ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 463, № 5, с. 543-546
= МЕХАНИКА
УДК 539.3
ЗАДАЧА ИШЛИНСКОГО-ЛАВРЕНТЬЕВА НА НАЧАЛЬНОМ ЭТАПЕ ДВИЖЕНИЯ © 2015 г. Академик РАН Н. Ф. Морозов, А. К. Беляев, П. Е. Товстик, Т. П. Товстик
Поступило 30.03.2015 г.
Исследована динамическая потеря устойчивости тонкого стержня с шарнирно опертыми концами под действием внезапно приложенной постоянной продольной нагрузки на начальном этапе движения, который ограничен временем пробега продольной волны по длине стержня. Поперечный прогиб разложен в ряд Фурье. Задача решается в линейном приближении. Величина дополнительного прогиба сравнивается с величиной начальных возмущений.
DOI: 10.7868/S0869565215230103
1. ВВЕДЕНИЕ
Задача об осевом сжатии стержня имеет богатую историю. Она начинается с трудов Л. Эйлера [1], которым решены две статических предельных задачи: в линейном приближении найдена критическая нагрузка и возможные формы потери устойчивости, а при нелинейном подходе найдены всевозможные равновесные формы стержня, нагруженного на концах (эластики Эйлера). В работе М.А. Лаврентьева и А.Ю. Ишлинского [2] при учете сил инерции поперечного движения рассмотрена сжимающая нагрузка, существенно превосходящая эйлерову, и установлено, что наибольшую скорость роста амплитуды поперечного прогиба имеет форма с большим числом волн в продольном направлении. Последующие исследования [3—11] учитывают как силы инерции поперечного движения стержня, так и распространение в нем продольных волн. Рассмотрен [6—8] кратковременный удар по стержню, порождающий в линейном приближении параметрические резонансы. При нелинейном подходе эти резо-нансы порождают биения, сопровождающиеся переходом энергии продольных колебаний в энергию поперечных колебаний и наоборот [9]. Прослежена эволюция формы упругой линии при приложении длительной продольной нагрузки, начиная от гармонической формы Ишлинского— Лаврентьева с большим числом полуволн и до устойчивой эластики Эйлера [11]. Обнаружена
Санкт-Петербургский государственный университет Институт проблем машиноведения Российской Академии наук, Санкт-Петербург E-mail: Tovstik t@mail.ru
возможность потери устойчивости при нагрузке, меньшей эйлеровой критической нагрузки [10].
В настоящей работе в линейном приближении исследуется динамика стержня под действием внезапно приложенной постоянной продольной нагрузки на начальном этапе движения. Ранее эта задача рассматривалась в работах [12—14].
2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СТЕРЖНЯ
Согласно модели Бернулли—Эйлера в линейном приближении задача сводится к последовательному интегрированию уравнений продольного и поперечного движений стержня. Запишем их в безразмерном виде:
д2 u
д2 u
дх dt
д_и
д х
х = 0
ES
u (l, t ) = 0, (1)
^ + А Г8(х, t дх4 дхV дх
д 2 w д t2
= 0,
w =
д2 w дх2
(2)
= 0, х = 0, l,
где и(х, 0 и w(x, 0 — продольное и поперечное перемещения стержня, ^0(х) — малая начальная неправильность. В качестве единицы длины принят радиус инерции поперечного сечения г, а в каче-
г
стве единицы времени — величина -, где с — скос
рость звука в материале стержня. Здесь Р — заданная осевая сжимающая сила, S — площадь сечения, Е — модуль Юнга, I = - > 1 — безразмерная
г
длина стержня.
Из уравнения (1) найдем деформацию продольного сжатия б(х, 1), входящую в уравнение (2). Представление б(х, 1) в виде ряда Фурье имеет вид
- ^
— (x, t) = = Sq - —0 У-sin (VkX) cos (vkt), О X l ^^ Vk
k = 1
(3)
Vk =
( - k - 1 ) п - l
l
ответствует деформация сжатия sm =
- -m п
t
При
m = 1 получаем классическую эйлерову критиче-
скую нагрузку scr =
п l2
При достаточно большом значении б0 возможна одновременная потеря устойчивости по нескольким первым формам, точнее, при т < т0 = 1 Л/б0
|_п
где через [г] обозначена целая часть числа г. В работе [2] авторы обратили внимание на то, что при т0 > 1 скорость роста амплитуды при потере
Що
72'
устойчивости максимальна при т^
Решение уравнения (2) ищем в виде ряда Фурье
да
т п
W(x, t) = У Tm(t) sin (Pmx), Pm = —
(4)
m = 1
при продольной деформации б(х, 1), заданной формулой (3). Функции Тт(1) удовлетворяют системе уравнений
-2т + ®2тТт - &0Р2т^°т + 60 У йЩ Тп + ^) = 0 ,
сИ ,
п = 1
2 4 2 , 0
®т = Рт - %Рт, т = 1, 2, ...,
anm(t) = —у" У , - -
l2 ^ v(-k - 1)- - 4(n - m)-
1
+ (5)
,) cos Vkt,
и описывает периодическую функцию б(х, 1 + 41) = = б(х, 1) с периодом, равным четырехкратному времени пробега продольной волны по длине стержня. С другой стороны, при 1 < I решение может быть представлено в виде бегущей волны б(х, 1) = &Н(1 — х), где Н(г) — функция Хевисайда.
3. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Статическая задача бифуркации равновесия сжатого постоянной силой (s(x, t) = s0 = const) стержня была решена Л. Эйлером [1]. Форме потери
m п x
устойчивости с m полуволнами w(x) = w0sin- со-
(-k - 1)- - 4( n + m)- -
Wm = - FiX) sin(PmX)dx,
а постоянные wm являются коэффициентами в разложении в ряд Фурье начальной неправильности w0(x).
