ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 460, № 3, с. 260-265
= МАТЕМАТИКА
УДК 517.956.6
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАВРЕНТЬЕВА-БИЦАДЗЕ С ДВУМЯ ЛИНИЯМИ ИЗМЕНЕНИЯ ТИПА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ © 2015 г. А. А. Гималтдинова
Представлено академиком РАН Е.И. Моисеевым 04.06.2014 г. Поступило 15.07.2014 г.
БО1: 10.7868/80869565215030056
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Известно [1, с. 303], что задача перехода через звуковой барьер установившихся двумерных безвихревых течений идеального газа в соплах, когда сверхзвуковые волны примыкают к стенкам сопла вблизи минимального сечения, сводится к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа. В [2] показана некорректность задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева. Многие авторы, например [3—7], занимались поиском областей, в которых задача Дирихле для уравнений смешанного типа является корректной. В этих работах единственность решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа с одной линией вырождения или изменения типа доказана с помощью принципа экстремума или методом интегральных тождеств, а существование — методом интегральных уравнений или разделения переменных. В работах [8, 9] исследована задача Дирихле для уравнения смешанного типа с одной внутренней линией степенного вырождения и вырождением на границе в прямоугольной области и методами спектрального анализа установлен критерий единственности, и решение построено в виде суммы ряда по системе собственных функций.
Рассмотрим уравнение
Ьи = ( Б§пх) ыхх + (8§п у )и = 0
(1)
в области Б = {(х, у)\ \х\ < 1, —а < у < р}, а, р е Пусть Б1 = Б п {х > 0, у > 0}, Б2 = Б п {х > 0, у < 0}, Б3 = Б п {х < 0, у < 0}, Б4 = Б п {х < 0, у > 0}.
Поволжская государственная социально-гуманитарная академия, Самара Стерлитамакский филиал Башкирского государстенного университета
Задача Дирихле. Найти функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям
и(х, у) е С(Б) п с\В) п С2 (Б1 и Б2 и Б3 и Б4), (2)
Ьи(х, у) = 0,
(х, у) е Б1 и Б2 и Б3 и Б4,
(3)
и(х, у)\х = 1 = и(х, у)\х = _1 = 0, у е [-а, р], (4)
и (Л у) |у = р = Ф(х), и (Л у )| > х е [-1, 1 ],
= У(х),
(5)
где ф и у — заданные достаточно гладкие функции, причем ф(±1) = у(±1) = 0.
В данной работе впервые для уравнения (1) с двумя внутренними линиями изменения типа изучена задача Дирихле в прямоугольной области Б. Установлен критерий единственности и решение задачи (2)—(5) построено в виде суммы ряда по биортогональной системе двух взаимно-сопряженных спектральных задач на сопряжение для обыкновенного дифференциального оператора второго порядка с разрывным коэффициентом при старшей производной. Единственность решения поставленной задачи доказана на основании полноты биортогональной системы в пространстве Ь2 [—1, 1]. Ранее такая идея использовалась в работе [10] при доказательстве единственности решения начально-граничной задачи для гиперболических уравнений и в [8] для уравнений смешанного типа с одной линией изменения типа. При доказательстве существования решения задачи (2)—(5) аналогично [8, 11, 12] возникла так называемая "проблема малых знаменателей", которая создает трудности при обосновании сходимости построенного ряда в классе функций (2). При определенных ограничениях на параметры а, р доказаны леммы об отделимости малых знаменателей от нуля.
(8)
2. ПОСТРОЕНИЕ БИОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
После разделения переменных u(x, y) = X(x)Y(y) в уравнении (1) получим
sgn x • X" + dX = 0, x e(-1, 0 )u( 0, 1), (6)
sgny • Y" - dY = 0, y e (-a, 0) u (0, p), (7)
X(0 + 0) = X(0 - 0), X'(0 + 0) = X'(0 - 0),
X( -1) = X( 1) = 0,
Y(0 + 0) = Y(0 - 0), Y' (0 + 0) = Y' (0 - 0), (9)
где d = ц2 e С. Спектральная задача (6), (8) не является классической из-за незнакоопределенности коэффициента при старшей производной.
