ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 3, с. 138-153
= СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖУЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
УДК 629
ЗАДАЧА О ВСТРЕЧЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ НЬЮТОНОВСКОМ ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ УПРАВЛЯЕМОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С НЕУПРАВЛЯЕМЫМ КОСМИЧЕСКИМ АППАРАТОМ, ДВИЖУЩИМСЯ ПО ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КЕПЛЕРОВСКОЙ ОРБИТЕ*
© 2007 г. Ю. В. Афанасьева, Ю. Н. Челноков
Саратов, Институт проблем точной механики и управления РАН Поступила в редакцию 28.02.06 г.
Рассматривается задача о встрече в центральном ньютоновском гравитационном поле управляемого космического аппарата с неуправляемым космическим аппаратом, движущимся по эллиптической кеплеровской орбите. Задача формулируется как задача оптимального управления движением центра масс управляемого космического аппарата с подвижным правым концом траектории и решается на основе принципа максимума Понтрягина. Для описания ориентации мгновенной орбиты космического аппарата используется новый кватернионный оскулирующий элемент орбиты, заменяющий собой три классических угловых элемента орбиты КА. Получены необходимые условия оптимальности; найдены первые интегралы системы уравнений краевой задачи принципа максимума; предложены преобразования, понижающие размерность системы дифференциальных уравнений краевой задачи (без их усложнения); дан анализ предлагаемого решения; приведены примеры численного решения задачи.
Введение. Для решения задачи о встрече управляемого космического аппарата (КА) с неуправляемым используется новая модель движения центра масс КА, предложенная в работе [1]. Эта модель содержит в своем составе дифференциальное уравнение для истинной аномалии и кватернион-ное дифференциальное уравнение ориентации орбиты КА. Эти уравнения удобны тем, что, во-первых, они позволяют рассматривать общую пространственную задачу оптимального управления движением центра масс КА как композицию двух взаимосвязанных задач: управление формой, размерами орбиты КА и его положением на орбите и управление ориентацией орбиты КА; во-вторых, они позволяют эффективно решать задачу оптимальной переориентации орбиты КА как самостоятельную задачу теории управления орбитальным движением КА. Такими же достоинствами (по сравнению с уравнениями в декартовых координатах) обладают и классические уравнения движения центра масс КА в оскулирующих элементах. Однако входящие в их состав уравнения ориентации орбиты в угловых оскулирующих элементах содержат особую точку, в которой угол наклона орбиты равен нулю, и включают к тому же большое количество тригонометрических функций, что приводит при решении задач оптимального управления с помощью принципа максимума к громоздким сопряженным уравне-
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект < 05-01-00347).
ниям. Используемая нами для описания ориентации орбиты КА кватернионная переменная является кватернионным оскулирующим элементом, а соответствующее ей кватернионное дифференциальное уравнение ориентации орбиты не содержит указанной особой точки и обладает свойством самосопряженности, что позволяет существенно упростить дифференциальные уравнения краевой задачи оптимизации.
Введение кватернионов в уравнения движения центра масс КА может быть осуществлено с помощью записи этих уравнений во вращающейся системе координат п, одна из осей которой (п1) направляется вдоль радиуса-вектора КА. Использование вращающейся системы координат порождает семейство различных моделей описания орбитального движения КА [2], отличающихся видом скоростных переменных. Разнообразие моделей представления движения центра масс КА обусловливается также наличием в соответствующих исходных уравнениях, записанных во вращающейся системе координат, произвольно задаваемого параметра, имеющего смысл проекции ю1 угловой скорости вращающейся системы координат ю на направление радиуса-вектора КА. Наиболее часто применяются два способа задания вращения системы координат п вокруг радиуса-вектора КА. В первом из них проекция ю1 полагается равной нулю, во втором ось п3 направляется вдоль вектора момента скорости КА, вычисленного относительно центра гравитационного поля, а ось п1 по-прежнему - вдоль радиуса-вектора КА.
В работе для построения оптимального управления и траектории движения КА в центральном ньютоновском гравитационном поле рассматривается модель движения КА, соответствующая второму случаю выбора вращающейся системы координат. Фазовыми переменными в этой модели являются модуль радиуса-вектора КА, его первая производная по времени, модуль вектора момента скорости КА, а также полярный угол (истинная аномалия) и компоненты кватерниона ориентации мгновенной орбиты КА, имеющего, как уже указывалось, смысл кватернионного оскулирующего элемента орбиты КА.
Отличие предлагаемого решения задачи - использование в качестве фазовых переменных истинной аномалии и кватернионного оскулирующего элемента, характеризующего мгновенную ориентацию орбиты КА, тогда как ранее [1] рассматривалась модель с учетом обобщенной истинной аномалии КА и кватернионного оскулирующего элемента, описывающего ориентацию мгновенной плоскости орбиты КА и положение обобщенного перицентра на орбите.
1. Уравнения движения центра масс космического аппарата. Движение КА как материальной точкой В переменной массы изучается в системе координат ОХХХ3(Х с началом в центре притяжения О. Координатные оси этой системы координат параллельны осям инерциальной системы координат. Управляемое движение КА в центральном ньютоновском поле сил тяготения описывается уравнениями [3]
d 2r/dt2 + fMr/r3 = p, p = (T/m)e = -(a*/m)(dm/dt)e, dm/dt < 0,
(1.1)
где 1х, 12, 13 - орты гиперкомплексного пространства (векторные мнимые единицы Гамильтона),
Хр у = 0, 3 , - компоненты кватерниона ориентации 1 (параметры Родрига-Гамильтона (Эйлера)), одинаковые в базисах х и п.
