ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2010, № 3, с. 14-20
= УПРАВЛЕНИЕ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ
УДК 517.97
ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЭЛЛИПСОИДОВ, АППРОКСИМИРУЮЩИХ ОБЛАСТИ ДОСТИЖИМОСТИ*. II
© 2010 г. А. И. Овсеевич
Москва, ИПМех РАН Поступила в редакцию 03.06.09 г., после доработки 15.09.09 г.
Изучаются глобально оптимальные в смысле объема эллипсоидальные оценки областей достижимости линейных управляемых систем. Имеется два основных результата: указан быстро сходящийся метод итераций для явного определения оптимальных эллипсоидов, для автономной управляемой системы найдена асимптотика параметров оптимальных эллипсоидов при больших временах движения.
Введение. Статья является продолжением работы [1], в которой изучались эволюционные эллипсоидальные оценки для областей достижимости линейных управляемых систем с ограниченным управлением. Основой исследования при этом служили некоторые классы явных решений уравнений движения глобально оптимальных эллипсоидов. Выбор критерия оптимальности играет очень существенную роль в динамике эллипсоидальных оценок. В упомянутой работе основные результаты относились к случаю "линейного" критерия оптимальности — взвешенной сумме квадратов полуосей эллипсоида. В данной статье речь пойдет в основном о более геометрическом критерии объема. Этот критерий был использован Ф.Л. Черноусько в первой же работе 1980 г. об оптимальных эллипсоидальных оценках областей достижимости [2], когда еще не было сформулировано само понятие об эволюционных оценках (областях супердостижимости) и, тем более, о глобально оптимальных оценках. В дальнейшем выяснилось, что работать с линейным критерием оптимальности проще: например, можно сразу написать явную интегральную формулу для параметров оптимального эллипсоида. В то же время для нелинейных критериев такая же задача требует предварительного решения некоторого трансцендентного уравнения для симметрических матриц. Заметим, что в предыдущей работе [1] эта трансцендентная задача была успешно решена для простейшей управляемой системы, описывающей одномерное движение тяжелой точки под действием ограниченной силы. Решение состояло в сведении матричного, в данном случае трехмерного, уравнения к одномерному, которое имеет единственное и легко вычислимое с любой желаемой точностью решение.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 08-01-00156, 08-08-00292).
В данной работе мы возвращаемся на новом витке спирали к эллипсоидальным оценкам, глобально оптимальным в смысле объема. Наши результаты состоят в том, что эти эллипсоиды практически так же просто найти и выяснить их динамику, как и в случае линейного критерия. Более конкретно, имеется два основных результата: во-первых, мы описываем быстро сходящийся метод итераций для решения указанного выше трансцендентного уравнения, во-вторых, для автономной управляемой системы находим асимптотику параметров оптимальных эллипсоидов при больших временах. Эти два результата, на самом деле, тесно связаны, поскольку второй вопрос сводится к изучению зависимости от времени алгоритма, решающего первую задачу.
Вряд ли можно ожидать в общем случае сведения трансцендентного уравнения для оптимальных эллипсоидов к одномерному. Тем не менее предложенный итерационный метод решения многомерной задачи практически не уступает по эффективности традиционным методам решения одномерных уравнений в тех случаях (например, для тяжелой точки), когда возможно сведение к одномерной задаче.
Что касается асимптотической динамики глобально оптимальных в смысле объема эллипсоидальных оценок, то она устроена точно так же, как динамика оцениваемых областей, и в этом смысле не оставляет желать лучшего. Такая же ситуация имеет место для оценок, оптимальных в смысле правильным образом меняющегося со временем линейного критерия [3]. Тем не менее у критерия объема есть определенное преимущество, состоящее в том, что он не зависит от времени и имеет ясный геометрический смысл.
1. Глобальная оптимальность в смысле объема.
Предположим, следуя [1], что линейная управляемая системы имеет вид
x = A(t)x + B(t)u + c(t), x e V = Rn u e E(G) с Rm, x(s) e E(a0, Q0),
(1.1)
Q(T) = J( P(T), J(tf2 dtl
J(t)
V1/2
dt,
¡(P(T), J(t))1 J(t) = р(Ф(Т,t))H(t), H = p(B)G, (L2)
P(T) = ^ (Q(T)).
dQ
Здесь использованы обозначения
p(A)B = ABA*, (A,B = TrAB*
(1.3)
c£ : P ^
J( P J M
Jdt
P J
1/2
(1.5)
т.е. ограничения на управление и на начальный разброс фазового вектора эллипсоидальны. Будем предполагать, что система удовлетворяет следующему условию, которое в автономном случае эквивалентно условию Калмана полной управляемости:
если 0 Ф \ е V* = И", то функция t ^ В*Ф(T,0*2, не обращается в нуль тождественно ни на каком открытом интервале. Здесь Ф (T, г) — фундаментальная матрица для системы х = А (г) х. Геометрически это условие означает, что все области достижимости Б (г) при г > 5 имеют непустую внутренность.
Нас интересуют глобально оптимальные эллипсоиды супердостижимости для системы (1.1). Оптимальность задается критерием Ь = Ь (0 (Т)), который пока задается произвольной гладкой функцией с положительным градиентом от положительно определенной симметрической матрицы. В дальнейшем внимание будет обращено на случай Ь (0) = 1о§ёе1 0, соответствующий минимизации объема.
