ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 1, с. 34-45
удк 519.622.2
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ТИХОНОВСКОЙ СИСТЕМЫ В СЛУЧАЕ КРАТНОГО КОРНЯ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯ
© 2015 г. М. В. Бутузова
(119991 Москва, Ленинские горы, МГУ, физ. ф-т) e-mail: m.butuzova@mail.ru Поступила в редакцию 17.05.2014 г.
Для системы тихоновского типа построена и обоснована асимптотика погранслойного решения в случае двукратного корня вырожденного уравнения. Характер асимптотики и алгоритм ее построения существенно отличаются от классического случая простого корня вырожденного уравнения. Библ. 4.
Ключевые слова: сингулярно возмущенная система обыкновенных дифференциальных уравнений тихоновского типа, погранслойная асимптотика, случай кратного корня вырожденного уравнения, алгоритм построения асимптотики.
DOI: 10.7868/S0044466915010068
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим задачу Коши (z и y — скалярные функции, б > 0 — малый параметр) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида
е^ = F(x, y, z,s), d-y = f(x, y, z,s), 0 < x < X, (1)
dx dx
z(0, е) = z0, У(0, е) = y0. (2)
В классическом тихоновском случае (см. [1], [2]) вырожденное уравнение
F(x, y, z, 0) = 0 (3)
имеет простой (однократный) корень z = ф(х, у), и при определенных условиях асимптотическое разложение по параметру е решения задачи (1), (2) имеет вид
z = Z(x, е) + Пz(£,, е), y = y(x, е) + Пу(£,, е), (4)
где
да
z(x, е) = £ е'it(x) (5)
i = 0
есть регулярная часть асимптотики,
да
Пz(£,, е) = £ е''П'-z(£) (6)
i = 0
есть погранслойная часть асимптотики, = x — погранслойная переменная, разложения для
е
У(x, е) и Пу(£,, е) имеют такой же вид, как (5) и (6). Члены рядов (5) и (6) определяются последовательно по методу А.Б. Васильевой (см. [2]).
В данной работе задача (1), (2) исследуется в том случае, когда вырожденное уравнение (3) имеет двукратный корень. Оказывается, что в этом случае при определенных условиях решение
задачи (1), (2) также имеет погранслойное поведение, однако вид регулярной и погранслойной частей асимптотики, поведение пограничных функций П;г(£,), Пу(%) и сам алгоритм определения членов асимптотики существенно изменяются по сравнению со случаем простого корня вырожденного уравнения.
2. АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ АСИМПТОТИКИ
Изложим алгоритм построения асимптотики при следующих условиях. Условие А1. Справедливо соотношение F(x, y, z, s) = — h(x, y)(z — ф(х, y))2 + &Fx(x, y, z, s). При условии А1 вырожденное уравнение (3) имеет двукратный корень z = ф(х, y). Условие А2. Функции h, ф, F1,/достаточно гладкие.
Как обычно, требуемый порядок гладкости зависит от порядка асимптотики, которую мы хотим построить. Поскольку речь пойдет об асимптотике произвольного порядка, будем считать функции h, ф, F1 и / бесконечно дифференцируемыми в соответствующих областях. Будем строить асимптотику погранслойного решения задачи (1), (2) в виде (4), где = x/s — погранслойная переменная.
Исследование показывает, что регулярная и погранслойная части асимптотики будут теперь рядами не по степеням s, а по степеням J& :
z (x, s) = Zo + л/в Zi + SZ2 + • ■■, (5)'
s) = Пoz + л/Sniz + вП2z + ... (6)'
и аналогичные ряды для y(x, s) и ny(£,, s). Более того, коэффициенты zt, yt и n;z, ny этих рядов будут теперь зависеть, соответственно, не только от x и но также и от s, но чтобы упростить описание алгоритма нахождения этих коэффициентов, зависимость от s отмечать не будем, т.е. будем писать zt (x) вместо z.t (x, s) и также для других коэффициентов.