Обозначим через ак, ск, рк, к = 1, 2, 3, проекции вектора абсолютной угловой скорости ю системы координат п, векторов V, с и р на оси системы координат п. Рассмотрим кватернион Л°г ориентации мгновенной орбиты КА в системе координат X [5]
ЛОГ 1 ОГ . . ОГ. . . ОГ. . » ог-
= Ло + Л] 11 + Л212 + Лз 1з =
= 1 ° [СО8(ф^/2) - 1з 8Ш(ф(г/2)],
где ф1г - истинная аномалия управляемого КА [6].
Запишем уравнения движения КА в переменных г, с = |г X VI, ф(т, ЛОг,у = 0, 3 [1]
V; = С г - — fMГ2 + Р1, Г = Vс = ГР2, (1.2)
ф4г = cr + r(c - fMr) cos ф4г x
x (cp1cos ф4г-(c + fMrc 1) p2sin ф4г)
2 (Лог) = Л°
W,
(1.3)
(1.4)
где r - радиус-выектор КА, проводимый из центра притяжения r = |r|, f - гравитационная постоянная, M - масса притягивающего тела, p - вектор реактивного ускорения (управление), T = Те -вектор реактивной тяги, m = m(t) - масса КА, е -орт вектора тяги, a* - постоянная скорость истечения газов из сопла реактивного двигателя. Предполагается, что величина реактивного ускорения ограничена
0 < Р < Pmax <~, Р = Ipl •
Введем систему координат П 1П2П3(П) с началом в точке B. Ось п1 этой системы координат направлена вдоль радиуса-вектора r, а ось п3 - вдоль вектора момента скорости КА c = r х r = r х v, где v - вектор скорости КА. Угловое положение системы координат п в системе координат X будем задавать нормированным кватернионом поворота [4]
1 = ^0 + ^lM + ¡2 + ¡3,
llll2 = ^0 + ^2 + ^2 + ^3 = i,
W^ — + + 13 —
= rc~l Рз (cos ф^-11 + sin ф1г 12) -
2 -1 - r(c - fMr) cosф4г(cp1 cos ф4г -
- (c + fMrc^sinф1г) 1з,
где W^ - вектор абсолютной угловой скорости новой вращающейся системы координат имеющей начало в перицентре П мгновенной орбиты управляемого КА.
Ось системы координат ^ направлена вдоль радиуса-вектора перицентра, а ось параллельна вектору c момента скорости центра масс КА (оси п3). Система координат п может быть получена (при совмещении центра масс КА с точкой П) из системы координат ^ ее поворотом вокруг оси на угол ф1г, определяемый дифференциальным уравнением (1.3), Л°г - кватернион ориентации системы координат Уравнения движения центра масс КА (1.2) записаны во вращающейся системе координат п, а (1.4) - в новой вращающейся системе координат Переход от векторного уравнения (1.1) к уравнениям (1.2)-(1.4) описан в [1, 2, 5].
Кватернионная переменная Л°г имеет смысл кватернионного оскулирующего элемента орбиты КА: при равенстве нулю вектора управления (или возмущения) p величина Л°г = const. Эта переменная заменяет собой три угловых элемента орбиты, характеризующих ориентацию мгновен-
о
ной орбиты КА в пространстве: долготу восходящего узла, наклон орбиты и угловое расстояние до перицентра.
Отметим недостаток уравнений (1.2)-(1.4): они, как и выражения в классических оскулирующих элементах, содержат особую точку, в которой эксцентриситет орбиты равен нулю так как с2 - Мт = 0. От этого недостатка свободны уравнения, записанные с использованием другого кватернионного оскулирующего элемента орбиты, приведенные в [1]. Однако они не позволяют в полной мере реализовать концепцию решения общей задачи оптимального управления орбитальным движением КА как композицию двух задач: 1) управление формой, размерами орбиты и положением КА на орбите и 2) управление ориентацией орбиты КА. Кроме того, они не допускают решения задачи управления ориентацией орбиты КА в отдельности.
2. Постановка задачи оптимального управления. Поставим следующую задачу о встрече упра-вялемого КА с неуправляемым, движущимся по эллиптической орбите: требуется построить ограниченное по модулю управление р
0 < Р < Ртах , Р = 1р1, (2.1)
переводящее КА, движение центра масс которого описывается уравнениями (1.2)-(1.4), из заданного начального состояния
Го = 0, т(0) = т0, V! (0) = V0, с(0) = с0,
_ (2.2)
ф1г(0) = ф°г, л;(0) = (л;г)0, у = 0, з,
в конечное, удовлетворяющее соотношениям
т (Гк) = т * (Гк) = р */( 1+ е *со8 ф*), V 1( Гк) = V * (Гк) = (е* с */р*) 8Ш ф**, с (Гк) = с * ((Д
А1 = Л0г(Гк)Л* - Л0г(Гк)Л*-- л2г (Гк )Л*+ л0г (Гк )л* = 0, А2 = Л0г( Гк)Л* + Л0г( Гк)л* -- л2г (Гк )л* - л0г (Гк )л* = 0, .
Аз = Л0г( Гк )Л*- Л0г( Гк )Л* + + Л0г (Гк )л* - Л3г (Гк )Л* = 0
и минимизирующее функционал
Гк
J = |( 1 + ар2(Г))йГ, а = С0И81 > 0. (2.5)
0
В поставленной задаче характеристики орбиты неуправ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.