МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА < 3 • 2008
УДК 532.546+539.41
© 2008 г. А. В. АКУЛИЧ, А. В. ЗВЯГИН
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТРЕЩИНЫ ГИДРОРАЗРЫВА С ЕСТЕСТВЕННОЙ ТРЕЩИНОЙ
Представлены результаты численного моделирования взаимодействия трещины гидроразрыва, распространяющейся в условиях плоской деформации в бесконечной непроницаемой упругой среде с уже существующим природным разломом. Трещина создается несжимаемой ньютоновской жидкостью, закачиваемой с постоянным расходом из источника, расположенного в ее центре; поведение разлома описывается моделью сухого трения типа Мора-Кулона. Полученные результаты согласуются с существующими работами в данной области.
Ключевые слова: трещина гидроразрыва, вязкая жидкость, упругая среда, плоская задача.
Задача о распространении трещины гидроразрыва в породе, содержащей естественные разломы, представляет большой интерес для нефтяной промышленности, поскольку активизация разлома может оказывать существенное влияние как на гидроразрыв, так и на саму скважину и даже привести к ее разрушению. Несмотря на то, что существует большое количество теоретических и численных исследований о распространении трещин гидроразрыва, в большинстве случаев предполагается, что порода не содержит разрывов [1-3].
Вопросы пересечения трещин с имеющимися в породе разрывами исследовались в [4-6]. Было показано, что в результате взаимодействия трещины с разломом возможна ее остановка, изгиб, изменение режима распространения с отрывного на сдвиговый [7] и т.д. Все эти вопросы еще недостаточно изучены и требуют более полного анализа. Помимо экспериментальных работ с целью выделения ключевых параметров, управляющих всеми этими различными явлениями, должно быть проведено моделирование простой, но важной конфигурации. Прежде чем решать реальную проблему, важно понять влияние одного естественного разлома на распространение трещины гидроразрыва. В [8] было проведено моделирование взаимодействия разлома и статической трещины под давлением. В [9] были исследованы ключевые параметры, влияющие на начало взаимодействия разлома с трещиной, распространяющейся в двух предельных режимах: режиме, определяемом жесткостью породы (в этом случае жесткость считается бесконечно большой, давление жидкости в трещине постоянным по всей ее длине, а напряжения в любой точке среды определяются аналитическими формулами [10]), и режиме, определяемом вязкостью жидкости (в этом случае жесткость породы считается равной нулю); рассматривался разлом, перпендикулярный направлению распространения трещины гидроразрыва. Было выяснено, что при прочих равных условиях взаимодействие начинается раньше для менее вязкой жидкости, для меньших величин напряжений на бесконечности и для меньших углов наклона разлома (время отсчитывается от момента начала распространения трещины гидроразрыва).
В данной статье в отличие от [8] рассматривается квазистатическая трещина гидроразрыва, распространяющаяся в условиях плоской деформации в бесконечной непроницаемой упругой среде, содержащей естественный разлом. Трещина создается несжимаемой ньютоновской жидкостью, закачиваемой с постоянным расходом из источника, расположенного в ее центре. Не делается никаких аналитических предположений отно-
Фиг. 1. Схема взаимодействия трещины гидроразрыва с природным разломом: АВ -зона раскрытия разлома, АС и ВБ - зоны скольжения разлома
сительно профиля давления в трещине, все ее характеристики определяются численно в процессе решения; в отличие от [8] модель применима для породы любой жесткости. Учитывается эффект отставания фронта жидкости от края трещины. В результате проведенных расчетов была получена зависимость от времени напряженно-деформированного состояния упругой среды, ослабленной трещиной гидроразрыва и природным разломом. Было описано влияние, которое оказывают величины вязкости жидкости, напряжений на бесконечности и угла наклона разлома на время начала взаимодействия, на характер "активных зон" разлома и на величины скольжения и раскрытия его берегов. Также было обнаружено, что активизация разлома может тормозить распространение трещины и изменять профиль ее раскрытия.
1. Постановка задачи. Рассмотрим трещину гидроразрыва, распространяющуюся в условиях плоской деформации в бесконечной непроницаемой упругой среде с уже существующим природным разломом (фиг. 1). Минимальные сжимающие напряжения величины о2 действуют перпендикулярно трещине. Трещина создана несжимаемой ньютоновской жидкостью, закачиваемой с постоянным расходом из источника, расположенного в ее центре. Предполагается, что распространение трещины квазистатическое (время рассматривается как параметр). Течение жидкости в трещине моделируется с использованием предположения о смачивании.
Пусть жидкость закачивается в главную трещину с постоянным объемным расходом Q0; длина трещины I может быть определена как функция времени t , раскрытие трещины ^ и давление жидкости р (или избыточное давление р = р ^ - о2) могут быть определены как функции координаты и времени.