Решениями уравнения (6), удовлетворяющими условиям (8), являются функции
íCieosцх + C2sinцх, x> 0, X(x) = i 1 2
lC1 chцx + C2shцx, x < 0,
где C1, C2 — произвольные постоянные, ц является решением уравнения
tg ц = - th ц. (10)
Лемма 1. Уравнение tg(az) = — th(bz), a, b e IR, a, b > 0, имеет счетное множество корней, состоящее из нуля, простых попарно противоположных действительных и попарно противоположных чисто мнимых корней, для которых справедливо асимптотическое представление
г(1),(2) = ± _ п + П k + O(e-l,kb,a
V 4a a
г(3),(4) = ±У_ я + пк + O(
к V 4b b V
)),
)),
к
В силу леммы 1 уравнение (10) имеет счетное множество корней цk и щк, причем для положительных значений имеем = — п + як + O(e-2nk). Тогда постоянная d может принимать значения dk =
= \i\ > 0 и dk = — \i\ < 0, и решениями задачи (6), (8) будут соответственно функции
sin [^(х - 1)]
41} (х) = 1
eos цк sh [цк (x + 1)]
Xk> (x) =
ch цк
sh[ц к (x — 1)] ch цк
sin [ ц k(x + 1) ] cos цк
x > 0, x < 0,
x > 0, x < 0.
При найденных цк решениями уравнения (7) с учетом условий (9) будут соответственно функции
Л. тЛ I 1.(1),
vdV ч í ai ch (цкУ) + bi sh (цкУ), У > 0, .... Yk (У) = i (1) (1) (11)
Ial 'eos(цкУ) + b\ 'sin(цкУ), y > 0,
W2), , íak2>eos(цкУ) + ^k sin(цкУ), У > 0,
Yi (У) = i (2) (2) (12)
lay ch(цкУ) + bk sh(цкУ), У < 0,
(1) u( 1) (2) 1.(2) Л,
где ak , bk , ak , bk — неизвестные пока коэффициенты.
Система {Xkr) (x), (x)} не является ортогональной в L2[—1, 1]. Поэтому рассмотрим задачу, сопряженную к задаче (6), (8), т.е. задачу
sgn x • Z" + dZ = 0, x e (-1, 0 )u( 0, 1), (13)
Z( 0 - 0) = -Z( 0 + 0), Z' (0 - 0) = -Z (0 + 0)
Z( -1) = Z( 1) = 0.
Решениями задачи (13), (14) являются функции
(x) =
Z? (x) =
_sin [ цк(x - 1)]
eos цк sh[^ (x + 1) ] ch цк
_ sh [цк (x - 1) ]
ch цк
sin [ ц k(x + 1 ) ] eos цк
x > 0,
x < 0,
x > 0,
x < 0.
Система {2^к); 2^к)} является биортогонально сопряженной к системе {X1 ; X2}.
Лемма 2. Системы {, Хк]}, {2(к), 2(к)} полны в пространстве Х2[—1, 1].
Доказательство проводится аналогично [13] с использованием идей работы [14].
3. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Пусть и(х, у) — решение задачи (2)—(5). Рассмотрим функции
"к1)(У) = J u (x, У )Zk\ x) dx,
-1
u(k2) (У) = J u (x, у ) Zk} (x) dx, к
= 1, 2, 3, ...
Можно доказать, что и'1 (у) является решением уравнения (7), т.е. и'1 (у) = ^ (у), поэтому икГ) (у) определяются по формуле (11). Аналогично функции (у) определяются по формуле (12). Из равенств (15) с учетом граничных условий (5) будем иметь
1
ик1] (в) = | ф(х) ¿-1 (х) йх = фк1',
-1 1
и(к] (-а) = |у(х) (х) йх = ук
(1)
-1 i
(16)
uf (в) = |ф(х )42) (X) dx — фк2),
-1
(2)
uf)(-а) = JV(x) 42)(x) dx = vk
Далее, удовлетворяя функции (11) и (12) граничным условиям (16), получим системы для нахождения неизвестных коэффициентов aj , bj ,j = 1, 2:
a™ ch (Wk в) + b™ sh M) = Ф^,
(i) r \ t(i) ■ r \ (i)
ak cos(Wka) - bk sin(Wka) = Vk , (17)
a{k] cos (Цкв) + b(k] sin (Цкв) = фк2),
ak2ch(^ka) - bf sh(Wka) = vk2)• Если при всех к е N определители систем (17)
Ak1'(a, в) = cos(Wka) • sh(Wk^ + + sin(wka) • ch(wkв)* 0,
Ak2>(a в) = ch(Wka) • sin(Wkв) + + sh(wka) • cos(wkв) * 0, то они имеют единственное решение
(i) _ фk1)sin(Wka) + Vt*sh(Wkв)
ak — -m-,
Ak (a, в)
~(2) _ фk2)sh(Wka) + vk2>sin^в) ak — -,
Ak2)(a, в)
b( i) — фк} cos ( Wk a) - Vt } ch ( Wk в ) k Ak1 ¡ (a, в ) ,
,(2) _ фk2)ch(Wka) - vk2>cos(Wkв)
bk — -m-•
Ak (a, в)
(18)
(19)
Тогда с учетом найденных значений a функции uk (y) примут вид
(i) U(J)
k
k
Ak1'(a, в) У > 0, i
Ak1' ( a, в) У < 0,
uk1' (У) —
fokX* (a, У) + vk1' sh (Wk (в - У))],
(20)
[Ф^sin(Wk(a + У)) + vk1'Ak1'(-У, в)],
42)(У) —
i ^X^a, У) + vk2) sin (й^в - У))],
(21)
[фk2)sh(Wk(a + У)) + vk2)Ak2)(-У, в)],
Ak2)(a, в) У > 0, i
Ak2) ( a, в) У < 0,
где Ak1' (a, y) = cos(Wka) • sh( йкУ) + sin(Wka) • ch( Wky), A(k](-У, в) — cos(wkУ) • sh(Wkв)-
- sin(WkУ) • ch(Wkв),
Ak2)(a, У) — ch(Wka) • sin(WkУ) +
+ sh (Wka) • cos ^У),
Дк2)(-У, в) = ch(цky) • sin(^kp) -
- sh(ЦкУ) • cos(Цкp).
