ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 464, № 1, с. 7-11
= МАТЕМАТИКА
УДК 517.958
ЗАДАЧА ИНТЕГРАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ
ПРИ НЕПОЛНЫХ ДАННЫХ
© 2015 г. Д. С. Аниконов, Д. С. Коновалова
Представлено академиком РАН Ю.Л. Ершовым 04.07.2014 г. Поступило 06.11.2014 г.
В работе рассматривается задача интегральной геометрии о неизвестной границе. Известными данными считаются интегралы от неизвестных функций по неизвестному семейству кривых в евклидовом пространстве любой размерности. Отмечается, что при традиционном подходе рассмотренная задача интегральной геометрии была бы недоопределенной. Искомым объектом объявляются поверхности разрывов подынтегральных функций. Доказана теорема единственности решения поставленной задачи.
Б01: 10.7868/80869565215250040
Обычно в задаче интегральной геометрии требуется найти функцию по заданному достаточно большому семейству ее интегралов. Известным примером такой задачи является проблема определения функции по ее интегралам, взятым вдоль любых прямых в пространстве, т.е. по ее лучевым преобразованиям. В качестве другого примера можно указать задачу обращения преобразования Радона, когда известны интегралы от функции по всем гиперплоскостям, а объектом поиска является подынтегральная функция. Заметим, что формулы обратного преобразования Радона являются математической основой рентгеновской томографии. Не претендуя на общий обзор темы, отметим, что подобные задачи исследовались, например, такими авторами как Д. Радон [1], Р. Курант [2], Ф. Йон [3], И.М. Гельфанд [4]. Также значительный вклад внесен трудами математической школы М.М. Лаврентьева и В.Г. Романова в связи с исследованиями обратных задач для уравнений математической физики [5, 6].
При исследовании обратных задач для уравнения переноса мы столкнулись с подобным вопросом, но при других обстоятельствах [7, 8]. В результате появилась не совсем обычная постановка задачи интегральной геометрии. Именно, у нас подынтегральная функция зависит не только от точек интегрирования, но и от дополнительных
Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской Академии наук, Новосибирск
Новосибирский государственный университет E-mail: anik@math.nsc.ru
параметров, описывающих множества, по которым производится интегрирование. Следовательно, неизвестные функции зависят от большего числа переменных, чем известные данные. Ясно, что в таких условиях традиционная задача интегральной геометрии, т.е. проблема определения подынтегральной функции, является недоопределенной. Поэтому нам пришлось ограничиться поиском только поверхностей разрывов подынтегральных функций, что является важной частью информации о неизвестной функции. Еще одной причиной рассмотрения подобных задач является тот факт, что за последние годы прогресс в исследовании традиционных задач интегральной геометрии заметно снизился.
Настоящая работа является итогом исследования авторами подобных и смежных проблем [9—12].
Мы используем следующие обозначения: [ — n-мерное арифметическое пространство; для произвольного множества T в [ д T — граница этого множества; p(x,T) — расстояние от точки x е [m до множества T; Tx = T \{x} — множество всех точек T, кроме точки x; Q = {ю : ие |ю| = 1} — единичная сфера в [; const — некоторое положительное число; O(1) — ограниченная функция;
С k (T) — пространство функций, непрерывных и ограниченных на T вместе со всеми своими частными производными до k порядка включительно;
G — ограниченное открытое множество в [, n > 1.
Рассмотрим систему открытых непересекающихся множеств Gi, i = 1,2,..., p, в [, такую, что Gt с G и для их объединения G0 верно равенство
G0 = G. Предположения относительно границ дО{ множеств Gj, i = 1,2,..., p, совпадают с аналогичными предположениями в [12]. Именно, каждая из них считается кусочно-гладкой (n - 1)-мерной
поверхностью класса С2. В целом поверхность 8Gj является липшицевой, т.е. окрестность каждой ее точки можно представить в виде графика функции, удовлетворяющей условию Липшица. Как и в [12], будем называть точку z е dG0 контактной, если она принадлежит границе только двух множеств из семейства Gl, i = 1,2,..., p, и в некоторой окрестности точки z поверхность dG0 является гладкой класса С2. Предполагается, что множество контактных точек плотно в д G0\д G.
Рассмотрим множество ограниченных функций g(x, у,ю), определенных при (x, y, ю) е G х G х Q. и
принадлежащих пространствам C1(G х Gi х Q), i = 1,2,..., p. С учетом того обстоятельства, что допускается случай невыпуклых множеств G, дополнительно предположим выполнение условия Липшица в следующей форме:
|g(x, y, ю) — g(x, u, ю)| < const \y - u\, y, u e Gi.
Ясно, что такие функции имеют конечные предельные значения в точках y = z, z е dGt, которые будем обозначать [g(x, z,ro)]i, т.е. g(x, у,ю) ^ ^ [g(x, z, ro)]i, у е Gt, z е 8Gh у ^ z.
Пусть точка z е dG0 является граничной для двух и только двух множеств Gj, Gt, 1 < j, l < p. Величиной разрыва (скачка) функции g(x, у, ю) в точке (x, z, ю) назовем разность: [g(x, z,ro)]^ = = [g(x, z, ю)] j - [g(x, z, ю)]. Для удобства будем считать функцию g(x, у, ю) продолженной по у нулем вне G. Множество таких функций назовем классом К.
