ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 2, с. 245-255
УДК 519.633
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ИСТОЧНИКОМ И НЕОДНОРОДНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ
© 2007 г. А. В. Мартыненко, А. Ф. Тедеев
(340114 Донецк, ул. Розы Люксембург, 74, ИПММ НАНУ, Украина) e-mail: tedeev@iamm.ac.donetsk.ua Поступила в редакцию 26.05.2006 г.
Рассматривается квазилинейное параболическое уравнение с источником и неоднородной плотностью следующего вида:
р( х) d- = div( um-1 \Du\XDu) + up.
Найдены условия на параметры задачи, при которых решение задачи Коши взрывается за конечное время. Более того, получена точная универсальная, т.е. не зависящая от начальной функции, оценка решения вблизи времени обострения. Библ. 19.
Ключевые слова: неоднородная плотность, вырождающееся параболическое уравнение, режим с обострением.
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим задачу Коши для уравнения с неоднородной плотностью и источником:
р( x) = и"-1|Du|ХDu) + ир, (1.1)
(х, г) е Qт = ^ х(0, Т), Т > 0, N > 1, u (x, 0) = u0 (x0), x е ^.
Всюду далее предполагаем, что X > 0, m + X - 2 > 0, р > m + X - 1, p(x) = р0(х) = \х\-1 либо p(x) = = рх(х) = (1 + \x\YKI > 0, u0(x) - неотрицательная измеримая функция из класса L1, [0С(^Ж) и такая, что
Г , ч 1 + (ш + X -1)/X ,
I р(х)и0 ах <
При X = 1 уравнение (1.1) без источника используется как модель для описания распространения тепловых волн в плазме, где тепловые волны осуществляют механизм передачи энергии со сверхзвуковой скоростью (см. [1], [2]).
Приведем некоторые результаты, справедливые для уравнения (1.1) без источника. Задача (1.1), (1.2) при X = 1, N = 1 исследовалась в [1]. В частности, было установлено, что если выполнены условия
m = Jp(х)dx M = J p(x)u0dx
то существует предел решения u(x, t) при t —► который равен u = M/m и ||u(-, t) - u Щ K —► 0
при t —► ^ на любом компакте K с R1. Таким образом, при t —► ^ решение задачи Коши ведет себя как решение задачи Неймана в ограниченной области. В [2] исследовался случай N > 1 при р(х) = \x\-K При N > 1, l < 2 построены решения типа Баренблата, а при N = 1, 0 < l < 1 получено асимптотическое представление решения при t —►
Другим неожиданным результатом для решений задачи (1.1), (1.2) без источника является разрушение носителя за конечное время (РНКВ), которое было установлено впервые при X = 1 и N > 3 в [3]. В этом направлении отметим еще результаты из [4], [5]. В частности, в [3] установлено, что в случае р(х) = (1 + |х|)-/ при I > I* = [Щ(т - 1) + 2]/т, N> 3 имеет место РНКВ. В одномерном случае свойство РНКВ для уравнения пористой среды с абсорбцией изучалось в [6], где получены критерии наличия и отсутствия свойства финитности носителя.
Естественно было ожидать, что при I < I* имеет место конечная скорость распространения возмущений (КСРВ). В [7] такого сорта результаты были установлены для задачи (1.1), (1.2) без источника. При этом найден критический показатель
l* =
N(m + X -2) + X + 1 i , i аг
—---——- при X +1 < N,
m + X - 1
X +1 при X +1 > N
и установлено, что при l > l* имеет место РНКВ, а при l < l* КСРВ.
Задача для уравнения (1.1) с источником в данной постановке, по-видимому, изучается впервые. Отметим, однако, работу [8], в которой были исследованы спектральные свойства автомодельных решений уравнения вида
, ,дE 1 д ( v поЭТЛ , ,л тч
р(х) ЭЕ%"Лг ХТ ЭТ) + q0pT ' (1.3)
где E = cvT, cnu, Хо, q0 > 0, о > 0, в > 1 - заданные параметры. При этом предполагалось, что p(r) = Ark, 0 < k < 2, при v = 1 и v = 2.
Если в уравнении (1.1) р(х) = const, то известно, что решение не всегда существует глобально по времени. Более точно: если p > p* = m + X - 1 + (X + 1)/N и начальная функция мала в некотором смысле, то решение существует глобально по времени. Если же 1 <p <p*, то любое нетривиальное решение задачи (1.1), (1.2) взрывается за конечное время. Более подробное изложение этих фактов можно найти в [9]-[13], а также в монографии [14].
