МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2013
УДК 539.3
© 2013 г. Н. А. БАЗАРЕНКО
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЖЕСТКОГО ШТАМПА С ЗАКРЕПЛЕННОЙ ОДНОЙ СТОРОНОЙ КРУГЛОЙ ПЛИТОЙ СО СВОБОДНЫМ ОТ НАПРЯЖЕНИЙ ТОРЦОМ
Рассматривается осесимметричная контактная задача о вдавливании жесткого штампа в закрепленную одной стороной упругую круглую плиту со свободным от напряжений торцом. Задача решается разработанным для тел конечных размеров методом, в основе которого свойства биортогональ-ной системы векторных функций. Задача сводится к одному интегральному уравнению (ИУ) Вольтерра первого рода относительно функции контактного давления и системе двух ИУ Фредгольма первого рода относительно функций, описывающих производную от смещения верхней поверхности плиты вне штампа и нормальное (или касательное) напряжение на нижней закрепленной стороне. Две последние функции ищутся в виде суммы тригонометрического ряда и степенной функции с корневой особенностью. Полученные в результате плохо обусловленные системы линейных алгебраических уравнений, введением малых положительных параметров регуляризуются и имеют устойчивое решение. Дается способ решения ИУ Вольтерра. Найдены функция контактного давления, нормальное и касательное напряжения на закрепленной стороне плиты и безразмерная вдавливающая сила. Приводятся примеры расчета плоского штампа.
Ключевые слова: биортогональная система функций, регуляризация СЛАУ, эквивалентные граничные условия, суммирование рядов.
1. Постановка задачи. Ранее изучались контактные задачи для прямоугольника и круглой плиты как без учета их закрепления [1, 5], так и с учетом [4]. Описываемый здесь метод решения использовался также в работах о взаимодействии упругих полых цилиндров конечной длины с жесткими бандажем [2] и вкладышем [3]. Задачи для полых цилиндров и закрепленного прямоугольника сводятся к системе двух ИУ, а в случае [1, 5] к одному ИУ. Закрепление прямоугольника или плиты вызывает эффект концентрации напряжений в угловых точках [4, 6, 7]. Получено уточненное решение задачи [5].
Теория контактных задач описана, например, в монографиях [8—10]. Не претендуя на полноту, перечислим известные подходы к решению такого класса задач: асимптотические методы "больших и малых 1", сведение ИУ к бесконечным алгебраическим системам, численные решения, методы однородных решений и ортогональных функций, методы факторизации и собственных векторных функций. Преимущество используемого здесь подхода по сравнению с известными состоит в том, что с его помощью можно получать решения ряда контактных задач для тел конечных размеров, в то время как перечисленные методы не реализуемы, например, для задач [1—5].
В цилиндрической системе координат г, ф, ^ рассматривается осесимметричная задача о вдавливании в упругую круглую плиту толщины к (г < 1), закрепленную сторо-
Фиг. 1
ной г = 0, жесткого штампа, имеющего радиус a и основание г = h - 8(r) (фиг. 1). Будем считать, что торец плиты свободен от напряжений, а в области контакта штампа и плиты отсутствуют силы трения. Тогда граничные условия можно записать в виде
аг (1, z) = Trz (1, г) = 0, го < г < гь Trz(r,h) = ur(r,0) = uz(r,0) = 0, r el (1.1)
uz(r,h) = -6(r), о < r < a; <rz(r,h) = 0, a < r < 1(г0 = 0 г1 = К 1 = [01]) (1.2)
Здесь аг,..., uz,ur — компоненты напряженно-деформированного состояния (НДС). Общее решение осесимметричной задачи выразим через безразмерную бигармони-
ческую функцию Лява Ф(г, г) = (2С)-1Ф(г, г) [8]:
д2ф = 0, А = д r + r ^д r + д 2, дг = д/дг, д г = д/дг, ur = -д r д г <5 (1.3)
uz = (v0А - д2)Ф, оr = (vA - д2)дгФ, Sг = (VА - дГ)Ф, тгг = дr(VА - дГ)Ф
где G — модуль сдвига, v - коэффициент Пуассона, v0 = 2 - 2v, v = 2 - v, V = 1 - v; Sг = (2G)-1cг, ..., Trz = (2G)Trz — безразмерные компоненты НДС.
