ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 4, 2014
УДК 539.3
© 2014 г. М. В. Бедоидзе, Д. А. Пожарский
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ШТАМПОВ НА ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
Исследуются трехмерные контактные задачи о взаимодействии двух одинаковых штампов на упругом трансверсально изотропном полупространстве (пять упругих постоянных), когда плоскости изотропии перпендикулярны границе полупространства. В связи с этим жесткость границы полупространства зависит от направления. Ядро интегрального уравнения контактных задач при помощи теории обобщенных функций представлено в виде, свободном от квадратур. Такой вид ядра позволяет провести его регуляризацию в особых точках и применить для решения контактной задачи с неизвестной областью контакта метод Галанова.
Контактные задачи о вдавливании нескольких штампов находят широкое применение в исследованиях по механике дискретного контакта [1, 2]. Ранее изучалось взаимодействие штампов на изотропном полупространстве [3, 4], слое [5] и клине [6]. Получено точное решение задачи о вдавливании одного эллиптического в плане штампа в трансверсально изотропное полупространство, когда плоскости изотропии перпендикулярны границе полупространства [7]. В настоящей работе это решение использовано для сравнения с численными значениями, получаемыми по методу нелинейных граничных интегральных уравнений [8, 9]. В отличие от изотропного случая [8, 9] здесь параметр регуляризации должен зависеть не только от шагов сетки, но и от параметров анизотропии. Сделаны расчеты для различных материалов, широко востребованных в промышленности [10], при внедрении эллиптических, конических и пирамидальных штампов.
1. Постановка задач и метод решения. В декартовых координатах рассмотрим трансверсально изотропное упругое полупространство х>0, граница которого перпендикулярна плоскостям изотропии z = const. Закон Гука имеет вид [7]
Пусть при х = 0 в полупространство внедряются два одинаковых абсолютно жестких штампа, эллиптических параболоида, расстояние между вершинами которых 2Н. Штампы расположены симметрично относительно начала координат. Вершины штампов могут лежать на оси у (задача А) или z (задача Б). Штампы вдавливаются без перекоса одинаковыми силами Р, испытывая осадку 5. При заданных упругих параметрах, форме основания штампов /(у, z) и осадке 5 требуется определить область кон-
а х = Лп д"x ^.лдиУ ч °uz-
duz_
t а ^ л \dux duy duz аy = (Ли - 2Лбб)—х + Ли — + A13
(1.1)
такта и 0+, контактное давление q(y, z) и силу P. На основании решения задачи Буссинеска [7], используя симметрию относительно начала координат, интегральное уравнение (ИУ) обеих задач можно записать в форме (здесь и далее верхний знак берется для задачи А, нижний — для задачи Б)
я¿о) [К(у - Уо, г - ¿о) + К(у ± у0, г + zo)VУodzo =
, , ч2 2 (1.2)
= 5--, (у,¿) Ей , И = И, И+ = 0 2Я1 2Я2
где Rl и R2 — радиусы кривизны штампа.
Ядро ИУ (1.2) можно представить в форме, свободной от квадратур [11]:
ч (т1 - т2)у2 у 2 г / 2 2 2 Л 0 ,
К (у, г) ~ ' „ ; С» =ЬпУ + г , » = 1,2,3
2пЛ66 Б
Б = тф^ - 2 - 4(т1 - т2)г2^3 (1.3)
т1 = АпУ2 -Л44, и = {щ + 1)у2у2 + 2, ; = 1,2, уз А4 А13 + А44 \А66
Постоянные у: и у2 удовлетворяют биквадратному уравнению
У4А11А44 - у2[А11А33 - А1з(А1з + 2А44)] + А33А44 = 0 (1.4)
