Автоматика и телемеханика, № 8, 2015
Нелинейные системы
© 2015 г. Р.К. ТАГИЕВ, д-р физ.-мат. наук (r.tagiyev@list.ru), С.А. ГАШИМОВ, канд. физ.-мат. наук (s.hashimov@list.ru) (Бакинский государственный университет)
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ФАЗОВЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ
Для задачи оптимального управления коэффициентами параболического уравнения изучены вопросы корректности постановки в слабой топологии пространства управлений. Доказано, что в рассматриваемой задаче функционал цели снизу ограничен, множество оптимальных управлений не пусто и любая минимизирующая последовательность слабо сходится ко множеству оптимальных управлений. Установлено необходимое условие оптимальности в форме обобщенного правила множителей Лагранжа.
1. Введение
Задачи оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных, встречаются в различных приложениях. Среди этих задач особый интерес представляют задачи, в которых управления входят в коэффициенты уравнений для состояний, в том числе в коэффициенты при старших производных. При исследовании таких задач оптимального управления возникает ряд трудностей, связанных с сильной нелинейностью и некорректностью [1—5].
Задачи оптимизации с управлениями в коэффициентах параболических уравнений встречаются при оптимизации процессов теплофизики, диффузии, фильтрации и др. Такие задачи возникают также при решении коэффициентных обратных задач для параболических уравнений, рассматриваемых в вариационных постановках [6-8].
В [1, 4, 8-20] и др. изучены задачи оптимального управления коэффициентами параболических уравнений. Такие задачи наиболее мало изучены при наличии фазовых ограничений [12] и в случаях, когда управляющие коэффициенты принадлежат пространствам Соболева и пространствам Лебега с конечными индексами суммируемости [19, 20].
В настоящей работе рассматривается задача оптимального управления с нелинейным критерием качества для линейного параболического уравнения при наличии фазовых ограничений. Управляющие функции входят в коэффициенты уравнения состояния и являются элементами пространства Соболева и пространства Лебега с конечными индексами суммируемости. Ис-
следованы вопросы корректности постановки задачи, и установлено необходимое условие оптимальности в форме обобщенного правила множителей Лагранжа.
2. Постановка задачи
Пусть О С Еп - ограниченная область, 5 - граница области О, которая предполагается непрерывной по Липшицу, х = (х\,... ,хп) - произвольная точка области О, 0 < Т - заданное число, 0 < £ < Т, От = О х (0, Т], вт = = Б х (0,Т]. Обозначения, используемые в работе для функциональных пространств, соответствуют [21, с. 12-17]. Нормы в пространствах Ьз(О), Ьз(От) (5 > 1), Ш2,(О), ) (1 < Р < оо), (От) обозначаются через У ■ Ц^п,
У' Нз^т, У' 11(1П, У' \\PpQT, У' У^'От соответственно. Положительные постоянные, не зависящие от оцениваемых величин и допустимых управлений, обозначаются через М) (з = 1,2,...).
Пусть управляемый процесс описывается в От следующей начально-краевой задачей для линейного параболического уравнения:
п
(1) щ (кг (х,ь) пХ1 )х; + ч (х,ь) и = / (х,ь), (х,ь) е От,
г=1
(2) и|зт =0, Ч=0 = <Р (х) , х е
О
1
где р(х) е Ш1(О), /(х,Ь) е Ь2(От) - заданные функции, к(х,Ь) = (к1(х,Ь),... ..., кп(х, Ь)), д(х, Ь) - управляющие функции, у(х, Ь) = (к(х, Ь),д(х, Ь)) - управление, и = и(х,Ь) = и(х,Ь^) - решение задачи (1), (2) - состояние процесса, соответствующее управлению V = ь(х,Ь). Пусть
п
В = П (От) х Ьа (От)
г=1
- пространство управлений, где рг > п + 2 {г = 1,?г) при ?г > 1, « > 2 при п = 1 и п = 2, в > (п + 2)/2 при п > 3. В пространстве В введем множество допустимых управлений
п
(3) V = Ц КгХО,
г=1
где
(4)
Кг = {кг (х, Ь) е Шр,;1 (От) : 0 < иг < кг (х, Ь) < ^г п.в. на От,
11кгХ] ||р. дт < {з = М1) , 11ки|,дт < (к} (г = М1) ,
^ ИPi,Qт
(5) О = [ч (х,Ь) е Ь8 (От): |ч (х,Ь)1 < р п.в. на От} .