Рассмотрим для простоты вариант нулевых начальных условий 00 = 0. Тогда для глобально оптимальных эллипсоидов в смысле критерия Ь = Ь (0 (Т)) имеем такие определяющие уравнения [1]
множества положительно определенных симметрических матриц в себя. Существование такой точки следует из общих результатов о существовании оптимального управления. Некоторую проблему, которой мы и займемся, составляет вопрос о единственности неподвижной точки, а также о ее конструктивном построении. Отметим, что для случая ненулевых начальных условий оператор X имеет несколько более сложный вид
( p, Q)1/2 + J< p, j1/2,
dt
LV /
X
V
Q
р Q1/2 + j(P, J
Jdt
V1/2
-1
(1.6)
где 0 = р(Ф(Т, 5))О0.
Т
Заметим, что тот факт, что ¡/(Р, / 2 & — обратимая матрица, вытекает из условия типа Кал-
мана. Более того, для любого вектора ^еИп имеем, используя неравенство Коши—Буняковского и условие типа Калмана, что
(£( P)-1^) =
= J< P J1/2 dt\(J >T
J(J
\2
dt
> Cj^j2
(1.7)
где С — некоторая константа, не зависящая от Р. Нужно применить неравенство Коши-Буняков-ского в форме
для матриц А, В. Заметим, что матрица 0 в эллипсоидальных обозначениях имеет геометрический смысл квадратичной формы на двойственном
пространстве V* фазового пространства V. Первая формула (1.3) в точности выражает естественное действие оператора А (на V) на квадратичную форму В на V*.
Положим Р = Р (Т) и пусть Ь (0) = 1о§ёег 0. Тогда д Ь / д 0 = 0 -1 и уравнения принимают вид
Т Т Т
Р- = ¡<Р, /(О)1 /2dt¡J(t)dt¡-J|ш. (11.4)
5 5 5
Иными словами, речь идет о поиске неподвижной точки отображения
Jf 2d^Jg 2d|i > (Jfgdv) ,
где / = (Р,/172, ^ = (/^)1/2, ф = /^. Из (1.7) следует, что матрицы X (Р) равномерно по Р ограничены.
Легко видеть, что X (X Р) = X (Р), если X — положительное число. Поэтому X задает отображение, которое будем обозначать буквой Л множества S положительно определенных симметрических матриц с точностью до положительного множителя в себя. (Элементами S являются лучи [ХР},Х > 0 в множестве положительно определенных симметрических матриц Р.) Неподвижные точки отображения Л : £ ^ £ находятся во взаимнооднозначном соответствии с неподвижными точками X , поскольку если луч \ХР :Х> 0} ин-
\
вариантен относительно 2 , то на нем найдется единственная неподвижная точка Р.
2. Проективная метрика Банаха—Мазура. Для
изучения отображения 2 очень полезна следующая метрика на множестве Б, которую будем называть проективной метрикой Банаха—Мазура. Рассмотрим две произвольные положительно определенные симметрические матрицы Р, Р2 и положим
(2.1)
d(Pъ р) = 1её(/(Р,, Р2ЖР2, Р,)); г(Р, Р,) = 1пг [г > 0 : Р > Р} где неравенство А > 5 между матрицами означает, что А - В — неотрицательно определенная матрица. Легко видеть, что d(Pъ Р2) зависит лишь от лучей Р = {ХР}, I = 1 , 2, и задает полную метрику на множестве Б. Проверка того, что функция d(P1, Р2) действительно задает метрику несложна: симметрия d(P, Р2) = d(P2, Р) очевидна, неотрицательность d(P,Р2) > 0 следует из того, что если гР, > Р2 и тР2 > Р,, то гт > 1. Продолжение этого же рассуждения показывает, что если d(P1, Р2) = 0, то Р2 = = t(P1, Р2)Р1, так что матрицы Р, Р2 определяют один и тот же луч. Неравенство треугольника следует из мультипликативного неравенства Р2)^Р2, Р3) > t(P1, Р3). Последнее же очевидно, поскольку означает, что если гР, > Р2 и тР2 > Р3, то гтР, > Р3.
Полнота метрики Банаха—Мазура вытекает из того, что любой шар Вд(0 = {Р : d(Q,Р) < Я} компактен. В самом деле, условие d(Q, Р) < Я для матриц Р, Q влечет, что Q > г( Q, Р)-1Р > е ~RQ. Иными словами, на луче {ХР :Х> 0} имеется представитель (матрица) Р = г (Q, Р)-1Р, лежащий в компакте {Р : Q > Р > е Я0}. Следовательно, шар ВR(Q) в
пространстве лучей Б является непрерывным образом компакта в пространстве положительно определенных симметрических матриц.
Очевидно, что если Р, < тР2, то
Jdг
,/2
< т
,/2
Jdг
,/2
Но отсюда немедленно следует, что d(Л(р),Л(Р2)) < ,d(р,Р2)
(2.2)
и можно применить принцип сжимающих отображений, который показывает, что отображение Л имеет единственную неподвижную точку, которая к тому же является глобально притягивающей. В частности, ее можно найти как предел простейшего итерационного процесса Рп+, = Л(Р„) с про-
извольной начальной точкой Р0. Указанный процесс, в сущности, совпадает с методом прогонки для исходной краевой задачи.
В итоге получаем, что глобально оптимальный в смысле объема эллипсоид единствен. Этот результат служит "супердостижимым" аналогом теоремы Ф. Джона [4] о единственности описанного вокруг данного выпуклого тела эллипсоида минимального объема. Точно таким же образом приходим кследующему результату и для ненулевых начальных условий Q0.
Те о р е м а 1. Глобально оптимальный в смысле объема эллипсоид супердостижимости для с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.