ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2008, том 422, № 4, с. 475-478
УДК 515.168.3
МЕХАНИКА
ЯВНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОДНОЙ НЕГОЛОНОМНОЙ ЗАДАЧИ © 2008 г. А. В. Борисов, И. С. Мамаев, В. Г. Марихин
Представлено академиком В.В. Козловым 28.04.2008 г. Поступило 07.05.2008 г.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ
Уравнения, описывающие движение без проскальзывания тела, ограниченного сферической поверхностью, по сферическому основанию, могут быть записаны в виде [1]
M = M х w, n = кn х w, к =
a + b'
(1)
где ю - угловая скорость тела, п - нормаль в точке контакта, а - радиус сферического основания, Ь - радиус сферической оболочки тела (рис. 1). Здесь и далее все векторы и тензоры заданы в (подвижной) системе координат, связанной с главными осями движущегося тела. Момент в точке контакта М связан с угловой скоростью ю линейным соотношением
М = Iю + йп(п х ю), й = шЬ2,
где ш - масса тела, I = ё1а§(/1, 12,13) - центральный тензор инерции. Коэффициент к может принимать любые положительные и отрицательные значения в зависимости от возможных ситуаций (рис. 1).
Отметим, что аналогичная система при добавлении дополнительной связи (ю, п) = 0, исключающей верчение, также является интегрируемой; ее явное интегрирование выполнено в работе [14].
Случай к = 1 соответствует а ^ т.е. качению шара по плоскости (шар Чаплыгина); как известно, эта система является интегрируемой и описана во многих работах [2, 4, 8, 12].
При произвольном к система (1) имеет три интеграла движения
= (п, п) = 1, Н = 1 (М, ю), ^ = (М, М) (2)
Ижевский институт компьютерных исследований Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау Российской Академии наук, Москва
и допускает инвариантную меру рйюйп с плотностью [15]
р2 = (п, п) - й(п, (I + й)-1 п).
Известен еще один замечательный интегрируемый случай системы (1) при к = -1 [1], который соответствует обкату неподвижного шара телом со сферической полостью (рис. 1в). При этом отношение радиусов сферы и шара ^ = 1. Линейный дополнительный интеграл в этом случае имеет вид (аналог интеграла площадей)
F2 = (AM, n),
(a)
(3)
(•) n , i (в)
0 < k < 1
k > 1
k < 0
Рис. 1. Качение тела со сферическим участком по сфере. Штриховкой обозначена неподвижная поверх-
n
n
476 где
БОРИСОВ и др.
А = Г| (-1! + /2 + 1з), 1 (¡1 - /2 + I з),
1
2 ( ¡1 + ¡2- ¡3 )
2 и 1- -I- (и + V) ( 2 й + а 1 ) + а2 - й а 1 х I + й - йп % п)
х (4а3 + 2а1 а2 - а3 - йа1 + (а1 - 2а2 + 4йа1) х
2 -1
х(и + V)-4й(и + V) ) ,
Покажем, каким образом можно явно проин- где а1 - £^; , а2 - £ ^ ;2, аз - Л-^з.
тегрировать систему (1) при к - -1 в квадратурах ™ л
^^ Таким образом, после замены времени полу-
на нулевом уровне интеграла е2 - 0. Эта задача ^ - д,
3 * 2 „ чаем гамильтонову систему на двумерной сфере
аналогична интегрированию уравнении движе- & ^
тт / ¿2, которую можно представить в форме уравнения задачи Чаплыгина (о качении шара по плос- „ ^ »г ^ ^
С ^ нии на специальной (нулевой) орбите коалгебры
кости) при нулевой постоянной интеграла площа- „ 4 ^ ' * *
о гот К г/1 -714 е(3). В нашем случае окончательно получим
деи [8] (см. также [4, 7]), однако существенно ] :
сложнее. СлучаИ Ф 0 мы пока не рассматриваем.
Прежде всего выразим угловую скорость при - 0 из уравнении (1) формулоИ
Н =
5 (М 3
8 (у, В у )2 ^
с«т2,
ю = ВП"Х П-, В = (I + й - йп % п)А.
