
¿с =
2и!
1^Со2х
/'(Со)рф/.
;; + ЧРИо ~ 1'кЩоРдо(К- + А/, )2 1-^(П€о + Р€о)
(13)
В общем случае выделение мнимой и действительной частей (13) очень громоздко. Поскольку г/. Иг I= —2/кис и г/. Не 1\„ = —2/киь, мы рассмотрим предельные случаи кис.ки/,, » 1 и кис, каь -С 1. В первом случае имеем г»*П?0, -С 1, и,
отбрасывая третье слагаемое в числителе и заменяя знаменатель единицей в (13), для затухания волны и)" = иЛш^С/Со) получаем
2и/2 1 - Со (тсА2 пч.Х]
тг/'(Со )р(-] V
'-'к
(14)
В обратном предельном случае выполняется неравенство г/. I. > 1 и, пренебрегая в числителе первыми двумя слагаемыми и единицей в знаменателе, получаем
2и/2 \/1 - Со И), III/АХ, + А/г)2
7
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.