Подставляем выражения (4) в систему (1) и представляем правые части уравнений в виде
F = F + П F, f = f + П/,
таким же образом, как в случае простого корня уравнения (3) (см. [2]). Для регулярных членов асимптотики получается система уравнений
sd(zo + л/szi + ...) = F:= -h(x,Уо + Jsyi + ...)[zo + J&h + ... -dx (7)
-ф(х,Уо + Jsyi + ...)]2 + sFi(x,Уо + Syi + ...,zo + Jsh + ..., s),
-f(yo + Jsyi + ...) = f :=f(x, yo + Jsyi + ..., zo + Jsh + ..., s). (8)
dx
Раскладывая правые части уравнений в ряды по степеням Vs и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Js в обеих частях каждого равенства, будем получать системы уравнений для нахождения коэффициентов zt ряда (5)' и коэффициентов y( аналогичного ряда для y(x, s). В нулевом приближении получаем систему
o = -h(x, yo)[zo - ф(x, yo)]2, ddy = f(x, yo, zo, o).
dx
Из первого уравнения находим
zo = ф(^ yo). Подставляя во второе уравнение, получаем
ddy = f(x, Уo,ф(x, yo), o). (9)
dx
К уравнению (9) нужно добавить начальное условие для у0 (х). Оно получается, как и в случае простого корня вырожденного уравнения (3), путем подстановки рядов (4) в начальные условия (2):
¿с(0) + 7^1 (0) + ... + 0) + г(0) + ... = I , Уо (0) + 7^1 (0) +... + Пу (0) + Тёпу 0) +... = /,
и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях 7б в обеих частях каждого равенства.
В нулевом приближении имеем
г>( 0) + П0 г (0) = г0, У0 (0) + Щу (0) = у0. (11)
Как и в случае простого корня вырожденного уравнения, ПоУ(0) оказывается равным нулю (это будет показано ниже), поэтому для у0 (х) получаем начальное условие
У0( 0) = /. (12)
Условие А3. Задача (9), (12) имеет решение у0 (х) на отрезке 0 < х < X. Зная у0 (х), находим г0 (х):
¿0 = ф(х, У0 (х)).
Условие А4. Справедливо неравенство к(х) := Н(х, у0 (х)) > 0, 0 < х < X.
Это условие наряду с другими обеспечивает погранслойный характер решения задачи (1), (2). В левой и правой частях равенства (7) нет членов порядка 4г . Приравнивая члены порядка б, а в уравнении (8) — члены порядка , получаем систему уравнений относительно ¿1 и у1:
к(х)(¿1 - фу(х)У1 )2 = (х) - , = /у(х)У1 + /г(х)¿1, (13)
х х
где фу (х) := фу(х, у0 (х)), Г1 (х) := ¥1(х, у0 (х), ¿0 (х), 0) и такой же смысл имеют обозначения /у(х) и /г (х).
Чтобы первое уравнение в (13) было разрешимо, потребуем выполнения следующего условия.
- -г
Условие А5. Справедливо неравенствор(х) := Г1 (х)--0 > 0, 0 < х < X.
х
При этом условии первое уравнение имеет два корня:
г - фу(х)У1 = ±[к 1 (х)р(х)]1/2 =: ± 1 к(х). (14)
Как будет видно из дальнейшего, для того чтобы решение задачи (1), (2) имело погранслойный характер, нужно взять положительный корень, т.е.
