КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2015, том 53, № 4, с. 320-331
УДК 629.78:517.977
ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ТЯГИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ © 2015 г. А. В. Иванюхин, В. Г. Петухов
Научно-исследовательский институт прикладной механики и электродинамики, г. Москва
distantstar@nm.ru, vgpetukhov@gmail.com Поступила в редакцию 25.03.2014 г.
Рассматривается непрямой подход к оптимизации траекторий с конечной тягой, основанный на принципе максимума Понтрягина. Задачей оптимизации является вычисление минимальной величины тяги для перелета за заданное время между фиксированными точками при постоянной скорости истечения и постоянной мощности. Эта задача может использоваться для вычисления области существования оптимальной траектории с переключениями тяги: очевидно, что решение последней задачи существует, если величина минимальной тяги меньше или равна величине располагаемой тяги в задаче с переключениями. Предлагается метод вычисления оптимальных траекторий с конечной тягой, начинающийся с решения задачи минимизации реактивного ускорения с последующим численным продолжением по величине массового расхода к задаче минимизации тяги. Предлагаемый метод позволяет обнаружить вырождения, связанное с недостатком величины тяги или удельного импульса. Фактически, этот метод позволяет вычислить границы области существования траекторий с переключениями тяги и, таким образом, открывает возможность автоматизации решения задачи оптимизации траекторий с переключениями тяги.
DOI: 10.7868/S0023420615040044
ВВЕДЕНИЕ
Одной из фундаментальных проблем при решении задач оптимизации траекторий космического аппарата (КА) с конечной тягой является отстутствие теоремы о существовании решения. Эта проблема является одной из причин сложности построения устойчивых и эффективных численных методов оптимизации. В самом деле, в случае отсутствия сходимости численного метода оптимизации к искомому решению нет возможности определить, связано ли это с отказом самого численного метода или с отсутствием решения задачи оптимального управления. Поэтому задача численного определения области существования решения является актуальной, так как она открывает путь к созданию практически регулярных численных методов оптимизации траекторий КА с конечной тягой.
Рассмотрим типичную задачу оптимизации траектории перелета КА с конечной тягой, а именно задачу оптимизации гелиоцентрической траектории между двумя планетами в центральном ньютоновском гравитационном поле за фиксированное время Уравнения движения КА имеют вид:
йх/ & = V, (1)
& = Ох + ЬТ/т ■ е, = -6Д
где x — вектор положения КА, v — вектор скорости КА, t — время, т — масса КА, ^ = ц/г — силовая функция гравитационного поля, ц — гравитаци-
онный параметр Солнца, r = |x| — гелиоцентрическое удаление КА, S1 — функция тяги (81 = 1 при включенном двигателе и S1 = 0 при отключенном двигателе), T — величина тяги, e — единичный вектор в направлении вектора тяги, ß = T/с — массовый расход, c — скорость истечения. Предполагается, что тяга и массовый расход не регулируются, то есть они могут принимать или заданное максимальное, или нулевое значение.
В рассматриваемой задаче заданы начальный t0 и конечный tf = t0 + At моменты времени. Начальные условия имеют вид
X (*0) = XP10 (t0), v (¿0) = Vpi0 (t0), m (t0) = щ, (2)
а конечные — вид
X (tf ) = Xpif (tf), v (tf ) = vpif (tf), (3)
где xpI0, vpI0 — векторы положения и скорости планеты отправления, m0 — начальная масса КА, а xpIf, vpIf — векторы положения и скорости планеты назначения.
Задачей оптимизации является выбор функций управления e(t) и 81(t) динамической системой (1), обеспечивающих удовлетворение краевых условий (2), (3) и минимизирующих затраты рабочего тела:
tf
J0 = f8J3dt ^ min . (4)
J e(t),81(t)
t0
В этой работе для решения задачи оптимального управления (1)—(4) используется непрямой подход, основанный на применении принципа максимума Понтрягина. Следует отметить, что даже если известно, что решение задачи (1)—(4) существует, ее решение сопряжено со значительными трудностями, связанными с проблемой выбора начального приближения для управления (начальных значений сопряженных переменных). Эти трудности вызваны, в первую очередь, разрывами непрерывности в производных от невязок краевой задачи оптимального управления по этим параметрам управления при появлении или исчезновении в процессе решения новых (пассивных или активных) участков траектории. Способы преодоления таких трудностей известны [5], они заключаются в использовании последовательности сглаженных функций тяги, стремящихся в пределе к релейной функции 81(i). Кроме того, решение задачи (1)—(4) осложняется ее возможной многоэкстремальностью. Способы вычисления различных экстремалей, характеризующихся различным числом витков вокруг Солнца, предложены в [1—5]. Высокая чувствительность задачи (1)—(4) к вариациям параметров управления для современных численных методов обычно не приводит к существенным осложнениям при ее решении.