(П, Вп)'
(4)
^ =
4 (У, В у )2
52т2 -4 £ й
т;
Г"'1 1
Определим сфероконические координаты и, V на сфере п2 - 1:
5 = (у, Му) - й(у, Ау)2,
(7)
2 (/; - и)(/; - 1) -ф.ф7ф. "2 = ШЧ)' 'Ф; Ф к Ф'•
= I; + й.
(5)
С; =
2
Р 5
■4П(^ - Л)У2(р2
к Ф;
2
й5
4(М 3
С помощью выражении (5) представим уравнения й; = П(^ - Л)У¡(5( + й) - (у, I(I + й)А у) + движения (1) в форме системы Чаплыгина [7]
к Ф;
й дТ дТ й дТ дТ
Т-лТ - :Г = иФ, Т--Г- - 5;- = , (6) й д и ди йíдv д V
где Т - 2- (¿МиМ2 + йuv и V + Ь^у2) - интеграл энергии Н (2), выраженньш на уровне - 0 в сфероконических координатах, Ф - (аиМ + а^) - ли-неиная однородная по скоростям функция. Из-за громоздкости мы не приводим здесь явные выра- а орбита фиксируется значением интегралов жения для Т, Ф.
Согласно методу приводящего множителя Чаплыгина, после замены времени И(и, - йт система 4 приводится к лагранжеву виду
+ 2й(у, Му)(у, Ау)),
где А - 2А. Скобки Пуассона определены соотношениями
{т;, т]} = £;^тк, {т,, у,} = е^Ук, (У;, У,-} = 0,
у = 1, (т, у) = 0.
<й_дТ--д1 = 0 = о
йтд и' ди ' йтдv' д V
йи
й V
и = Т", V = йт йт
Приводящии множитель N совпадает с плотностью инвариантнои меры N йи йv йРи йР„ ( где Ри -
- дТ Р - дТ
д М ' v дх>
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
Используем приведенное здесь каноническое представление алгебры е(3) (координаты Дарбу):
т1 = Р1 (х2- 1) + Р2 (у2-1),
т2 = гр1 (х2 + 1) + гр2 (у2 + 1),
= ху - 1 х - у '
х + у х - у'
тз = 2 р1 х + 2 р2 у, у 1 ху - 1
^2 = ; Т-7' у3 =
з
2
ЯВНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
477
Используя (8), запишем пару (H, F) в канонической форме [13]:
TT S1(s1) d2 S2(s2) D2
H = -P1- :-TP2'
s1 - s2
s1 - s2
H = а(x, у)p1 + 2b(X, у)^2 + С(х, у)р2;, F = А(x, у)р1 + 2B(x, у)Р1Р2 + С(x, у)р\.
(9)
,, s2S1( s1) 2 s1S2( s2 ) „2 F = -P1- --" P2'
(11)
s1 — S2
Можно показать [13, 3], что разделяющиеся переменные являются корнями уравнения
(B - bs)2 = (А - as)(C - es).
(10)
В новых координатах функции H и F принимают форму Лиувилля
- ^2
Введем обозначения а = (/2 + Jl-/ з)(- / 2 + Л-Л)(- Л + Л + /-3), в = /1 + /2 + /2 -2 /1/2 - 2 /2 /3 - 2 /3 /1, у = /1 /2 /з, е = /1 + /2 + /3.
При этом выражение для £(х) будет иметь вид
S (х)
_ 2 ( 88 х3 + 8 ( d - е ) x2 + ( 2 е 2 ß - 4 d е ) х - 4у - d ß + JÄ)
Y(2x - е + 2d)2
(12)
где
х=
2 xq e
-, P = уо F ( xq ),
2 у( X2 - 1) - Ьх0
2 1 2 V = —(4ас - Ь ) 16
приводит алгебраическую кривую, соответствующую уравнениям движения, к искомой форме Вейерштрасса
У2 = Р ( Хо ) Р ( Хо ), Р2(х) = ^(4ахй2-2ахйе - Vх2 + хйр2 +
+ 4 x 5ß + v) + H (x ß2 d2 + 8 xdSß + 16 x 52), (13)
P3(x) = П(x - xk),
k = 1
xk =
Jk(2 Jk - е)2П(d - Jk)
l Ф k
В случае й = 0 рациональная функция 5 принимает простую форму
S( x) = 16
А = х2 (р2 + 8а й) + 2 х (4ру + й р2 - 2 йа е + 4 ай2) + + (4 у + йв)2 = ах2 + Ьх + с.
