ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2015, № 2, с. 37-43
УДК 550.831
ЗАДАЧА КОНЦЕНТРАЦИИ МАСС © 2015 г. Ю. В. Гласко
Научно-исследовательский Вычислительный Центр Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова Поступила в редакцию 09.04.2014 г.
Рассмотрена задача концентрации масс для двумерного (2Б) и трехмерного (3Б) случаев. Постановка задачи проводится в квадрате или кубе. Задача решается методом статистической регуляризации включающей минимизацию невязки и метод Монте-Карло для формирования значений искомых плотностей.
DOI: 10.7868/S0002333715020039
ВВЕДЕНИЕ
Рассматриваемый в данной работе алгоритм концентрации масс относится к предложенному академиком В.Н. Страховым классу методов и технологий решения обратных задач гравиметрии и магнитометрии без аналитического решения прямых задач [Страхов, 1995; Страхов, 2000].
Проблема была сформулирована в работах В.Н. Страхова [Страхов, 1977; Страхов, 1978], где предложены физико-математические модели выметания и концентрации масс. Дальнейшее развитие — метод решения и практическое применение при поисках нефти, задача нашла в работе В.Г. Филатова для 20-случая в виде профильной концентрации [Филатов, 1988]. При численной реализации использовался метод выметания Д.П. Зидарова [Зидаров, 1984].
Здесь следует отметить целый ряд исследований по гравиметрии, электрометрии и сейсмометрии, где проблема эквивалентности распределений источников поля, характерная для интерпретации геофизических полей, использовалась конструктивно. Особо подчеркнем общую идею и ряд конкретных аналитических конструкций решений обратных задач интерпретации на основе эквивалентных (или даже s-эквивалентных) перераспределений источников поля (выметания). Эти вопросы рассматривались в работах В.И. Аронова [Аронов, 1967], Д. П. Зидарова [Зидаров, 1984], А.В. Цирульского [Цирульский, 1975], В.Н. Страхова [Страхов, 1977], В.Г. Филатова [Филатов, 2011] и др. Концентрация относится именно к числу задач конструктивного использования эквивалентных перераспределений масс.
Задача 3 D-концентрации рассматривалась в работе И.Э. Степановой [Степанова, 2003] как
компонент интерпретации геофизических полей на дневной поверхности. В работе был предложен алгоритм неформализованного подбора определенного тем, что варианты значений параметров, характеризующих геометрию образующих аномалию тел и распределения плотности, задаются человеком-интерпретатором на основе априорной информации.
Дальнейшее развитие проблематики связано с обоснованием единственности решения задачи концентрации, построением регуляризирующего алгоритма решения задачи основанного на анализе строения выметенной плотности без участия человека-интерпретатора и развитием тематики для 3Э-случая ориентированное на новый тип строения месторождений нефти. В условиях выработки месторождений — гигантов, разрабатываемые сейчас месторождения обладают небольшим горизонтальным, но значительным вертикальным простиранием [Филатов, 2012].
В рамках комплексной геологической интерпретации гравитационных и магнитных полей, задача концентрации состоит в определении плот-ностных и пространственных характеристик образующего аномалию геологического объекта по известному распределению плотностей на границе охватывающей этот объект области. Рассматриваемая задача является одним из трех необходимых компонентов интерпретации геофизических полей: выделение локальной составляющей аномалии, пересчет ее на границу области охватывающей образующий аномалию объект и собственно концентрация массы с границы внутрь области.
I 0.08
Рис. 1. Распределение плотностей: 5г по границе прямоугольника 8; 5(ю) — максимальная выметенная из 8 плотность.
1. ПОСТАНОВКА И МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОНЦЕНТРАЦИИ МАСС
Пусть априори известная область Б, охватывает область-источник О гравитационной аномалии ^(Ц), ие Е1 с Ена поверхности Земли Е.
Прямая задача расчета ^(Ц) на дневной поверхности заключается в суперпозиции двух проблем — непосредственно выметание плотностей из О на Г = дБ: 8Г(а*) = А8(ю) (где ю е а* е Г, А — оператор из О на Г) и пересчет масс-плотностей с Г на поверхность Земли — вычисление
Ц): ^(Ц) = В8Г(а*) (В — оператор с Г на Е1).
Обратная задача интерпретации гравитационного поля на дневной поверхности может быть записана в виде операторного уравнения: Б8(ю) = ^(Ц), где Б = В х А, А: А8(ю) = 8Г(а*), ю е ^ с 8, В8Г(а*) = = Д?(и), и е Е1 с Е, где Е — поверхность Земли. Для двумерного случая Е — ось ОХ, для трехмерного случая — прямая бесконечного простирания либо плоскость (ОХ либо ОХУ). Е1 — подмножество Е. Для прямой и обратной задачи относительно оператора В можно использовать результаты ряда работ в 2Э- [Филатов, 1988] и 3Э-слу-чаях [Степанова, 2003].
В данном сообщении мы рассмотрим задачу концентрации плотностей с границы Г внутрь области 8 при заданном распределении плотностей на границе Г для двумерного (Б — квадрат со сторонами длинны 1, Г = дБ) и трехмерного (Г = д V, Б = V — куб со сторонами длинны 1) случаев.
Для 2Э-случая задача имеет вид:
А8(ю) = 8 г(о*), иеПс S, юёдБ. (1)
Здесь 8Г(а*) — точное значение плотности на границе Г.