Область существования решения задачи (1)—(4) ограничена минимальными значениями тяги и скорости истечения. Действительно, для осуществления заданного перелета требуется некоторое конечное приращение характеристической скорости, для реализации которого за фиксированное время At = f — t0 требуется достаточная величина реактивного ускорения, а следовательно — и тяги. Так как обычно допустимый расход рабочего тела ограничен сверху:
>/
JSiPdt < трmax < щ, (5)
to
то величина массового расхода в должна быть достаточно малой, а следовательно — скорость истечения должна быть достаточно большой.
Более того, для каждого значения массового расхода в е [0; Ртах] существует минимальное значение тяги Tmin, при котором существует решение задачи (1)—(4), причем
Ртах = mpmax/At (6)
в случае, если 81(t) = 1. Очевидно, что именно этот случай непрерывно действующей тяги имеет место при перелете с минимальной тягой, так как при наличии пассивных участков на оптимальной траектории тяга может снижаться до их исчезновения.
Таким образом, существует зависимость минимальной тяги от массового расхода:
Гт1п(Р), в е [0; Ртах], (7)
причем решение задачи оптимального управления (1)—(4) существует при
Т(Р) > Гтш(Р), Р е [0; Ртах]. (8)
Условие (8) таким образом, определяет область существования решения задачи (1)—(4). Целью этого исследования является построение устойчивого (регулярного) численного алгоритма для определения границы области существования решения (7). После ее вычисления можно определить соответствующую параметрическую зависимость минимальной тяги Тт1п от располагаемой скорости истечения с с учетом соотношения
С = Ттп(Р)/Р, С е [Стп; «]. (9)
Впервые предлагаемый подход к вычислению границы области существования решения задачи (1)—(4) был предложен в работе [6]. В настоящей работе приводится подробное описание методов построения границы области существования решений на плоскости "скорость истечения-тяга" и изолиний минимальной тяги и характеристической скорости на плоскости "дата старта-длительность перелета".
1. МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ
Рассмотрим задачу минимизации величины тяги для перелета за заданное время между фиксированными точками. Эта задача двойственна задаче оптимального быстродействия, но условие трансверсальности используется для вычисления величины тяги вместо вычисления длительности перелета. Решение задачи минимизации тяги соответствует траектории оптимального быстродействия для величины тяги, обеспечивающей перелет за заданное время. Легко показать, что задача минимизации тяги является гладкой ввиду отсутствия переключений тяги и фиксированных граничных условий даже для случая движущихся начальной и конечной точек (например, планет), так как начальное и конечное времена фиксированы. Эта задача может использоваться для вычисления области существования оптимальной траектории с переключениями тяги (1)-(4) в пространстве проектно-баллистических параметров {т0, Т, с, ?0, А?}.
1.1. Задача минимизации реактивного ускорения. К сожалению, задача минимизации тяги сама имеет ограниченную область существования, ограниченную требуемой массой рабочего тела. Поэтому построение границы области существования решения начнем со случая Р = 0 (нулевой массовый расход, бесконечный удельный им-
пульс). Этому случаю соответствует перелет с постоянной массой КА т0, а, следовательно, и с постоянным реактивным ускорением а = Т/т0. Рассмотрим задачу минимизации величины этого реактивного ускорения. Очевидно, что решение этой задачи существует для любых невырожденных краевых условий.
Ввиду постоянства реактивного ускорения на активных участках траектории имеется определенная свобода в выборе функционала задачи оптимального управления, минимизирующего величину этого постоянного реактивного ускорения. Так как время перелета фиксировано, а реактивное ускорение а постоянно, то условие минимума а совпадает с условием минимума функционала
11 = - |а 2dt.
(10)
Уравнения движения КА с постоянным реактивным ускорением имеют вид:
йх/dt = V, dv/dt = Ох + 8-ае. (11)
Начальные условия имеют вид
х (?0) = хрЮ (?0), V (?0) = vpl0 (?0) , (12)
а конечные — вид
х (tf) = х ), V ) = V р1/ ). (13)
Применяя принцип максимума к задаче (10)— (13), определим гамильтониан
Н = -а2 /2 + ру V + р^ х + З-ар^е,
(14)
где px, pv — переменные, сопряженные к радиус-вектору и вектору скорости КА соответственно.
Из условия максимума гамильтониана (14) по e и 81 получим оптимальное управление:
e = Pv/Pv, 81 = 1,
(15)
где рч =|pv|.
Подставляя управление (15) в (14), получим выражение для оптимального гамильтониана
Н = -а2 /2 + р^у + р^О х
+ apv,
(16)
которое приводит к следующей системе дифференциальных уравнений оптимального движения КА:
"х/Л = ', dVdt х + а £ • (17)
dpJdt = -ПxxPv, dpv/dt = -рх.
Чтобы получить условие для определения минимального значения реактивного ускорения, рассмотрим расширенный функционал:
/* = Ц^а2¡2 + ру (йх/dt - V) +
к
+ рУ (1 dt -Ох - 8-ае)]]dt.
(18)
Минимальное значение реактивного ускорения можно получить из условия равенства нулю вариации этого фун
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.