Цель данной работы - нахождение условий на параметры задачи, при которых решение взрывается за конечное время. Более того, мы получаем точные оценки решения уравнения (1.1) вблизи времени обострения, которые носят универсальный характер, т.е. не зависят от начальных данных, при этом качественный характер решения существенно зависят от р(х). При доказательстве основных результатов использовались подходы из [15], [7]. Эти подходы позволяют также исследовать уравнение вида
р( х) Эй = div (um\Du\XDu) + p( х) up, (1.4)
которое является естественным обобщением уравнения (1.3). Уравнению (1.4) планируется посвятить отдельную работу.
Введем понятие обобщенного решения, для чего заметим, что (1.1) допускает эквивалентную запись
Э в
р( х) Эд-Г = pXdiv (| Du\Х-1 Du) + v^,
где в = —г—- , М- = ,Xp 1 , u = Vе.
m + X - 1 m + X - 1
Определение 1. Будем говорить, что ui^, t) есть обобщенное решение (или просто решение) задачи (1.1), (1.2) в QT = U х (0, Т), если u(m + X - 1)/X является элементом пространства
lx +!(о, Т, WX +!(Rn)) n lM +!(о, T, lM +!(RN)) n C([0, T), ¿в + Up(RN)) и удовлетворяет задаче (1.1), (1.2) в смысле интегрального тождества.
Существование решения доказывается стандартно (см. [16], [17]).
Замечания. 1. Поскольку при доказательстве основных результатов будут использоваться локальные энергетические оценки, то модельность уравнения (1.1) не принципиальна. Более того, все результаты справедливы при более общих предположениях на поведение р(х).
2. Во избежание стандартных громоздких рассуждений, связанных с необходимостью аппроксимации решений гладкими функциями, всюду в дальнейшем будем считать решения задачи (1.1), (1.2) достаточно гладкими.
Перейдем к формулировке основных результатов, предварительно оговорив, что через у, Ух, у2, ... обозначены постоянные, которые зависят только от параметров задачи /, ш, X, р, N.
Введем в рассмотрение функции р* (/) и р* (/) переменной /, которые играют роль критических показателей Фуджиты (зависящих от /) задачи (1.1), (1.2) для р0(х) и рх(х) соответственно.
_N( ш + X - 2) -I- X + 1. ш + X - 1
Пусть /* ■
; тогда при X + 1 < N обозначим
Р* (I) = а при X + 1 > N
ш + X-^^т-1 0 < / < /*, N -/
/ (ш + X - 1) - X - 1
р* (I) =
/ - X - 1
/ * < / < N,
ш + X - 1 +
X + 1
N -/ N (ш + X - 1)
0 < / < /*,
N - X - 1
р*( /) = ш + X - 1 +
X- 1
Л---/,
0 < / < N, р* (/) =
ш
+ X - 1 +
X- 1 N-1,
/ * < / < N,
0 < / < N,
<~, N < /.
Условия несуществования решения в целом по времени дает Теорема 1. В каждом из следующих случаев:
1) р(х) = \х\-/, 0 < / < N, р < р* (/),
2) р(х) = (1 + \х\)-/, 0 </,р < р* (/),
любое нетривиальное решение задачи (1.1), (1.2)"взрывается" за конечное время, т.е. найдутся 0 < 0 < 1 и 0 < Я < ^ такие, что
-е
|р( х) и1
ах
га при I
Т <
При более сильных ограничениях на / и р, чем в теореме 1, получена универсальная оценка решения вблизи времени обострения, а именно справедлива
Теорема 2. Пусть р(х) = \х\-/, и(х, 0 - решение уравнения (1.1), существующее при t е (0, Т), Т > 0, и выполнены условия
0 < / ^ +1 < N, р < ш + X -1 + ?1 +1-1
N - / '
тогда для всех t е (Т/2, Т), \х\ < ^ (Т - 01/я справедлива оценка
и(х, t)<у(Т - t), где показатели Н и В определяются следующим образом:
(1.5)
Н = /( ш + X - 22) -- (р - 1 ) (X + 1 - /) р-ш-X +1 '
В=
X + 1
/ (ш + X-2) + (р - 1XX + 1-/ )'
2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1
Пусть ВЯ - шар с центром в точке х0 = 0 и радиусом Я. Определим гладкую срезающую функцию £ = £(х) такую, что 0 < £ < 1, £ = 1 на ВЯ, ^ = 0 вне В2Я, < у/Я.