Здесь р > 0 (1,3 = 1,?г) - заданные числа, п.в. — почти всю-
ду. 28
Поставим следующую задачу оптимального управления: среди всех допустимых управлений V = (к(х,Ь), д(х,Ь)) € V, удовлетворяющих ограничениям
(6)
(V) = У Fl +
Ят
= 0, I = 1о + 1, 1о + 11,
найти управление v^(x,t) = (k^(x,t), q^(x,t)) € V, минимизирующее функционал
(7) ,10(и) = J F0(x,t,u(x,t,v),k(x,t))dxdt + ^ G0(x,u(x,T,v))dx,
Ят
где t, и), и) (I = 0, ¿о + Н) - заданные функции, удовлетворяющие условиям Каратеодори в областях Qт х Я х и, О х Я соответственно, т.е. измеримы по (ж, € х € П и непрерывны по г/, € Е, р € и, здесь {/ = {& = = (^1,..., € _Е(г : щ < ^ < /Лг (г = 1, ?г)} - область значений управления к{) = (к^, {),..., кп(^, {)).
Под решением краевой задачи (1), (2), соответствующим управлению v = и^^) € V, будем понимать обобщенное решение из пространства
V21'1/2(Qт), т.е. функцию и = ииз ), удовлетворяющую ин-
тегральному тождеству
(8) I ( —ищ + к^их,1 + qurq^dxdt = J р^п^, 0)с^ + ^ /пdxdt
Ят 4 1-1 'о Ят
о 11
при любой функции п = П^^) € Ш2' ^т), равной нулю при I = Т.
3. Корректность постановки задачи
Рассмотрим вопросы корректности краевой задачи (1), (2) при заданном управлении v(x,t) € V. Из результатов [21, с. 181-189, с. 203-212] следует, что при сделанных предположениях краевая задача (1), (2) при заданном v(x,t) €
€ V имеет единственное обобщенное решение из v}L''1/2 (Qт), оно принадлежит
2 1 2 1 о 1 0
пространству Ш2 0
при почти всех ^^) € Qт, его след при t = 0 совпадает с р ^) и справедлива априорная оценка
(9) \\иШТ < М1 \\/1|2'Ят +
(1)
12' Ят + \\Р\\2 'О
Используя оценку (9) и рассуждая аналогично [19], можно показать, что для решения краевой задачи (1), (2) справедливо неравенство
(10)
и
\т1,Ят + \\и'ЛтзДт + \\и(х,Т,у)\\г2,П < М2
2 , Яг
+
(1)' 2 ,П
в котором числа Г1, Г2, гз удовлетворяют условиям
г1 = ж, г2 = ж при п = 1, г1 € [2, ж) , г2 € [2, ж) прип = 2,
(11)
< 2(п + 2) 2п
Г1 = -—, Г2 = -- при??, > 3,
Гз =
п - 2 ' 2(п + 2)
п
п-2 при п > 1.
Для изучения вопроса корректности постановки задачи оптимального управления (1)—(7) предполагаем, что выполняются условия:
1) существуют такие функции а (х, Ь) € Ь1(От), Ь(х) € Ь1(Л) и постоянные М3, М4 > 0, что при почти всех (х, Ь) € От, х € Л и для любых и € К, к € V имеет место
| Ц (х, t, и, к)\<а, (х, + Мз |г/,|г1 , | Сг (х,и)\ <Ь(х)+М4 \и\г^ (1 = 0,1о+к), где г* и г* - некоторые числа, удовлетворяющие условиям г* € [2, ж), г* € [2, ж) при п = 1 и п = 2, г* € [2, 2(п + 2)/(п - 2)) , г) € [2, 2п/(п - 2)) при п > 3;
2) множество допустимых управлений, удовлетворяющих ограничениям (6), не пусто, т.е.
1¥ = {у{х,1) € V : Ми) < 0 {I = 1,10), ,Цу) = 0 {I = 10 + 1,10 + к)} /0-
Из условий 1) и оценки (10) следует, что операторы, порожденные функциями ^(ж, г/,(ж, г;), ¿)), С1(х,и(х,Т,у)) (I = 0,1о + к), действуют из Ьг* (От) х К, Ьг* (Л) в Ь1(От), Ь1(Л) соответственно [22, с. 376], где К = = К1 х ... х Кп. Отсюда следует, что функционал ^(у) определен на Ш и принимает конечные значения.
Для корректности постановки задачи (1)-(7) сформулируем теорему.
