МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА < 3 • 2008
УДК 532.546
© 2008 г. Н. Н. СМИРНОВ, В. Р. ТАГИРОВА
ЗАДАЧА О РАСПРОСТРАНЕНИИ ТРЕЩИНЫ ГАЗОВОГО РАЗРЫВА
В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
Исследована задача о формировании трещины газового разрыва в пористой среде. Рассмотрено безынерционное течение вязкого политропного газа вдоль трещины. Предположение о малой ширине трещины относительно ее высоты и длины позволяет принять гипотезу вертикальных плоских сечений, на основе которой зависимость давления газа внутри трещины от ее ширины сводится к линейному закону. Окружающий трещину грунт изначально пропитан нефтесодержа-щей жидкостью. При разрыве пласта газ проникает в толщу грунта и вытесняет жидкость. Построена замкнутая система уравнений, описывающая эволюцию раскрытия трещины, глубины проникания газа в пласт и скорости газа внутри трещины. Рассмотрены предельные режимы просачивания газа в окружающий пласт, для каждого из которых представлено однопараметриче-ское семейство автомодельных решений системы. В окрестности носика трещины исследована асимптотика решения и получены аналитические выражения для длины трещины. Приведено сравнение решения задачи о газовом разрыве с задачей гидроразрыва в аналогичной постановке в рамках гипотезы плоских сечений.
Ключевые слова: автомодельность, трещина газового разрыва, гидроразрыв, фильтрация, вязкий политропный газ.
Технология газового разрыва применяется в нефтегазовой индустрии для повышения продуктивности скважины. Наиболее распространенный способ повышения эффективности нефтеотдачи - гидравлический разрыв пласта [1]. Однако относительная простота эксплуатации трещины, образованной газом, приводит к необходимости исследовать иной способ формирования трещин в пласте, а именно газовый разрыв. Применение технологии газового разрыва в нефтесодержащем пласте решает также проблему просачивания внутрипластовой жидкости в трещину при ее выкачивании, поскольку процесс вытеснения газа жидкостью устойчивый.
Теоретическому исследованию проблемы образования трещины под действием газа посвящен ряд работ [1-10]. Альтернативная гидроразрыву технология - обработка скважины дозированным взрывом рассматривается в обзоре [2]. В [3] сравнивается технология формирования трещины обычным взрывом, дозированным взрывом и гидроразрывом на примере Девонширской скважины. Показано преимущество технологии гидроразрыва и дозированного взрыва перед обычным взрывом при формировании трещины в пласте с анизотропной проницаемостью. В [4, 5] экспериментально исследовано распределение давления по стволу скважины и в породе на примере плексигласовой модели. В работе [6] рассматривается совместная задача о деформации среды и течения газа внутри трещины, образуемой при взрыве пласта, и приводится сравнение численных расчетов с точными автомодельными решениями [7-9]. В работах [9-11] рассмотрено движение изотермического газа вдоль плоской трещины. В [10] трещина распространяется под действием газа, движущегося из подземной полости, утечка газа в пористые стенки трещины не учитывается. Газ, проникающий из подземной полости в трещину, способен в десятки, сотни раз увеличить длину трещины [12]. Распространение сжимаемого газа в трещине с непроницаемыми стенками изучено в [11]. Расклини-
вание звездообразной трещины потоком изотермического невязкого газа исследовано в [13].
В данной работе исследуется плоская задача о распространении трещины в пористой среде под действием вязкого политропного газа с учетом его проникания и вытеснения внутрипластовой жидкости в глубь пласта в рамках РКК-модели [14, 15]. Скорость движения газа в трещине полагаем малой, зоной смешения газа с нефтесодержащей жидкостью в грунте пренебрегаем. Предложено сравнение с решением автомодельной задачи гидроразрыва пласта [16] на основе длины трещины.