В множестве G рассмотрим семейство кривых L(x, ю), исходящих из точки x, x е G, и имеющих в этой точке касательный вектор ю. Это семейство записывается в виде L(x,ю) = {у: у = 9(x,ю,t)}, где t означает длину дуги кривой от точки x до точки y,
t е (0, l(x,®)), 9(x,®, 0) = x, l(x,®) e C:(G x Q). Мы будем использовать следующую форму задания кривых L( x, ю):
у = (x,ro, t),
Фi(x, ю, t) = xj +1юi +1 ai(x, ю, t), (1)
i = 1,2,..., n,
где ai(x, ю, t) e C2(T), a(x, ю, t) = (a1(x, ю, t), ... ..., an(x,ю,t)). Здесь и далее T — множество точек (x,®,t) таких, что x е G, ией, t е (0,l(x,®)).
Заметим, что форма (1) может быть получена, если предположить, что вектор-функция 9(x, ю, t) =
= (ф 1(х,ю, г), ... ,ф„(х,ю, г)) имеет непрерывные и ограниченные частные производные по всем переменным до второго порядка включительно, а по переменной t до четвертого порядка включительно.
Подчеркнем, что принятая нами форма обозначения означает единственность кривой из нашего семейства, исходящей из точки х и имеющей в этой точке касательный вектор ю.
Потребуем, чтобы при каждом фиксированном х е О равенства (1) осуществляли взаимнооднозначное отображение множества точек (ю, г), иеЙ, г е (0,1(х,ю)), на множество Ох, Ох = О\{х}. Считаем, что якобиан этого отображения обращается в нуль только при г = 0 и отделен от нуля вне любой окрестности точки х.
Предположим, что систему множеств {О-}, I = 1,2,..., р, можно выбрать обобщенно выпуклой относительно кривых Дх,ю), т.е. для любых (х, ю) е О0 х О кривая Ь(х, ю) пересекает границу дО0 множества О0 не более чем в счетном числе точек.
Пусть А1, ..., Лн — ортогональные преобразования пространства К".
Запишем равенство
N
I J
(2)
^ (х, у, А-юМу а = Н(х,ю),
'= Цх, А,ш)
(х,ю) е О0 хЦ g¡(х,у,ю) еК, где в левой части находятся криволинейные интегралы первого рода. Для удобства оформления доопределим функцию Н(х, ю) в точках (г, ю) е дО0 х О ее верхним пределом. Отметим, что функция Н(х, ю) оказывается непрерывной в О0 х О и ограниченной в О х О.
Настоящая работа посвящена исследованию следующей нетрадиционной задачи интегральной геометрии.
Задача о неизвестной границе. Из уравнения (2) найти множество дО0, если известна только функция Н (х, ю), (х,ю) е О хА.
Подчеркнем, что в этой задаче требуется найти множество точек возможных разрывов по переменной у функций g¡(х, у, ю), - = 1,2,..., N. Причем неизвестными, не подлежащими определению, являются не только подынтегральные функции, но и кривые Ь(х, ю), а также операторы А. Такая постановка вопроса полезна, например, для задач зондирования, где искомая поверхность может иметь смысл контактных границ между различными компонентами комплексной среды и где такие границы являются существенными характеристиками внутренней структуры изучаемого объекта. Отметим, что неизвестными являются не одна, а несколько функций и интегрирование
ЗАДАЧА ИНТЕГРАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
9
происходит вдоль нескольких семейств кривых. Однако в этом аспекте мы не являемся первыми. Например, в [13] тоже исследуется задача интегральной геометрии для нескольких функций, а в [14] рассматривается аналогичная постановка вопроса для решения конкретной прикладной проблемы.
Несколько необычным выглядит также интегрирование в (2) по линиям L(x, Дю), исходящим из внутренней точки х. Более традиционным было бы интегрирование единственной подынтегральной функции по линиям, проходящим через произвольную точку х е О. Однако наша форма задачи включает в себя и этот частный случай. Достаточно в качестве ортогональных преобразований взять пару Д = Е, Д = -Е, где Е - тождественный оператор. Тогда суммируя интегралы по Х(х,ю) и Дх,-ю) при подходящем согласовании функций ^(х, у, ю), g2(x, у, ю), получим интегралы по кривым, для которых точка х не начальная, а внутренняя.
Поясним сказанное более подробно. Рассмотрим следующее семейство кривых ^(х, ю) и L(x, -ю)}, х е О, шей, и предположим, что их крайние точки % = ф(х,-ю, /(х,-ю)), п = ф(х,ш, /(х,ю)) находятся на границе множества О. Обозначим это множество кривых через М(2,,г|) и, следуя [14], предположим, что любые две точки е дО, 2, Ф п, определяют единственную линию из указанного семейства. Рассмотрим следующее уравнение:
| уМуСТ = у&г)
(3)
м (е,,ц)
где V(2,,n) - заданная функция. Возьмем произвольные х е О, аеЙ и по ним найдем линию
= L(x,ю) и L(x,-ю). Из уравнения (3), разделяя криволинейный интеграл на два по участкам Ь(х, ю), Ь(х, -ю), получим
= | g(ф(x, -ш, 1(х, -ш)), ф(х, ш, 1(х, ш)), У^у<5 +
Дх,ш)
+ | g(ф(x, -Ш, 1(х, -ш)), ф(х, ш, 1(х, ш)), У^у<5 =
Х(х,-ю)
= V(ф(х, -ш, 1(х, -ш)), ф(х, ш, 1(х, ш))).
Обозначая Н(х,ю) = К(ф(х, —ю, 1(х, - ю)), ф(х,ю, 1(х, ю))), gl(x, у, ю) = £(ф(х, -ю, 1(х, -ю)),
ф(х,ю, 1(х,ю)),у), g2(x,у,-ю) = я(ф(х, -ю, 1(х, -ю)), ф(х, ю, 1(х, ю)), у), из (3) получаем равенство
| ^(х, у, ю), у)йу<5 +
L(x,ш)
+ | g2(х, у, -ю), у)йуО = Н(
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.