В
Я
Пусть 1 > 0 > 0, £, 5 > 0; тогда, умножив обе части уравнения на функцию (и + е) и проинтегрировав по Б2К, получим
С | р(и + е)1 -> у 1 | ит-1 \Би\х +1 (и + е)-(1 + в)t,sdx -
Б2К Б2К
- У21 ит-1 |Ои|и + е)-0^5-1 |ОС1dx + у3 | ир(и + е).
Б2К Б2К
Применяя ко второму слагаемому правой части неравенство Юнга с достаточно малым 5 и переходя к пределу при е —► 0, получаем
с Г 1-, ^ г т-е-2!г. +1й С- J ри С dx > у 1 J и \ии\ С
т - 0-21г. IX + 1£5 , У2 Г т + X - 0
КЛ
-1
и
Б2К Б2К Б2К Б
Пользуясь неравенством Юнга с произвольным 5 > 0, оценим /2:
1 С Х ldx + у3 Г ир еCsdx = 11 -/2 +13.
(2.1)
(X + 1 ) (р - е )
12 <51з + |Л -р-т-х+1 = ^^ 5
= 5/3 + Ь Ка.
(2.2)
Введем обозначение V = и /1 = У1 |
т + X - е - 1 X + 1
; тогда
X + 1
5 X + 1 5 / _\
г,аХ+1 vD С dx > у 1 1 V ? + 11
X + 1
У112.
(2.3)
Обозначим Е = Е(0 = Г ри1 еС5 dx; тогда, выбрав 5 > 0 достаточно малой, из (2.1)-(2.3) полу-
JБ2 К
чим
¥ >т, 1
щv с
X + 1
X + 1
■- У2К" + У313.
(2.4)
Далее рассмотрим несколько случаев.
Случай 1. Пусть X + 1 < N тогда, в силу финитности функции +1 в Б2К, из неравенства Хар-ди получаем
1
о IV с
X + 1
^ >У1 с
1x1
Б2 К
(2.5)
Применяя неравенство Гельдера к Е, получаем 1
Е <
I I-X-1 т + X- е-1й5
т и с с
1-е т+X-2
\т + а,- е - 1 ( Ш т + X - е - 1 (X + 1) (1 - е)
т + X- 2 | | т + X-2
/
1р
т+X-е-1
(2.6)
У
Следовательно, имеем неравенство
I |-X-1 т + X- е - 1 5 7 1x1 и С dx >
^ т + X - е - 1 (X + 1) (1 - е ) \
т + X-2 | | т + X-2 7
^ dx
т + X - 2
1р
1
т+X-е-1
т+X-е-1
Е 1-е = Ь (К) Е 1
(2.7)
Б
Б
Б
Б
1
Б
Таким образом, из (2.4), (2.5) и (2.7) получаем
m + X - 0 - 1
dE >Yib(R)E 1-0 - у2Ra. (2.8)
Случай 1а. Рассмотрим случай р(х) = |х| l.
тг А , ш,m N(m + X -2) + (1- 0)(X +1)
При условии 0 < l < l*(0) = —---Тт—-тт—---------- получаем
m + X - 0 - 1
N -1 m + X - 0-1 ^ (X + 1)(1 - 0P| m + X-2
,,n4 n v m+X-2 m+X-2 J 1-0 R
b(R) = уR = yR , Y > 0.
Покажем, что 3R* > 0 Vt > 0 VR > R*:
m + X - 0-1
cRe E 1- 0 > Ra, (2.9)
где c = const > 0 достаточно мала. Действительно, (2.9) равносильно
m + X - 0 - 1
где
cE > Ra-в,
a-p = ( N - l ) ( m + X - 9-1) + (1-0)(X +1) (X +1)(p - 0)
1 - 0 p - m - X + 1 '
Легко видеть, что a - в < 0 приp <p*(0) = m + X - 1 + (1 - 0) N+""1, поэтому найдется R* > 0 такое,
что при t = 0 VR > R* выполнено (2.9) с достаточно малой c = const > 0. Тогда из (2.8) и (2.9) следует, что E(t) - возрастающая функция, а значит, (2.9) выполнено Vt >0 VR > R*. Далее из (2.8) и (2.9) получаем
m + X - 0 - 1
d-E > Y1 b (R) E 1 - 0 . Интегрируя после
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.