МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 4 • 2008
УДК 539.3
© 2008 г. В.В. ВАСИЛЬЕВ, Л.В. ФЕДОРОВ
ЗАДАЧА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В ПЛАСТИНЕ С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТВИЕМ
На основе уравнений геометрической теории упругости [1], позволяющих связать напряженное состояние среды с геометрией порождаемого напряжениями риманова пространства, рассматривается плоская задача о концентрации напряжений в окрестности кругового отверстия в тонкой неограниченной пластине, нагруженной нормальными и касательными напряжениями. Метрический коэффициент риманова пространства, соответствующий координате, нормальной к плоскости пластины, истолковывается как переменная толщина пластины, находящейся в трехмерном евклидовом пространстве, определяющая оптимальный закон распределения материала пластины. Рассматриваются пластины, находящиеся в условиях одноосного растяжения, двухосного растяжения и сдвига. Для пластины с полученными законами изменения толщины строятся прямые численные решения соответствующих задач классической теории упругости и определяются коэффициенты концентрации напряжений.
1. Осесимметричная задача. Рассмотрим пластину с круговым отверстием радиуса R1 (фиг. 1), нагруженную вдали от отверстия при r = R2 постоянным напряжением о. Система уравнений классической теории упругости в напряжениях, отнесенная к полярным координатам r, 0, для пластины с толщиной, зависящей только от радиуса r, имеет вид
оГ + (ог - о0) / r + огНЧН = 0 (1.1)
er = (Or - VO0) / E, £0 = (О0 - vor) / E (1.2)
er = (re0)' (1.3) где ( )' = d( )/dr. Граничные условия можно записать следующим образом
oJ „ = 0, oJ = о (1.4)
r|r = R1 r|r = R2 v 7
Рассмотрим пластину постоянной толщины h = h0. Вводя функцию напряжений ф = ф(г) так, что
Or = ф/r, O0 = ф' (1.5)
можно тождественно удовлетворить уравнению равновесия (1.1) и привести уравнение совместности деформаций (1.3) к следующему виду
2
r ф'' + rф' - ф = 0 (1.6)
Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям (1.4), позволяет записать следующие выражения для напряжений:
2
о R2
22 R2 - R1
R2
r
2
O0 =
о R2
22 R2 - R1
r
(1.7)
°r =
k, h
\h
> 4
k
12 3 4
Р
Фиг. 2
Для оценки эффекта концентрации напряжений введем коэффициент
к = 0^/00 (1.8)
О = л/°г — °г °е + °е (1.9)
т О
где Gi - интенсивность напряжений, oi - максимальное значение ai и oi - значение oi на достаточно большом расстоянии от отверстия, т.е. при г = Я2, причем Я2 > Для пластины с отношением = 10 распределение коэффициента концентрации (1.8) по относительному радиусу р = г/Я1 показано на фиг. 2. Максимальное значение к = 2 реализуется на контуре отверстия р = 1.
Рассмотрим аналогичную задачу геометрической теории упругости, согласно которой пространство, занимаемое пластиной, представляется как риманово пространство, порождаемое напряжениями. Для осесимметричной задачи метрическая форма имеет вид [2]:
2 2 2 2 2 2 йз = йг + г йе2 + Н (г)(1.10)
где Н(г) - коэффициент Ламе, соответствующий координате г нормальной к плоскости пластины (фиг. 1). Уравнение закона сохранения тензора энергии-импульса общей теории относительности (ОТО), компоненты которого являются для рассматриваемой задачи напряжениями, можно записать следующим образом [2]:
о; + (ог - ое)/г + огН ЧН = 0 (1.11)
Это уравнение тождественно удовлетворяется преобразованием Эйнштейна
ХО; = Н'/(гН), хое = Н"/Н (1.12)
Здесь х - коэффициент, выражающийся в ОТО через гравитационную постоянную, а в геометрической теории упругости связывающий тензор напряжений с тензором кривизны риманова пространства, порождаемого напряжениями.
Сравнивая уравнение (1.11) с уравнением равновесия (1.1) для пластины переменной толщины Н(г), можно заключить, что
Н'/Н = Н'/Н (1.13)
т.е. коэффициент Ламе риманова пространства с метрической формой (1.10), по существу, является толщиной пластины, содержащейся в трехмерном евклидовом пространстве. Коэффициент Н(г) определяется в геометрической теории упругости из условия инвариантности преобразования Эйнштейна по отношению к деформации пространства [1], т.е. предполагается, что это преобразование тождественно удовлетворяет уравнениям закона сохранения тензора энергии-импульса как для исходного, так и для деформированного пространства. Для задачи, описываемой уравнениями (1.11) и (1.12), получим [2]:
£; = (гее)' (1.14)
Это уравнение совпадает с уравнением совместности деформаций (1.3), что представляется естественным, так как в плоскости пластины (йг = 0) метрическая форма (1.10) соответствует евклидову пространству. Как известно [3], в классической теории упругости уравнения совместности деформаций обеспечивают сохранение евклидовых свойств пространства при его деформировании. Применительно к геометрической теории подстановка деформаций с помощью равенств (1.2) и последующая подстановка напряжений согласно соотношениям (1.12) приводит уравнение (1.14) к следующей форме [2]:
2 2 2
г НН' '' + гНН' ' - г Н'Н' ' - НН' + Vг(Н')2 = 0 (1.15)
Для упрощения этого уравнения предположим, что риманово пространство, характеризуемое коэффициентом Ламе Н(г), мало отличается от евклидова пространства, для которого Н = 1. Примем, что
Н (г) = 1+ /(г) (1.16)
где амплитуда функции /(г) много меньше единицы. Осуществляя линеаризацию уравнения (1.15) по /(г), получим
2
г /"■ + г/"- /' = 0 (1.17)
Выражения (1.12) и (1.13) для напряжений и толщины пластины принимают следующий вид:
ХОг = Г/г, хое = /" (1.18)
Н- /' Н = 0 (1.19)
Заметим, что формально уравнения (1.17) и (1.18) не отличаются от соответствующих уравнений (1.6) и (1.5) классической теории упругости, если принять / = ф. Однако в физическом отношении уравнения геометрической теории являются более содержательными, так как включают не формальную функцию напряжений, не имеющую физического смысла, а метрический коэффициент, определяющий, согласно уравнению (1.19), толщину пластины.