1. Постановка задачи. Рассмотрим вертикальную трещину постоянной высоты к, симметричную относительно плоскостей хг и уг (фиг. 1). Средняя ширина трещины 5 (Г, х) много меньше ее высоты к и длины Ь(Г): 5 < к < Ь. Данное предположение допускает применение гипотезы плоских сечений, согласно которой напряженное состояние в двух соседних сечениях, перпендикулярных линии распространения трещины, не зависит друг от друга.
Введем следующие обозначения: 5(Г, х) - осредненная по высоте ширина трещины; и(£, х) - осредненная по ширине скорость газа внутри трещины; р(Г, х) - плотность газа; Р(?, х) - избыточное давление газа внутри трещины; и (Г, х) - скорость оттока газа в стенки трещины, направленная перпендикулярно линии распространения трещины; Г(Г, х) -глубина просачивания газа в пласт, отсчитываемая от берега трещины.
В уравнении неразрывности учтем отток массы жидкости сквозь стенки трещины, принимая периметр стенок трещины в вертикальном сечении равным 2к. В уравнении движения вязкого газа вдоль узкой длинной трещины пренебрежем инерционными чле-
нами. Зависимость давления от плотности политропного газа запишем по адиабатическому закону
Эр5 dpgu ~ п dP l2Mg п , у ,л л\
+ -ц— + 2 ри =0, г— =---- u, P = d р (1.1)
д t дх dx g2
где - динамическая вязкость газа, у - показатель адиабаты, d = const.
Граничные условия в начале трещины х = 0 определяются либо заданным расходом газа, либо его давлением соответственно
Q(t, 0)/Qo = А(t), P(t, 0)/Po = A(t) (1.2)
Здесь A(t) степенная функция ta либо экспоненциальная eat, Q0, P0 - заданные размерные константы, a - параметр задачи.
В конце трещины х = L(t) выполняются условия:
5(t, L) = 0, Г(t, L) = 0,
dx
= (1.3)
: = l
Окружающий пласт положим упругой и пористой средой. В силу гипотезы плоских сечений давление в упругой трещине сводится к линейной функции от ширины трещины [17]
р(X) = ЬЫ, х), Ь = (1.4)
где Уа - коэффициент Пуассона, - модуль сдвига среды.
Рассмотрим вертикальное сечение трещины для каждого фиксированного х. Определим ь^, у) как скорость фильтрации газа в грунте, (:, у) - скорость фильтрации неф-тесодержащей жидкости, Ру(:, у) - избыточное давление нефтесодержащей жидкости в пласте, ^ - динамическая вязкость нефтесодержащей жидкости, к - коэффициент проницаемости грунта, поделенный на его пористость.
Сжимаемость газа при фильтрации в грунте положим несущественной. Вязкость нефтесодержащей жидкости много больше вязкости газа, что позволяет пренебречь перепадом давления газа в зоне проникания его в грунт.
Учитывая, что форма трещины ближе к вытянутому эллипсоиду с различными полуосями Ь, Н/2, 5/2, решение по направлению фильтрации газа в грунт вдоль у может быть представлено в виде ь^, X) = ФпЬ5Ну'(Х)/4 [18, с. 132]. Для этого использована аналогия потенциала скорости истечения несжимаемой среды из некоторого объема с гравитационным потенциалом тела этого же объема, так как оба потенциала удовлетворяют уравнению Лапласа и однотипным граничным условиям.
Здесь X - эллипсоидальная координата внешней точки по отношению к трещине; Ф -константа, характеризующая потенциал; '(X) - интеграл, выражаемый через разность
эллиптических интегралов 3-го и 1-го рода с модулем к0 = лЛ - (Н2 - 52)/(4Ь - 52) и параметром единица
'(Х)-"'( 52 /4 " ) -/2 ( , /4 ) -/2 = 7СТ[^^ - к.)]