Использовались два способа возмущения равновесного положения — возмущение начальных условий [6, 8—10] (задаются ненулевые значения
Tm(0) и Tm (0)) или ненапряженное начальное возмущение прямолинейной формы стержня [2, 7, 12—14]. Если рассматривать развитие больших прогибов при малых возмущениях, то оба способа дают близкие качественные результаты, однако в начальные моменты нагружения результаты различаются.
4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
В качестве примера рассмотрим стержень с безразмерной длиной l = 300 под действием сжатия при б0 = 0.002. Для этого стержня критическая
2
деформация равна scr = — = 0.00011 и статиче-
Í2
ская потеря устойчивости возможна по формам с числом полуволн m = 1, 2, 3, 4, причем наибольшую скорость роста амплитуды имеет форма с m^ = 3. Рассмотрим влияние начальной погиби
вида
0. ч . . 2 П( X - Х0)
w (x) = A sin —-- при x e [x0, x0 + l0 ],
l0 (6)
w° (x) = 0 при x g [x0, x0 + l0 ],
где параметры A, x0, l определяют амплитуду вмятины, ее расположение и длину. В силу линейности задачи принято A = 1 и все прогибы отнесены к A.
Возьмем x0 = 10, l0 = 100 (тогда вмятина занимает 1/3 длины стержня) и численно найдем решение системы (5) при Tm(0) = Tm (0) = 0.
На рис. 1 представлены графики функции w(x, t), найденной по формуле (4) в последовательные моменты времени t = 1т (за время т = 1 продольная волна пробегает от одного конца стержня до другого). Рассмотрено четыре момента времени т = 1/3, 1, 3, 12. Сначала дополнительный поперечный прогиб локализуется вблизи левого края стержня, а затем он распространяется по стержню вместе с продольной волной, заметно отставая от нее. Амплитуда прогиба растет. При т = 1 продольная волна достигает правого конца стержня. При т = 3 амплитуда дополнительного прогиба становится
+
0
-
со
ЗАДАЧА ИШЛИНСКОГО-ЛАВРЕНТЬЕВА 545
Рис. 1. Прогиб стержня в последовательные моменты времени.
равной амплитуде начальной погиби. При т = 12 амплитуда более чем в 10 раз возросла по отношению к начальной погиби, а форма прогиба стала похожей на наиболее быстро растущую форму
, ч • 3пх w(x) = sin -у- .
Результаты других численных экспериментов сводятся к следующему. Функция w(x, t) сильно зависит от формы погиби w0(x) и от начальных условий w(x, 0) и w (x, 0) (подобный вывод сделан и в [13]).
В рамках принятой постановки задачи (рассматриваются только линейно упругие деформации, выполнено граничное условие w(0, t) = 0) уточненное исследование поперечного движения на начальном этапе не представляется важным с практической точки зрения, ибо заметные поперечные перемещения наблюдаются лишь после того, как продольная волна несколько раз отразится от концов стержня. Действительно, в рассмотренном выше примере (рис. 1) максимальный дополнительный прогиб maxx|w(x, t)| становится равным амплитуде начальной погиби лишь при т = 3. Тот же результат получается и в случае, когда заданы ненулевые начальные условия. Действительно, пусть начальная погибь отсутствует и заданы условия w(x, 0) = w0(x), w (x, 0) = 0, где функция w0(x) определена формулой (6). Тогда прогиб maxx|w(x, t)| сначала убывает до значения 0.6, а затем растет и принимает значение 1 лишь при т = 2.6.
Было принято малое значение деформации сжатия б0 = 0.002, при котором в стали не возни-
кают пластические деформации. При больших значениях б0 прогибы растут быстрее, однако вывод о том, что дополнительные прогибы в начале движения малы, сохраняется. При б0 = 0.01 прогиб становится равным 1 при т = 1.4; при б0 = 0.03 имеем т = 1. Использованный геометрически линейный подход дает достаточную точность, ибо основная ошибка может заключаться в вычислении
ди
дх'
продольной деформации по формуле б(х, 1) = а не по более точной формуле
е(х, *) = - + 0.5(2,
дх Vдх; но в начале движения функция w(x, 1) мала.
5. ДРУГИЕ ПОДХОДЫ К ИССЛЕДОВАНИЮ ДВИЖЕНИЯ НА НАЧАЛЬНОМ ЭТАПЕ
В работах [12, 13] авторы исследовали поперечную устойчивость стержня на начальном этапе нагружения в предположении, что продольная волна сжатия еще не дошла до противоположного конца стержня, т.е. 1 < I. Рассмотрение статической устойчивости участка стержня 0 < х < 10 с жестко закрепленным концом х = 10 приводится к задаче
л4 л2 л2
а ж а ж 2 п а ж п , пч --+ б0--+ а ж = 0, ж = — = 0 (х = 0),
dx
dx
dx
dw
w = — = 0 (x = to), dx
Рис. 2. Зависимость ак ( 10 ) для жесткого (а) и упругого (б) закрепления.
собственные значения а]с которой определяют скорость роста форм потери устойчивости wk(х) еак (задача (а)). Нам представляется, что условия жесткой заделки конца х = 10 целесообразно заменить условиями упругого закрепления (задача (б)). На рис. 2 представлены результаты решения этих задач в переменных а = б0а , ?0 = 7^010. Например,
для задачи (а) при ?0 < 4.49 стержень устойчив, а далее потеря устойчивости происходит по одной (при 4.49 < < 7.72), по двум и т.д. формам.
Ясно, что "замораживание" процесса распространения продольной волны может быть использовано лишь для грубой оценки поведения стержня на начальном этапе нагружения. Эволюция формы прогиба существенно отличается от описанной в п. 4.
В работе [14] принят
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.