Разыскивая функцию Лява в виде Ф = f (r)ф(г), где ф(г) = dchyz + cshyz (с, d, у — const), из соотношений (1.3) найдем
А 2Ф = ф(г)А2 f (r) = 0, А = д г + r ^д r + у2, f(r) = C1/0(yr) + C2yr/1(yr)
е г = е г (г)ф '(г), т^ = т гг(r)ф(г), е г = е г (г)ф '(г), uz = uz (r)ф(г)
ur = йг(г)ф'(г), Gr(r) = (vA-d^Df(r), тrz(r) = dr(VД -y2)f (r) (1.4)
22 о г (r) = (v Д - Y )f (r), uz(r) = (v 0A - Y )f (r), Ur (r) = -d rf(r)
Здесь J0(yr), J1(Yr) - функции Бесселя первого рода [11], Q,Cr — постоянные. Удовлетворяя первым двум равенствам граничного условия (1.1), получим
б г (1) - Y{C1(J 0(у) - Yjy)) + Cr[(1 - v 0)J0(Y) + Y^(Y)]} = 0
Trz(1) - Y2{C1J1(Y) - Cr(v0J 1(7) + YJ0(Y))} = 0
Эта однородная система имеет нетривиальное решение
С1 = Ъпу ПС2 = /1у П2 (Ь„ = /0 + v 0/1/7 п) (1.5)
Здесь и далее применяется запись /у = /У(уп),V е Я; у = уп - корни уравнения
Vо/1 - У2(/1 + /о2) = 0, Яеуп> 0; п = 1,2,... Асимптотика корней уи и итерационная схема их вычисления известны [5].
С учетом соотношений (1.4), (1.5) находим собственные функции Рп(г),п = 1,2,..., и однородные решения, соответствующие ненулевым собственным значениям уи:
Рп(г) = Хп [0^п) + г/1/1(^п)] У^ фп = Рп(г)Фп(z), Фп(г) = йпСЪуп^ + ^Ьуп2
е Гп) = <5п (г)фп(г), 5п (г) = Уп [/0^п )е 'п + /&п) (г/1 - Ьп ^п)]%п, ^п = Уп г
тГг = тпг(г)фп(г), ^(г) = у2п(/0/1(5п) - г/1/0^п))Хп, 4 = /0 + У/ (1.6)
= 6 6" (r) = Yn(J2J - rJ1J1(5 «))х «> иГ = ^Оф"
Un(r) = ((Ji(U - rJiJ о(5 „))%„, = U"(rton(z), Un(r) = с" (r) - 2vJJо(^„)х n
Здесь хn = (v2J3J2/уn - v0J4)-1/2 — нормирующий множитель. Для корня у0 = 0 безразмерную функцию Лява ищем в виде
Фо = Co(vzr2 + v2z3/3) + do(r2/2 - z2) (А2Фо = 0;Со,do - const)
(n)
и далее по формулам (1.3) находим
ero) = = о, ezuj = б о Wo(z), и(о) = u>^o(z), иzuj = и»фо^)
U°(r) = -vr хо, UU °(r) = Хо, б z (r) = v^, T ?z (r) = о, б °r (r) = о
? (о)
(о)
(о)
(о)
(1.7)
Ф0(г) = 2С0г + 2^, Vl = 1 + v, V2 = 1 - 2^ Х0 = V2/Vl Учитывая равенства (1.6), (1.7), интегралы от компонентов НДС при z = zs, $ = 0, 1 (иг(г, zs) = м^, иг (г, ^) = иг, ё г (г, ^) = о г, тгг (г, ^) = т ^) можно искать в виде
T (r) = Z 'fkM (r), Ps (r) =£7n,s V°(r) C/jfc,s = Ф k fe), fn,s = ФП(^))
(1.8)
k=o
r ^ i N r ^ i N i
Ts = J iusz(i) + jJTsz(x)dx di, Ps = J ijсz(x)xdx + jusr(i)i di, Tk(i) = Jx^(x)dx
1 V 1 ) 1 V 1 ) 1
r r
m(r) = iфк(r) + j jtk(i)di, V°(r) = y-1(iфП(г) + j<£n(r)) - J(ian(i) + jU,n(i))idi
iOn(i) = i((Jо(уni) - JoJl(Yni))xn = J&n(x)xdx, Фк(r) = J4(i)di
6z(x) = (x) - fo,s6o(x), К(i) = USr(i) - /ъй (i), f?o,s = ф'о(^) = (fo,1 - fo,o)/A
Здесь i, j — единичные и взаимно ортогональные векторы; сsz(x), üsr (t) - приведенные компоненты НДС; штрих у знака суммы означает укороченную запись
да Г да "1
Z (Yk, r) = Oq + 2 Re l Z on j> (y o = 0, Rey n, Imy n > 0, n = 1,2,...)
k=0 L=1 J
Векторные функции [12] Щ(t),Um(t) =-i(td™(t))' - j(türm(t))"(k,m = 0,1,...) и V°(t),
Vp(t) = i(üpz (t))'' + j(Tcprz(t))'(n,p = 1,2,...), соответствующие значениям yk,yn, образуют биортогональные нормированные системы
fu % (r) • U m (r)dr = f k = m , f V°(r) • Vp(r)dr = f J 10, k ^ m J 10,
0 0
1, n = p n ^ p
(1.9)
Можно показать, что функциональные ряды (1.8) равномерно сходятся на отрезке I и следовательно на I их можно интегрировать. Умножая первое равенство (1.8) на ит(г) а второе на Ур(г) и интегрируя, с учетом условия (1.9) найдем
Í0,s = Х0 J(üZ(t)V1 + Vt\rz(t))tdt, f„s = - J((üZ(t))'On(t) + Trz(f)ü"(t))tdt
0 0
1 1
Xof s fo/2 = JoZ(t)tdt, fn,s = j(t^Z(t)«zn(t) + (K(t))'Tn(t))dt, n = 1,2,...