Теорема 1. Пусть выполнены условия при постановке задачи (1)-(7) и условия 1), 2). Тогда множество оптимальных управлений задачи (1)-(7)
Ш* = {У*(Х,Ь) € Ш : ^(У*) = = Ы{МУ) : У € Ш}}
непусто, Ш* слабо компактно в В и любая минимизирующая последовательность {у(т)(х,Ь) = (к(т)(х, Ь), д(т)(х, Ь))} С Ш функционала ,10(у) слабо в В сходится к множеству Ш*.
Замечание 1. Из теоремы 1 следует существование решения задачи (1)-(7). Однако, как показывает следующий пример, решение задачи (1)-(7) может быть неединственным.
Пример 1. Пусть в задаче (1)-(7) n = 1, T = 1, ü = {x € R: 0 < x < 1},
v1 = 1, ¡i1 = 2, d1 = 1, d1 = 1, p = n2 + 1, l0 = 1, l1 = 0, f (x,t) = 2n2 sin irx, ^>(x)=sinnx, F0(x,t,u,k) = (u — sinnx)2, Go(x,u)=0, F1(x,t,u,k)= u — 2¡n, G1(x, u) = 0.
Тогда нетрудно проверить, что минимальное значение функционала Jo(v)
достигается на управлениях v(1)(x, t) = (^(x, t) = 1, q(1)(x, t) = n2), v(2)(x, t) =
= (k(2 (x,t) = 2,qf\x,t) = 0) и Jo(v(1) ) = Jo(v(2) ) = Jo * = 0, u(x,t,v(1) ) = (2)
= u(x,t,v* ) = sinnx, x € ü, 0 <t <T, т.е. решение задачи (1)-(7) неединственно.
Замечание 2. Из теоремы 1 следует, что задача (1)-(7) корректно поставлена в слабой топологии пространства B. Однако, вообще говоря, эта задача некорректна в метрике пространства B, т.е. может существовать минимизирующая последовательность функционала J(v), не сходящаяся ко множеству W* по норме пространства B.
Пример 2. Пусть в задаче (1)-(7) n = 1, T = 1, ü = {x € R: 0 <x < 1},
v1 = 1, ^1 = 2, d11) = 1, d1 = 1, p = n2 + 1, l0 = l1 = 0, f(x,t) = —e1 sinnx, <p(x) = — sinnx, F0(x,t,u,k) = (u + el sinnx)2. Тогда v*(x,t) = (k*(x,t) = = l,_q*(x,t) = — 7Г2) € V - оптимальное управление и u(x,t,v*) = —е*ё'ттгх, .t£Q, 0 < í < 1, Jo* = Jq{v*) = 0. Возьмем последовательность управлений v(m) (x, t) = (k(m) (x, t) = 1, q(m) (x, t) = —n2 + sin nmx) € V (m = 1, 2,...). Тогда v(m) (x,t) — v* (x,t) слабо в B и поэтому из слабой непрерывности функционала Jo(v) на множестве V (см. доказательство теоремы 1) следует, что J0(v(m)) — J0(v*) = J0 * = 0, т.е. последовательность {v(m)(x,t)} является минимизирующей для функционала J0(v). Однако эта последовательность не имеет предела в B, так как {sinnmx} сильно не сходится Ls(Qt) (s > 2).
Замечание 3. Утверждения теоремы 1 справедливы также в том случае, когда множество Q в задаче (1)-(7) имеет вид
Q ={q(x,t) € Ls(Qt) : llqlls,qt < p} , где p > 0 - некоторое число.
4. Необходимое условие оптимальности
Для установления необходимо условия оптимальности управления в задаче (1)-(7) предполагаем, что выполняются условия
3) функции Fi(x,t,u,k), Gi(x,u) (l = 0,1o+ h) имеют частные производные Fiu,Fiki,Giu (l = 0,1o +h',i = 1,"), измеримые по (x,t) € Qt, x € ü, и непрерывные по u € R, k € U; операторы, порожденные функциями
Fiu(x,t,u(x,t),k(x,t)), Fiki(x,t,u(x,t),k(x,t)), Giu(x,u(x)) непрерывно дей-
o
ствуют из Lri(Qt) x ПП=1 W1 1(Qt), Ln(Qt) x ПП=1 W1 1(Qt), W^tt) в
o
L2(QT), L1(Qt), W),(Q) соответственно.
Для задачи (1)-(7) введем
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.