Выражение для 5 содержит радикалы, от которых можно избавиться преобразованием к форме Вейерштрасса. Эта процедура необходима для явного интегрирования системы в эллиптических функциях. Действительно, преобразование
( x - J1 ) ( x - J2 ) ( x - J 3 )
2
J1J 2 J 3 ( 2 x - J1 - J 2 - J 3 )
х (х(ь\ + /2 + /2 - 2 /1 /2 - 2 /2/3 - 2 /3 /1) + + 4 /1 / 2 / 3 )2.
Заметим, что случай й = 0 соответствует классической и хорошо изученной задаче Эйлера-Пуан-со, по интегрированию которой имеется множество работ. Однако наш метод при й = 0 отличается от классических схем интегрирования, хотя имеется связь между двумя подходами, осуществляемая с помощью дробно-линейного преобразования
НЕРЕШЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Укажем некоторые открытые проблемы, родственные рассмотренной задаче:
проинтегрировать явно систему (1) при k = -1 и ненулевой постоянной линейного интеграла F2 (3);
проинтегрировать явно систему (1) при k = ±1 и добавлении потенциального поля Бруна с потенциалом U(g) = (g, Ig);
выполнить топологический и качественный анализ рассматриваемой в этой работе интегрируемой системы;
исследовать возможность вложения в евклидово пространство поверхности, матрица которой определяется кинетической энергией T(u, v, U, V) рассматриваемой системы.
Авторы благодарны Е.В. Ферапонтову и В.В. Соколову за полезные обсуждения.
Исследования А.В. Борисова и И.С. Мамаева поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (проекты 08-01-00651, 07-0109210). Работа И.С. Мамаева выполнена в рамках
3
478
БОРИСОВ и др.
гранта Президента Российской Федерации для поддержки молодых ученых - докторов наук (проект МД-5239.2008.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Борисов A.B., Федоров ЮН. // Вестн. МГУ. Сер. математика, механика. 1995. № 6. С. 793-195.
2. Borisov A.V., MamaevIS. // Reg. and Chaot. Dyn. 2002. V. 7. № 2. P. 177-200.
3. Eisenhart LP. Separable Systems of Stäckel // Ann. Math. 1934. V. 35. № 2. 1934. P. 284-305.
4. Kilin A.A. // Reg. and Chaot. Dyn. 2001. V. 6. № 3. P. 291-306.
5. Чаплыгин C.A. К теории движения неголономных систем. Теорема о приводящем множителе. Собр. соч. М.; Л.: ОГИЗ, 1948. Т. 1. С. 15-25.
6. Борисов A.B., Мамаев И.С. // Мат. заметки. 2001. Т. 70. № 5. С. 793-796.
7. Борисов A.B., Мамаев И.С. // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48. № 1. С. 33-45.
8. Чаплыгин С.А. О катании шара по горизонтальной плоскости. Собр. соч. М.; Л.: ОГИЗ, 1948. Т. 1. С. 76-101.
9. Борисов A.B., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. М.; Ижевск: РХД, 2001. 384 с.
10. Козлов B.B. // Успехи механики. 1985. Т. 8. № 3. С. 85-107.
11. Маркеев А.П. // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. Т. 21. № 1. С. 65.
12. Харламов М П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела. Л.: Изд-во ЛГУ, 1988.
13. Марихин BT., Соколов B.B. // ТМФ. 2006. Т. 149. № 2. С. 147-160.
14. Borisov A.V., Mamaev I.S. // Reg. and Chaot. Dyn. 2007. V. 12. № 2. P. 153-159.
15. Ярощук B.A. // Вестн. МГУ. Сер. математика, механика. 1992. № 6. С. 26-30.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.