(1.10)
Постоянная /0 определена из условия равновесия сил, действующих на плиту.
2. Метод решения. Как и ранее [4], приведем два варианта решения контактной задачи для круглой плиты, следуя которым можно попутно изучать эффект концентрации нормальных и касательных напряжений в угловых точках (1, ф, 0) закрепленного основания плиты. Введем обозначения (вариант ст):
Sz(r,0) =-c(r), r el; üz(r,h) = ü(r) =
-5(r), 0 < r < a -g(r), r e I
(2.1)
Здесь g(r) и а(г) - искомые функции; I = [а, 1].
Как показывает апостериорный анализ, функциональные ряды, определяющие при г = 1В левые части условий (1.1), (1.2), расходятся. Поэтому упомянутые граничные условия заменены на эквивалентные условия (1.8). Для варианта ст получим
( t \ 2
X 'fk,1Ug(r) = i Jü(t)dt, X%0Vn°(r) = J ji/ct2 WV1 - i J(o(x) + A)xdx
k=0
n=1
dt
(2.2)
jjqx? xdxdt = fw(r) - X 'Y ПаФ (r) - Ga(r), 0 < r < a /0 = -2 jo(t)tdt
11
2G
n=1
(2.3)
J üz (t,0)dt - 0 = X 'Аф (r), r el; fw(r) + £ 'Y-7пдФП(г) = 0, r el (2.4)
k=0
n=1
ОТ
r
где д(х) = -аг(х,к), 0 < х < а - функция контактного давления; w = (г3 - 3г + 2)/б , а, например, первое равенство (2.4) эквивалентно условию иг(г, 0) = 0, г е I.
В самом деле, дифференцируя обе части первого равенства (2.4), получим и^г, 0) = 0, г е I. И наоборот, если иг(г, 0) = 0, то первое условие (2.4) выполняется.
Далее, с учетом условий (2.2), по формулам (1.10) находим коэффициенты
Xofo,1 = и(1) - ju'(i)i2di, fn,1 = - JU(i)cn(i)idi, До = - jo(i)Ui"(i)idi, n = 1,2 ...
о о о
и с помощью этих формул, а также соотношений
fk,o = fk,1 /chykh - fKothykh/Yк, fk,1 = fk,1Ykthykh + fk,o/chykh, k = 0,1,... (2.5)
представляем два других коэффициента (для варианта ст) следующими интегралами:
fn,1 У n J
1 (u'(i)Cn(i) + g(i)Uzn(i)^
idi, fn,o = j
1 ig(i)U"n(i) _ u'nn
Y nCthy nh chy nh
0 сШупк упСИупк 1
10/0,0 = и(1) - „/0 кV! - Iп = 1, 2, ...
0
После подстановки интегралов (2.6) в условия (2.4) последние принимают вид
а 1 1
(2.6)
j5'(i)<1(P)idi + Jg'(i)K°1(P)idi + \a(i)Klo(P)idi = Usa (r)g(1),
s = 0, r el s = 1, r el
(2.7)
K°1(P) = iUs(r) + X Фn',a(r)an(i), (-1)sK°o(P) = Hsa(r) + XФn,0a(r)Uzn(i)/y
ф П,ст (r) = ф n (r)v П,ст, V П',а = thy nh, VП',ст = 1/chy nh, s * q = 0,1
U1a = 0, U° = r -1, HI = 2w(r), H0° = 2(r -1) h/V1, ^n = Уnr
Ф«(г) = [r 2JJ1(£ n) - e'n I n(r) - J12]X n, I n(r) = I'n(r) -I'n(1), en = v о уJ - J0
r
фП(г) = Yn[CnIn(r) + e"(rJo(^n) - Jo)]Xn, 1П(г) = Yn jiJ 1(Y J)di = rR£n), иг > 7.2
2 ^ IИ(г) = Г J ^ J+&K) + 15 I (1 - ak^n))(^n/2)
U =0 ^ n
4k+2 I
4 k=0(2k)!(2k + 4)! (4k + 3)
.-1
>, ak =
(4k + 3)£ n /2)2 (2k + 1) (2k + 5) (4k + 5)
Я(0 = Н)/) - И^/О + Г\ И„Ц) = (Н„Ц) - Г„Ц))п/2, ^0 = = 1, ^2 = 3
Здесь ^ и Yv — функции Струве и Бесселя второго рода [5, 11], сп = у2у-1/1 - /0. Пусть
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.