Поместим центр новой системы координат в вершину эллиптического параболоида, уравнение которого входит в правую часть ИУ (1.2), сделав замены
у' = у - И, у0 = уо - И, д'(у',г) = ч(у,г), ^- ^ ^ (задача А) г' = г - И, г0 = г0 - и, у'(у,г') = ц(у,г), ^- ^ ^ (задача Б) Опуская далее штрихи, придем к ИУ для задачи А вида
Л?(уо, г о) [К (у - уо, г - г о) + К(у ± уо + 2ИТ, г + го + 2И±)\йуойго = 5- /(у, г) о
(у, г) еП, /(у, г) = -у- +
2Я1 2Я2
(1.5)
(1.6)
Для решения ИУ (1.6) при условии (штамп не имеет острых кромок) q(y, z) = 0, (г, z) е до
используем метод нелинейных граничных ИУ типа Гаммерштейна [8, 9]. Метод позволяет одновременно определить область контакта, контактное давление в этой области и нормальное перемещение упругого материала вне области контакта. Введем обозначения
М = (у, г), N = (уо, ¿о) (1.7)
и предположим, что область контакта целиком содержится в прямоугольнике
5 = {|у|< Ьо,|г|< ао} (1.8)
5 Прикладная математика и механика, № 4
Уравнение (1.6) дополним условием неотрицательности контактного давления в области контакта, а также условиями отсутствия контакта и обращения в нуль давления в дополнительной области записав их все в виде системы
11±(Ж, М)д(Ж№ = й(М), д(М) > 0, 1, М)д(Ж> й(М), д(М) = 0,
где
й(М) = 8- /(М), Ь±(Ы,М) = К (у - У0,7. - Zo) + К (у ± уо + + 2о + 2Н±) (1.10) Предполагается, что упругие параметры таковы, что К(у, z) > 0 при у ф 0, z ф 0. Также предполагается, что существует область Б0 = {М: с1(Ы) > 0}, такая, что йс 50 с 5. Введем нелинейные операторы
р+(М) = 8ир{р(М), 0}, р~(М) = тРур(М),0} (1.11)
Очевидно, любую функцию можно представить как сумму операторов (1.11). Идея метода заключается в представлении искомого давления в форме
д = д(М) = д+(М) + д-(М) (1.12)
с целью автоматического удовлетворения интегрального неравенства (1.9) в ходе решения нелинейного операторного уравнения типа Гаммерштейна
0р = 0 (М б О), 0р = р~ + Ь+ р+ - й (1.13)
где
р = р(М), р±=р±(М), й = й(М), Ь±р + = ¡1±(Ж, М) р+(Ж)йЖ (1.14)
Можно доказать эквивалентность системы (1.9) и нелинейного уравнения (1.13) [8,9].
При численном решении уравнения (1.13) применим модифицированный метод Ньютона, основанный на построении последовательных приближений по формулам
рп+1 = р - (Р'рп)~1 © р„, рп = рАМ); п = 0,\..., р0= й (1.15)
где Г — дифференцируемый оператор, аппроксимирующий оператор © по равномерной метрике.
Прямоугольник ^ покроем равномерной сеткой из т узлов с шагами Нх по оси у и к2 по оси ^ При расчете значений ядра в этих узлах его особенности сглаживались по формулам
У(У - У0)2 + 4^ - Zo)2 ^У(У - У0)2 +4^ - Zo)2 + 8*, 8* = (Ч + П))к1к2 (1.16)
N
где N — достаточно большое натуральное число. Как видно из формулы (1.16), параметр регуляризации зависит как от шагов сетки, так и от параметров анизотропии материала. Как показывают расчеты, если вместо регуляризации (1.16) брать обычную регуляризацию для изотропного материала, учитывающую только шаги сетки (при фиксированном значении М), процесс (1.15) зачастую будет расходиться. Регуляризация (1.16) обеспечивает сходимость метода и отладку программы для случая одного штампа (при достаточно больших значениях параметра к), давая хорошее совпадение
М ЕЙ
М е 5
(1.9)
Таблица 1
№ Материал 2 Yi 2 Y2 2 Y. m1 m2 uxy uxz
1 Ti 1.759 0.6324 1.327 2.066 0.4840 0.5204 0.6384
2 Co 3.269 0.3568 1.061 5.206 0.1921 0.5701 0.6504
3 Композит 22.32 0.4745 1.821 25.91 0.03859 0.4099 0.6602
