ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 462, № 5, с. 529-531
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956.4
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
© 2015 г. М. Ф. Черепова
Представлено академиком РАН Е.И. Моисеевым 01.12.2014 г.
Поступило 10.12.2014 г.
DOI: 10.7868/S0869565215170041
Хорошо известна классическая разрешимость задачи Коши в ограниченном слое для параболических уравнений 2-го порядка при условии, что коэффициенты уравнения ограничены и удовлетворяют равномерному условию Гёльдера, правая часть уравнения ограничена и локально гёльдерова (см., например, [1, с. 269; 2, с. 442]). В работах [3] (в ограниченном слое) и [4] (в полупространстве) рассмотрена задача Коши для параболических систем с равномерно гёльдеровыми и ограниченными коэффициентами, правая часть которых может иметь особенность степенного характера при г = 0, и доказана разрешимость этой задачи в весовом пространстве Гёльдера, элементы которого могут иметь растущие определенным образом производные при приближении к плоскости г = 0. В работе [5] (см. также [6]) получена разрешимость задачи Коши для одного параболического уравнения в том же весовом классе Гёльде-ра, что ив [4], при существенном ослаблении условий на коэффициенты уравнения, а именно, в предположении, что все коэффициенты уравнения локально гёльдеровы (с точным указанием характера гёльдеровости), младшие коэффициенты могут расти при г ^ +0 не быстрее, чем некоторая степенная функция.
В настоящей работе исследуется задача Коши для параболического уравнения 2-го порядка в полупространстве, и устанавливается ее разрешимость в весовом пространстве Гёльдера функций, все производные которых могут быть не ограничены вблизи плоскости г=0, а сами функции вместе с производными могут расти при г ^ +да экспоненциальным образом. При этом младшие коэффициенты и их коэффициенты Гёльдера допускают больший, чем в [5, 6], рост при приближении к плоскости г = 0, правая часть уравнения может иметь особенность степенного характера при г = 0
Национальный исследовательский университет "Московский энергетический институт" E-mail: cherepovaMF@mpei.ru
и экспоненциальный рост при г ^ +да. Старшие коэффициенты, так же как и в [5], могут не удовлетворять условию Дини вблизи плоскости г = 0, что не позволяет, вообще говоря, строить классическое фундаментальное решение уравнения с достаточно хорошими свойствами (см. [7]), и, следовательно, пользоваться методами работ [1, 2, 4]. Кроме того, существенное ослабление условий на коэффициенты уравнения, а также тот факт, что задача рассматривается в полупространстве, не позволяет воспользоваться и методом работы [3].
Пусть Я++1 = {Р = (х, г): х е Я", 0 < г < +да}, Б =
= {Р е Я++1: 0 < г< Т}; 0 < Т< +да. Очевидно Б = Я++1 при Т = +да. В слое Б рассматриваем параболический оператор с вещественными коэффициентами
Lu = dtu - ^ a¡j(P)d¡ju + ^b¡(P)d¡u + c(P)u,
i,j = 1
i = 1
д д д где дг = — , д1 = — , дц =-. Предполагаем, что
д ? дх{ дх(д х]
выполнено условие равномерной параболично-сти оператора Ь, т.е. существует постоянная р0 > 0 такая, что для всех Р е Б и любого а е Я" справедливо неравенство
^ a¡j(P)ViVj >ß0lV
(1)
¡,j = 1
Кроме того, выполнены условия: функции йц, I,Ц = 1, 2, ..., ", ограничены в Б; (2) функции ац, I,Ц = 1, 2, ..., ", равномерно непрерывны в Б. (3)
Из условия (2) следует, что существует посто-
п
янная Е > 0 такая, что ^ 8ирл |йц(Р)| < Е.
/,] = 1
n
n
n
2
530
ЧЕРЕПОВА
Пусть 0 < а < 1 и ю(г) — функция типа модуля непрерывности, удовлетворяющая условию
j"ro(z)z 1 dz < + да, h > 0.
Обозначим АР = (Ах, А?), АРи(Р) = и(Р + АР) - и(Р); 5(,п = шт(?, п), ?, П > 0. Предполагаем, что существует постоянная М > 0 такая, что для всех Р, Р + АР е Б выполнены соотношения:
\АРа1;-(Р)\< М АР а(5-?+2д, + 1), /, ] = 1, 2, ..., п; (4)
\bt(P)|< м(ю(/) f1/2 + i) , i = 1, 2,
|ДА( P )|< M a Pa (S-^)/2 +1),
, n;
-(1 + a)/2
(S
i = 1, 2, ..., n;
-i + a
;(P)| < M(t
2
+1
\ApC (P )|< M(8-1 + At + 1).
(5)
(6)
(7)
(8)
Lu = f в D,
u|t = 0 = h в R
(9)
Определим следующие функциональные пространства. Через C0, a(Rn) обозначаем пространство Гёльдера функций h: Rn ^ R с нормой (см. [2, с. 16]):
||h; rH 0,a = sup|h(x)| +
Rn
+ sup {|h(x + Ax) - h(x)||Ax|~a}.
R1
Введем пространство Гёльдера функций, растущих, вообще говоря, по переменной t при t ^ +да.