Будем считать, что в начальном состоянии разлом представляет собой закрытую трещину, заданную координатой левого края, углом наклона по отношению к оси х и длиной; у - коэффициент трения. Когда край трещины приближается к разлому, возникает возмущающее поле напряжений, в результате воздействия которого возможны три состояния берегов разлома, которые определяются величинами нормального и касательного напряжений с„„, стп на площадке разлома; в соответствии с этими состояниями все граничные элементы разлома делятся на три категории: закрытые, скользящие и открытые. При выполнении условий апп < 0, |ата| < -уопп среда считается непрерывной, а соответствующие граничные элементы-закрытыми. Если апп < 0, |отп| > -уопп, происходит сдвиг берегов разлома по касательной площадке до выполнения условия |ата| = -уапп, [ип] = 0, где [ип] - скачок нормального перемещения; граничные элементы, на которых это происходит, переходят в категорию скользящих. В случае, когда на каких-то граничных элементах верно неравенство спп > 0, происходит раскрытие трещины разлома, данные элементы переходят в категорию открытых и на них ставятся условия спп = 0, ахп = 0. Будем считать такое поведение разлома моделью типа Мора-Кулона, а участки, на которых происходит сдвиг или раскрытие берегов, будем называть "активными зонами". Обозначим скачок нормального смещения (раскрытие) разлома как Бп = и- - и+ и
скачок касательного смещения (скольжение) как Б, = ит - ит ; на отрезке СБ фиг. 1 имеет место только скольжение разлома, а на отрезке АВ-как раскрытие, так и скачки касательного смещения. Представленная программа определяет положение этих зон, перемещения берегов разлома и напряженное состояние среды и позволяет проанализировать влияние, оказываемое на "активные зоны" напряжениями на бесконечности, вязкостью жидкости и углом наклона разлома по отношению к направлению трещины гидроразрыва.
2. Построение модели. Моделирование задачи о взаимодействии включает в себя два отдельных этапа: моделирование распространения трещины гидроразрыва в отсутствие разломов и моделирование взаимодействия между статической трещиной под давлением и природным разломом. Подробное описание каждого из этих этапов представлено ниже.
Первый этап. Рассмотрим единственную трещину, распространяющуюся в бесконечной непроницаемой упругой среде без разломов. Постановка задачи сформулирована выше.
Задача о трещине гидроразрыва решается в классической квазистатической постановке. Хотя трещина гидроразрыва предполагается несимметричной относительно скважины, для удобства обозначений ниже рассматривается только одно ее крыло; для второго крыла все действия проводятся точно так же. Течение несжимаемой жидкости в трещине описывается уравнением неразрывности и уравнением импульса, учитывающим вязкие силы сопротивления в узком канале (поскольку задача считается квазистатической, пренебрегаем инерцией жидкости):
д ж Jrдw дУ „ 1Ч
тт- + У ---—+ ж ------ = 0 (2.1)
д t дх д х
(дУ лгдУЛ д рг у
р1 эУ + у дУ) = у (2.2)
Здесь t - время; 1 - координата вдоль трещины (х = 0 - зона закачки жидкости в трещину); ж = ж(х, 0 - раскрытие трещины; У(х, 0 - скорость жидкости; р - плотность жидкости; р ^ = р ^ (х, 0 - давление жидкости; ц - вязкость жидкости.
Поскольку рассматривается упругая среда, то система уравнений (1.1) и (1.2) решается совместно с уравнениями равновесия упругой среды и законом Гука:
доУХ до.,., _УХ +__уу = о
дХ ду " (2.3)
[(1- хх - ^уу]
[( i- уу -
(2.4)
диу\_ о
д°хх Эх + Э°ху ду = 0,
£ хх ~ . д^ = 1 + V
дх E 1
гуу = д иу 1 + V|
" Ь = E 1
£ ху ~ 1 (ди х
' £ ух = 21 д у
д Х) Е Ху
Здесь оХХ, оху, Оуу - компоненты тензора напряжений; еХХ, е , еуу - компоненты тензора деформаций; иХ, иу - компоненты вектора перемещений; Е - модуль Юнга; V - коэффициент Пуассона.
Уравнения (2.1), (2.2) и (2.3), (2.4) связаны граничными условиями на берегах трещины (у = 0±, |х| < Ь), где Ь - длина рассматриваемого крыла трещины. Введем следующие обозначения для параметров на берегах
о± = оч(Х' 0±)' и± = и1(Х' 0±)
Тогда граничные условия запишутся следующим образом
у = 0±, |х| < Ь, и+- и- = V (Х, г), о±у = -р! (Х, г) (2.5)
Вслед за другими авторами, пренебрегаем здесь действием вязких сил на стенки упругой среды.
Добавим условия втекания жидкости и критерий разрушения среды. Предполагаем, что расход постоянен. В общем случае распределение расхода жидкости между крыльями трещины обратно пропорционально их гидродинамическому сопротивлению. В работе рассматривается изначально симметричная трещина, которая впоследствии становится асимметричной; расчеты показали, что на рассматриваемом этапе асимметрия трещины мала, следовательно, мала и разница в гидродинамическом сопротивлении крыльев трещины, поэтому можно считать, что расход распределен равномерно между обоими крыльями. Предполагается в дальнейшем при нарастании асимметрии учитывать неравномерное распределение жидкости между крыльями трещины. В рассматриваемом случае на каждое крыло приходится расход Q = 1/2 Q0 и жидкость закачивается в центр трещины ( х = 0, ф
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.