Пусть ф(х) = y(x) = 0 на [—1, 1] и выполнены условия (18) и (19) при всех к е N, тогда из (16),
i
(20) и (21) получим Ju (x, y)ZJk] (x)dx = 0, j = 1, 2,
-i
к = 1, 2, 3, .... Отсюда в силу полноты системы {Zkr) (x); Zk} (x)} в L2[—1, 1] следует, что функция u(x, y) = 0 почти всюду при x е [—1, 1] при любом y е [—a, р]. А в силу (2) будет u(x, y) = 0 в D.
Пусть при некоторых a, р и к = p е N имеем А^1' (a, р) = 0 или Д^2) (a, р) = 0 (такие значения существуют, например, если a = р = 1, то А^ (1, 1) = = Дк2) (1, 1) = 0 для всех к е N.) Пусть, например,
А^1' (a, р) = 0, ДР2) (a, р) Ф 0. Тогда однородная задача (2)—(5) (где ф^) = y(x) = 0) имеет нетривиальное решение
иДх, у) =
ЯД [ Цр (х - 1) ] ( а, у) соя цр соя (цр а)
[ ц (х - 1) ] яш ( ц(а - у)) соя цр соя (цр а)
яИ[цр (х + 1)] яш ( Цр ( а - у))
еИ цр соя (цра)
(х, у) е Бь
, (х, у) , (х, у )е Б
Б
яИ [Цр (х + 1)] Ар1 } ( а, у) еИ цр соя (цр а)
(х, у) е Б,
4-
Возникает вопрос об обращении определителей Ак> (а, р) в нуль. Представляя их в виде
А^ (а, р) = ^еИ (2Цкв) ят(цка + £*),
А(к2> (а, р) = л/еИ(2Цка) яш(цкр + Хк),
где £,к = аге1§(1И цк р), хк = аге1§(1И цк а), найдем счетные множества их положительных нулей:
а
1
1
к, т
= -(Ят - Z|k), Рк,! = -(П * - Хк),
да 4р — 3, р е
J, или а = р е Я
-I,р, д е N (р, д) = 1,
стоянная М2 > 0 и номер к2 е N такие, что для всех к > к2 справедлива оценка
|Ак2) (а,Р)|> М2 е*Ы. (24)
Приведенные в леммах 3 и 4 условия являются существенными, что доказывают следующие утверждения.
Лемма 5. Если а = 4р — 3, р е N р > 2, то существуют постоянная М3 > 0 и номер к3 е N такие, что для всех к > к3 справедливы оценки
А2) (а,Р)|< М2 е-пкв при 0 <р< 1, |Ак2)(а, р)| < М3екк(в-2) при р> 1.
(25)
Цк Цк (22)
т, к е N.
Можно убедиться, что система (22) совместна. Теорем а 1. Если существует решение задачи (2)—(5), то оно единственно, только если для всех
к е N выполняются условия А^> (а, р) Ф 0,] = 1, 2.
4. ОБОСНОВАНИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ
Из формул (20) и (21) видно, что выражения Ак> (а, р) являются знаменателями дробей и при значениях (22) могут обратиться в нуль, т.е. возникает проблема "малых знаменателей". Поэтому для обоснования существования решения задачи (2)—(5) необходимо показать существование чисел а и р таких, что при больших к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.