Через C°'a (D), X > 0, обозначаем пространство
Гёльдера функций u: D ^ R, непрерывных в D, для которых
II 0, a ___ | U(P) |
i; D\\x,a = sup
+ sup
D exp(X t) |ApU ( P )|
+
< +да.
= sup{[ min (t
D
r, D||
(k - a)/2
0
X, k - a
, 1)] |u ( P)| exp (-X t)},
[ u; D ]
X, k -
[ min^a at, 1 )]|apu(p)|
= sup
D |APa(exp(Xt) + exp(X(t + At)))
llu; П||
0, a и r.110
= II u; D||
0, a
X, k -
X, k -
г ™0>a
.+ [ u; D ]x, k - a.
Пространством С^ 2 _ а (Б) называем весовое пространство Гёльдера функций и: Б ^ Я, непрерывных в Б, для которых конечна величина ||и; Б_а . Введем весовое пространство Гёльдера функций,
определенных в Б и имеющих растущие производные при ? ^ +0 и при ? ^ +да (ср. с [3]). Полагаем
; D|| = llu; D|| X
X Is'u; D
0, a
X, 1 - a +
И = 1
IK - a +1 |d,u; D|| °'a
X, 2 - a'
Для оператора Ь рассмотрим задачу отыскания классического решения задачи Коши
+ х ¡д'и; Б >
И = 2
где I = (11, ..., 1п) — мультииндекс, |/| = /1 + ... + 1п,
II 2 а
д1 = д11 ... дПП. Пространством С^' ^ (Б) называем весовое пространство Гёльдера функций и: Б ^ Я, непрерывных в Б и имеющих непрерывные в Б производные д* д'и, 1 < 2« + |/| < 2, для которых конечна величина ||м; Б ||
2,a X, a '
При X = 0 пространства С0 а_ а (Б) и С2 а (Б) обозначаем соответственно через С2'_аа (Б) и С2'аа (Б), норму в этих пространствах обозначаем |и; Б\2'аа
и u
; D\ a
соответственно.
Сформулируем сначала результат для ограниченного слоя, который имеет самостоятельный интерес.
Тео р е ма 1. Пусть для коэффициентов оператора Ь выполнены условия (1)—(8) и Т> 0 — произвольное число. Тогда для любых функций / е С2'аа (Б) и
^2, а а
h е C0, a(Rn) существует решение u е Ca' (Б) задачи (9) и имеет место оценка
Б |Ара(ехр(X,) + ехр(Х(, + А,)))
Определим весовое пространство Гёльдера функций, растущих, вообще говоря, при приближении к плоскости ? = 0 и при ? ^ +да (ср. с [3]). Для к = 1, 2 полагаем
|и; Б|Г < С(\Г; Б0-аа + \\н; Щ01
с постоянной С, зависящей от п, а, р0, Т, М, Е.
В случае полупространства справедлива
Те о р е м а 2. Пусть выполнены условия (1)—(8), Т = +да и X > 0. Тогда для любых функций / е
е C
,0, a X, 2 - a
(R+
n +1) и h е C0, a(Rn) существует решение u е cX aa (R++1) задачи (9) для некоторого X0 = X0(n,
h
0
a
+
u
a
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
531
а, р0, X, М, Е) > 0, зависящего от характера непрерывности функций йц, и имеет место оценка
1-г.п + 1||2, а „ /^Аг- -гп + 1||0, ст II п\\0,а
и; Я+ || < С (| |/; Я+ || ^ 2 _ а + \\Н; Я || ), где постоянная С зависит от ", а, р0, X, М, Е.
Замечание 1. Существует число Х1 = Х1(", а, р0, М, Е) > 0, зависящее от характера непрерывности функций йц, такое, что если в условии теоремы 2 выполнено неравенство X > Х1, то Х0 = X.
Замечание 2. Единственность решения задачи (9) при условиях (1)—(8) следует из [8].
Доказательство теорем 1 и 2 проводится единообразно методом продолжения по параметру. Для этого предварительно устанавливается априорная оценка решения задачи (9) с помощью существенной модификации метода работ [5, 6].
Автор выражает благодарность Е.И. Моисееву и Е.А. Бадерко за полезные обсуждения.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (соглашение № 14—11— 00306) и при частичной финансовой поддержке Совета по грантам при Президенте РФ (проект НШ-2081.2014.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964.
2. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
3. Солонников В.А., Хачатрян А.Г. Оценки решений параболических начально-краевых задач в весовых гёльдеровских нормах // Тр. Мат. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова. 1980. Т. 147. С. 147-155.
4. Черепова М.Ф. О задаче Коши для параболических систем // Вестн. МЭИ. 2001. № 6. С. 75-84.
5. Черепова М.Ф. О разрешимости задачи Коши для параболического уравнения с растущими коэффициентами // Вестн. МЭИ. 2004. № 6. С. 81-93.
6. Черепова М.Ф. Регулярность решения задачи Коши для параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 4. С. 540-549.
7. Ильин А.М. О фундаментальном решении параболического уравнения // ДАН. 1962. Т. 147. № 4. С. 768-771.
8. Камынин Л.И. О проблеме Тихонова-Петровского для параболических уравнений 2-го порядка // Сиб. мат. журн. 1981. Т. 22. № 5. С. 78-109.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.