Относительно 3Э-случая имеем:
А8(ю) = 8 г(о*>, иеПс V, ю £ дУ. (2)
Для концентрации масс-плотностей будем использовать метод статистической регуляризации, сочетающий метод статистических испытаний Монте-Карло [Соболь, 1985] (с ограничениями на вариации выметаемых из внутренних точек области плотностей) и (в зависимости от характера априорной информации) метод квазирешений В.К. Иванова либо метод регуляризации А.Н. Тихонова [Тихонов, 1990].
Целью каждого из N экспериментов метода Монте-Карло является минимизация функционала
р2(А8(ю), 8г(о*)) = ||А8(ю) - 8гИ|^. (3)
В случае приближенного задания граничной плотности 8 г(ст*) и малой априорной информации о геометрии области ^ следует минимизировать сглаживающий функционал А.Н. Тихонова:
= ||А8(ю) - 5г(а*# + а||8(ю) - 8^(ю)^.
(4)
М а[8(ю), 8 г(о*)] = 1^2
Подбор параметра регуляризации а проводится в цикле в рамках численного эксперимента на основе квазиоптимального критерия. Помимо погрешности входных данный на выбор а влияет параметр точности метода Монте-Карло е№ Здесь 8ктр1(ю) — опорное значение искомых плотностей.
2. ПРОВЕДЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА И РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ ДЛЯ 2Э-МОДЕЛЬНОГО ПРИМЕРА
Рассмотрим задачу концентрации (1) в квадрате 8 = [0; 1] х [1/3; 4/3] (рис. 1):
А8(ю) = 8г(о*>, иеас Б, а^дБ, ( 8(о*Уст* = 1.
а*еГ
Для решения задачи концентрации методом статистической регуляризации сначала следует выбрать метод моделирования случайных величин, являющихся плотностями во внутренних точках области Б — четырех точках для модельного примера.
Выберем модель случайных величин, опирающуюся на значения максимумов плотностей на границе Г квадрата 8, — определяющих расположения плотностей в Б/ дБ.
Максимальные значения выметенной плотности 0.2917 наблюдаются в точках (0; 1) и (1/3; 4/3). Во внутренней точке S (1/3; 1) соответствующей 2-м наибольшим максимумам аномалий по осям х и г на границе Г будем моделировать случайную величину из (0.29 + 0.29; 2.5 х (0.29 + 0.29)) = = (0.58; 1.45). В точках вторых максимумов будем моделировать случайную величину из интервала (0; 2.5 х 2 х 0.08) = (0; 0.4) - точки (1/3; 2/3) и (2/3; 1), а в оставшейся точке (2/3; 2/3) будем моделировать случайную величину из интервала (0; 2.5 х х 2 х 0.04) = (0; 0.2).
Таким образом, для матрицы внутренних плотностей (рис. 2) ее элементы моделируются равномерно на интервалах: a11 е (0; 0.4), a12 е (0.58; 1.45), a21 е (0; 0.2), a22 е (0; 0.4). Эти элементы матрицы соответствуют плотностям в точках (1/3; 2/3), (1/3; 1), (2/3; 2/3), (2/3; 1).
Данная модель распределения плотностей с учетом того факта, что их сумма известна априори (равна 1), реализована в виде процедуры. Испытания модели проведены для различного количества N опытов метода Монте-Карло. N е {10, 20, 30, 50, 70, 100, 200, 300, 1000, 1500, 2000, 3000}. Здесь N — количество матриц независимых значений случайных величин соответствующих матрицам внутренних плотностей. Целью каждого из N экспериментов является минимизация невязки (3) со средней точностью sN. Оказывается, что время концентрации сильно зависит от выбора нижней границы максимальной плотности масс в сочетании с качеством метода получения псевдослучайных чисел. Опробовано несколько таких методов и выбран наиболее оптимальный по соотношению время/точность. Используются несколько вариантов смешанных конгруэнтных методов генерации последовательности псевдослучайных чисел.
Погрешность локализации плотности масс при точных граничных плотностях 8Г и жестких ограничениях на суммарную внутреннюю плотность Q 8(ю) < 1 на этапе моделирования рав-
Jffle S/ д S
номерно распределенных плотностей составляет 7% при N = 1000, а точность выметания для четырехточечной схемы практически абсолютна. В ряде случаев это условие сильно увеличивает время расчета. Оказывается, что эксперимент более эффективен без ограничений на суммарную внутреннюю плотность в цикле моделирования плотностей.
Некоторые, наиболее интересные вычисления на Pentium 3 приведены в табл. 1.
Отметим, что скорость ядра используемого процессора и емкость процессорного кэша оптимальным образом сбалансированы с частотой импульсов шины данных материнской платы.
Для каждого из указанного выше ряда опытов метода Монте-Карло проводится по 3 численных
1/3 1 Z 2/3 1 2 3 4/3 4 2/3 1 Z
0 1 1 2
1/3 X 2 О 1/31 X 2/3 2 О
2/3 3
1 4
Рис. 2. От прямоугольника к матрицам.
эксперимента. При N е {10, 20, 30, 50, 70, 100}, погрешность восстановления аномалиеобразую-щей плотности находится в сегменте [7%; 16%]. При N е {300, 1000} погрешность вычисления 8(1/3; 1) — [3%; 4%]. Дальнейшее увеличение числа опытов метода N е {1500, 2000, 3000}, приводит к расчетам продолжительностью от 4 мин 10 с до 12 мин, но не повышает точность результата. Таким образом, предпочтительны 300 и 1000 опытов метода Монте-Карло. При этом время расчета для N = 300 - [30 с; 1 мин], а для N = 1000 -= [2 мин 50 с; 3 мин 30 с] при той же
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.