Х(5 /4 + ^) (Ь + ^) (Н /4 + ^) (Ь - 5 /4)
x2 у2 z L - 52/4
1-+ 2-+ ^- = !, X = —2-
L + X 52/4 + X h /4 + X V L+ X
Од) = С(Х).^ ((^) + Т
Введем функцию С(Х) . (52/4 + X)3/2¡(X). Поскольку Н ^ Ь, то можно положить к0 ■ Тогда ¡(X) выражается через элементарные функции, и С(Х) имеет вид
2 3/2 , ,
2х3 ^ ^ + ы 1-X2
Данная функция монотонно возрастает с X и ограничена сверху 2/3. Разлагая С(0) при малых значениях 5/(2Ь), получим С(0) ~ 5/(2Ь).
Из определения X в силу выбора полуосей эллипса 5 ^ Н ^ Ь положим 52/4 + X = у2, тогда =
ФлLН5C(X)/(4y2). На границе с трещиной X = 0 скорость фильтрации газа равна скорости оттока газа из трещины ^(г, 5/2) = и(г), отсюда определим
а и5 и52 С^) ,л _
и = -, и =---—- (15)
пЬНС( 0)' * 4 у2 С( 0) ^ '
Примем жидкость, вытесняемую газом, несжимаемой, а ее движение в пласте подчиняющееся закону Дарси. По аналогии со скоростью оттока газа скорость жидкости V/ ~ 1/у2, коэффициент пропорциональности определяется из равенства скоростей на границе вытеснения жидкости газом ив(г, Г) = г/(г, Г).
у = и5 ад ЭР/ = Ц/ ^ (16)
и = 4у2 С ( 0)' Эу=- к и (1.6)
На фронте вытеснения газом жидкости выполняется равенство давлений газа и неф-тесодержащей жидкости, а скорость вытеснения определяется изменением глубины просачивания газа со временем.
у = Г: Р/(и Г) = Ь5, V/(и Г) = ду (1.7)
Функция С^) монотонная и ограничена, следовательно, интегрируема, тогда воспользуемся теоремой о среднем для интеграла от произведения С^/у2. Из (1.6), (1.7) следует
2 — 2
Р = Ц/и5 [ С( X ( у)) = Ц/ и5 С(Xo )
4кС(0)1 у2 у 4кГ С(0)
г у
(1.8)
Г „ C(XГ) 2 Ь С(^) лт
X,:, 6
«г, ,, о, - 5 - С(0) 35
Из (1.4), (1.7), (1.8) получим скорость оттока газа из трещины и уравнение для глубины просачивания газа
= 4кЬГ С(0 ) ЭГ = кЬ5 С(X,) (19)
и Ц/ 5 С(Xo ), Эг Ц/Г С ( Xo ) ( . )
Таким образом, задача о распространении трещины газового разрыва в пористой среде описывается уравнениями (1.1), (1.4), (1.9) и граничными условиями (1.2), (1.3). 2. Безразмерный вид системы. Введем безразмерные параметры задачи:
х К 5* К Н к Г* С С(^) С C(Xo) х = Ь*, К1 = Ь*, К 2 = L*, К 3 = L*, 4 = С(07, С = СОТ)
Здесь Ь* - характерная длина трещины, параметры К1, К2 задаются как априорные данные по месту разработки скважины (например, Ь* ~ 50 м, К ~ 10-2, К2 ~ 10-1). Пара-
метры C1, C2 определяются формой трещины, 1 < C2 < C1 < 4/(3K1), так как C(0) = K1/2.
Для сферической трещины C1 = C2 идальной трещины Хг ^ «>, C1 ~ 4(3K1) и C2
5 ^ Г ^ P
1. При большом удалении от поверхности эллипсо-1. Тогда
5 =
К1 L *'
Г =
K 3 L*'
P _
ЪК1 L *
t _t-
_ и_ - Q _ Q
_ М*' V _ и*' Q _ Q*
р _ р
2
1/Y t * _ ^/£2Кз
ЪК1 L *
кЪ К
L*
м* _
3 2
ЪК3( L * )2
и* _
4кЪК3
/К'
Q *_
4 4
ЪК2 К 4 (L * )4
где Г* - характерное время всего процесса закачки газа в скважину, и* - характерная скорость газа внутри трещины, 2* = й5*и* - характерный масштаб объемного расхода газа, поступающего в трещину, и* - характерная скор
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.