В геометрической теории предполагается, что в результате соответствующего решения определяется геометрия риманова пространства, порождаемая напряжениями, которая показывает рациональное распределение материала в неоднородном евклидовом пространстве [4].
Построим решение линеаризованной задачи геометрической теории упругости и найдем закон изменения толщины пластины Н(г), устраняющий концентрацию напряжений в окрестности отверстия. Рассмотрим бесконечную пластину с постоянной толщиной Н0, равномерно растягиваемую напряжением о, имеющую круговое отверстие радиуса Я1 и усиленную в окрестности отверстия кольцом переменной толщины Н(г) с наружным радиусом Я2 (фиг. 1). Будем считать, что для кольца
щг = я1 = Н\г = Й2 = Но (1.20)
где Н0 - заданная толщина пластины, а НЯ и Я2 - величины, подлежащие определению. Решая уравнение (1.17) относительно/, записывая далее напряжение ог с помощью первого равенства (1.18) и определяя постоянные интегрирования из граничных условий (1.4), получим
/'(г) = а(г - Я2г) (1.21)
а = -Х0Я2- (1.22)
Я2 - Я1
Интегрируя равенство (1.21), найдем
/(г) = а(г2/2-я21п г) + С (1.23)
Вернемся к соотношению (1.16), определяющему коэффициент Ламе Н(г). При г > Я2 (фиг. 1) пластина переменной толщины вырождается согласно второму граничному условию (1.20) в пластину с постоянной толщиной Н0, для которой Н = 1 и / = 0. Таким образом, постоянная С в соотношении (1.23) определяется из условия / = 0 при г = Я2. В результате получим
f(r) = а
rv2 2 л
R2 -r 2 r -2-— + R2ln —
2 1 R2
2
(1.24)
Рассмотрим уравнение (1.19), определяющее толщину пластины в окрестности отверстия (Я1 < г < Я2). Интегрируя это уравнение с учетом второго граничного условия (1.20) и равенства (1.24), получим
R2\a R1
h (r) = h01 — I exP
-a (R22- r2 )
(1.25)
Параметр а, определяемый равенством (1.22), можно выразить через толщину пластины на контуре отверстия. Полагая, что Н = НЯ при г = Я:, найдем
а 1п ( НЯ/Н0 )
а = -5-2-2— (1.26)
Я21п (Я2/Я1) - (Я22- Я 2) /2
Фиг. 3
Таким образом, толщина пластины в окрестности отверстия определяется равенствами (1.25) и (1.26), которые включают два неизвестных параметра: толщину пластины на контуре отверстия Не и наружный радиус участка переменной толщины Е2. Эти параметры можно выбрать так, чтобы минимизировать концентрацию напряжений в окрестности отверстия. Рассмотрим кривую к на фиг. 2, показывающую изменение коэффициента концентрации напряжений к (1.8) по радиусу пластины постоянной толщины. Как следует из графика, коэффициент к оказывается близким к единице уже при р = г/Я1 = 3 (точное значение к = 1.02). Таким образом можно принять Я2 = 3^1. Для определения Не строится численное решение уравнений (1.1), (1.2) и (1.3) при граничных условиях (1.4) для круглой пластины, толщина которой изменяется по радиусу в соответствии с выражением (1.25) и определяется зависимость к(НК). В результате расчета установлено, что коэффициент концентрации напряжений снижается при увеличении относительной толщины Не = Не/Н0 и оказывается близким к единице (точное значение
к = 1.007) при Не = 2.75. Соответствующая зависимость Н = Н/Н0 от относительного радиуса р показана на фиг. 2. Как следует из графика, изменение толщины пластины в окрестности отверстия близко к линейному.
2. Одноосное растяжение пластины. Рассмотрим пластину с круговым отверстием радиуса Ях (фиг. 3), находящуюся в условиях плоского напряженного состояния. Уравнения равновесия классической теории упругости для пластины переменной толщины Н(г, 0), отнесенной к полярной системе координат г, 0 (фиг. 3), имеют вид
г Э0
Н дг гН Э0
ЭОг 1 дтг0 ^
г- О0 ОгдН тг0дН
дтг0
д г
0
1 дО0 2Тг0 Тг0дН ОздЙ
+ "г Э0 +
,+ = 0
Н дг гНд0
(2.1)
(2.2)
Напряжения связаны с деформациями законом Гука
2 (1 + V)
(Ог - VO0) / Е,
(О0 - VОr)/Е, Уг0
г0
(2.3)
а деформации удовлетворяют следующему уравнению совместности
д2 £ г -2д2 ( гУг0) + г2 д02 дгд0 дг
д£е д г
-г
д £г г
(2.4)
У
х
г
Для пластины постоянной толщины Н0 уравнения (2.1) и (2.2) тождественно удовлетворяются введением функции напряжений ф(г, 0) так, что
1
°r = 1
2
r Эф + Э_Ф
dr эе2
= ddJp т = 1 fd^rэ2ф Л
Э r
2
v
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.