= фу(х)У1 + 1 к (х). (15)
Условие А5 показывает, что в случае двукратного корня вырожденного уравнения принципиальную роль в задаче (1), (2) играют члены порядка б, входящие в правую часть первого уравнения,
а именно, функция Т1 (х). Подставляя выражение (15) для г1 во второе уравнение (13), получаем
линейное дифференциальное уравнение относительно у1 (х):
= [ /у( х) + /г (х )фу(х)]У1 + / (х) к (х). (16)
ах 2
Для нахождения у1 (х) нужно задать начальное условие. Оно определяется из второго равенства (10) в результате приравнивания нулю членов порядка „/г в левой части этого равенства:
У1( 0) = -ПУ 0). (17)
Чтобы найти П1у(0), обратимся к системе уравнений для пограничных функций:
Шг = ПВ, 1 = П /. (18)
ОЪ б О Ъ
Из этой системы будем извлекать уравнения для функций П,г(Ъ) и П(у(Ъ), I = 0, 1, 2, ..., однако алгоритм формирования уравнений для этих функций будет существенно отличаться от известного для случая простого корня вырожденного уравнения алгоритма Васильевой, когда приравнивались коэффициенты при одинаковых степенях б в левой и правой частях каждого из равенств (18). Вводя наряду с переменной Ъ = х/е еще одну растянутую переменную ^ = х/л/6 = л/6 Ъ, и заменяя П рядом (6)' и Пу аналогичным рядом, запишем систему (18) в виде
(Пог + л/бП1г + ...) = -Н(Л^, Уо(т60 + 4~гу1 + ... + ПоУ + теП^ + ...)х
аЪ,
х [¿о^ТеС) + л/е¿1(л/еО + . + Пог + ТеП1 г + ... -ф(л/6<;,Уо(л/60 + ТёУ1 (^О + .■■ +
+ ПоУ + ТеП1у + ...)]2 + к(Тес,Уо(^О + Тёу1^7еС) + ...)[го(л/ёО + Те^^О + ... -- Ф^ТеС, Уо(Т60 + Те У1 (Л/60 + ..)]2 + еПВ,
--ОЪ (ПоУ+тё^У+.) = да Уо^тео + ^у1 (т6о+... +
6 а Ъ
+ По У + л/6п1У + ..., ¿о^л/6с) + л/6 ¿1(л/60 + . + Пог + ТеЩ г + ..., е) -
-/(ТеС Уо (Т6о ^Л/6У1^Л/6с) +..., ¿о^Л/6с) + Те ¿1(Л/6о + ..., е).
(19)
(20)
Правые части уравнений разложим в ряды по степеням л/6 . Если применить стандартный алгоритм, то из (20) получим уравнение
ОП- = о
О-Ъ ,
откуда, добавив стандартное условие на бесконечности:
ПоУ (ю) = о,
найдем Щу(Ъ) = 0, поэтому имеем Щу(0) = 0, и, тем самым, оправдано начальное условие (12) для функции Уо (х).
Из (19) по стандартному алгоритму получается уравнение
а По г
= -к(о)(Пог)2, Ъ> о, (21)
а ъ
а начальное условие для П^Ъ) находим из первого равенства в (11):
Пог( о) = г0 - ¿о (о). (22)
Не ограничивая общности, будем считать (с целью уменьшения громоздкости формул), что к (0) = 1. Чтобы решение задачи (21), (23) стремилось к нулю при Ъ —- ю (стандартное требование к пограничным функциям), необходимо потребовать, чтобы П0г(0) было неотрицательным. Введем более сильное
Условие А6. Пусть П0 := - го (0) > 0 (т.е. > ф(0, у0)). Отметим, что случай П0 = 0 требует отдельного рассмотрения.
При условии А6 решение задачи (21), (22) имеет вид
П0
П0 г (%) = -П—, (23)
П0% + 1
откуда следует, что П0г(^) —»- 0 при % —- да степенным образом (как —1— ).
1 + %
Однако, как показывает исследование, поведение решения задачи (1), (2) в пограничном слое имеет более сложный характер. Оказывается, что пограничный слой можно разделить на три зоны: в первой зоне пограничные функции убывают степенным образом так же, как функция (23), затем следует вторая (переходная) зона, в которой происходит изменение масштаба погранслой-ной переменной и характера убывания пограничных функций, и, наконец, в третьей зоне пограничные функции убывают экспоненциально как ехр(—к£) где ^ = л/ё% = х/л/ё — введенная выше растянутая переменная. Размеры этих зон мы уточним ниже.
Чтобы построить пограничные функции, имеющие описанное поведение, нужно изменить стандартный алгоритм формирования уравнений для пограничных функций следующим образом.
В правую часть уравнения (21) добавим член —2л/ё Л(0)П0г (см. (19)), где £(0) определено в (14), к(0) > 0. Уравнение для П0г примет вид
-П0г
=-[(П0г)2 + ТёкП0г], %> 0, (24)
а%
где к = к(0). Его решение с начальным условием (22) также находится в явном виде:
П г(%
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.