4 Углеволокно 7.492 1.568 4.790 4.132 0.2420 0.2941 0.6671
5 Древесина 13.79 0.1227 0.7101 76.22 0.01312 0.5306 0.6021
6 SiC 2.859 0.3808 0.7786 5.994 0.1668 0.8911 0.8304
7 Керамика PZT-4 1.198 0.6907 0.8393 1.415 0.7069 0.7066 0.6406
8 Сапфир 2.336 0.4293 0.8848 3.921 0.2550 0.7695 0.7523
с точным решением для случая одного эллиптического параболоида, форма основания которого описывается последней формулой (1.6). Это решение имеет вид [7]
q(y, z) = - У2 - ^ P = JJq(y, z)dydz = ^ abq0
2 2п 2
5 = aq0(mi - m2)Y2 Г 9 (1.17)
"0 8Л66 0 D(9)r(9) V '
b1 + a1 _g R _ c
2R 2R2 ~ ' R2 _ d где
2п 4Q 2n 2q • 2Q ÍTT2
С = Г-£££6d0, d = fcos 8s3in 8d0, r(9) = M cos2 9 + sin2 9
0 D(0)r (0) 0 D(0)r (9) ш/
D(9) = m1h2(9) - m2h1(9) - 4(m1 - m2)Z3(9)sin2 9 (1.18)
; [(mk + 1)Y2 cos2 9 + 2sin2 9]2 „ ,„ч Г2 ^ ГТ7
hk(9) = -Ui -J-, Z«(9) = VY«cos 9 + sin 9
Z k(9)
При заданных величинах s, R¡, R2 отношение полуосей эллипса контакта a/b определяется из предпоследнего соотношения (1.17). Затем величина a находится из четвертой формулы (1.17), величина q0 — из третьей формулы (1.17). Вдавливающая штамп сила рассчитывается по второй формуле (1.17).
2. Численный анализ. Опубликованы ([10], с. 22, 23) упругие параметры AiJ тридцати семи востребованных в промышленности трансверсально изотропных материалов, измеренные зарубежными исследователями в последние десятилетия. Для некоторых из них в табл. 1 приведены значения безразмерных параметров анизотропии, фигурирующих в формулах (1.3) и (1.4).
Отметим, что для некоторых материалов [10], например, для цинка (Zn), бериллия (Be), кадмия (Cd), дискриминант биквадратного уравнения (1.4) отрицателен. Это означает, что при решении дифференциальных уравнений упругого равновесия возникают осциллирующие члены, что может приводить к осцилляциям поля перемещений на поверхности тела. Такие случаи здесь не рассматриваются.
Поверхность полупространства в зависимости от материала, из которого оно состоит, может быть более жесткой как в направлении оси y, так и в направлении оси z [11].
Таблица 2
№ Точное решение Задача А Задача Б
8 к = да к = 4 3 2 1 к = 4 3 2 1
1 0.934 2.60 2.48 2.43 2.35 2.13 2.45 2.39 2.30 2.06
2 0.958 2.47 2.31 2.27 2.19 1.98 2.30 2.25 2.16 1.94
3 0.852 2.77 2.67 2.63 2.55 2.32 2.60 2.54 2.43 2.17
4 0.764 3.25 3.14 3.09 3.01 2.77 2.99 2.91 2.77 2.47
5 0.971 2.56 2.46 2.42 2.33 2.10 2.45 2.40 2.30 2.07
6 1.024 1.82 1.70 1.66 1.60 1.44 1.70 1.67 1.61 1.45
7 1.033 2.36 2.18 2.14 2.05 1.84 2.20 2.15 2.07 1.87
8 1.008 2.05 1.92 1.88 1.81 1.63 1.93 1.89 1.82 1.64
При действии на границе полупространства в начале координат нормальной сосредоточенной силы Рх для нормальных перемещений на осях у и z можно получить формулы [11]
т т Рх -хУ (т - т2)у1у2
-х (0, У, 0) = ---, ихУ =—-—-2—
2пАбб У у3[т1(т2 + 1) у1 - т2(т1 + 1) у2]
их (0,0,7.) = , Uxz =-ЬЬ^Щ--(2.1)
2пА66 7 2[(т1 - т2)у3 - т1у2 + т2у1]
Значения безразмерных величин иху и и^ приведены в двух последних колонках табл. 1 и характеризуют нормальные перемещения точек поверхности, лежащих на координатных осях и равноудаленных от начала координат, где действует сосредоточенная сила. Видно, что для материалов 1—5 поверхность полупространства жестче в направлении оси у (соответствующее перемещение меньше). Для остальных материалов поверхность жестче в напра
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.