научная статья по теме ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ФАЗОВЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ Автоматика. Вычислительная техника

Текст научной статьи на тему «ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ФАЗОВЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ»

Автоматика и телемеханика, № 8, 2015

Нелинейные системы

© 2015 г. Р.К. ТАГИЕВ, д-р физ.-мат. наук (r.tagiyev@list.ru), С.А. ГАШИМОВ, канд. физ.-мат. наук (s.hashimov@list.ru) (Бакинский государственный университет)

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ФАЗОВЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ

Для задачи оптимального управления коэффициентами параболического уравнения изучены вопросы корректности постановки в слабой топологии пространства управлений. Доказано, что в рассматриваемой задаче функционал цели снизу ограничен, множество оптимальных управлений не пусто и любая минимизирующая последовательность слабо сходится ко множеству оптимальных управлений. Установлено необходимое условие оптимальности в форме обобщенного правила множителей Лагранжа.

1. Введение

Задачи оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных, встречаются в различных приложениях. Среди этих задач особый интерес представляют задачи, в которых управления входят в коэффициенты уравнений для состояний, в том числе в коэффициенты при старших производных. При исследовании таких задач оптимального управления возникает ряд трудностей, связанных с сильной нелинейностью и некорректностью [1—5].

Задачи оптимизации с управлениями в коэффициентах параболических уравнений встречаются при оптимизации процессов теплофизики, диффузии, фильтрации и др. Такие задачи возникают также при решении коэффициентных обратных задач для параболических уравнений, рассматриваемых в вариационных постановках [6-8].

В [1, 4, 8-20] и др. изучены задачи оптимального управления коэффициентами параболических уравнений. Такие задачи наиболее мало изучены при наличии фазовых ограничений [12] и в случаях, когда управляющие коэффициенты принадлежат пространствам Соболева и пространствам Лебега с конечными индексами суммируемости [19, 20].

В настоящей работе рассматривается задача оптимального управления с нелинейным критерием качества для линейного параболического уравнения при наличии фазовых ограничений. Управляющие функции входят в коэффициенты уравнения состояния и являются элементами пространства Соболева и пространства Лебега с конечными индексами суммируемости. Ис-

следованы вопросы корректности постановки задачи, и установлено необходимое условие оптимальности в форме обобщенного правила множителей Лагранжа.

2. Постановка задачи

Пусть О С Еп - ограниченная область, 5 - граница области О, которая предполагается непрерывной по Липшицу, х = (х\,... ,хп) - произвольная точка области О, 0 < Т - заданное число, 0 < £ < Т, От = О х (0, Т], вт = = Б х (0,Т]. Обозначения, используемые в работе для функциональных пространств, соответствуют [21, с. 12-17]. Нормы в пространствах Ьз(О), Ьз(От) (5 > 1), Ш2,(О), ) (1 < Р < оо), (От) обозначаются через У ■ Ц^п,

У' Нз^т, У' 11(1П, У' \\PpQT, У' У^'От соответственно. Положительные постоянные, не зависящие от оцениваемых величин и допустимых управлений, обозначаются через М) (з = 1,2,...).

Пусть управляемый процесс описывается в От следующей начально-краевой задачей для линейного параболического уравнения:

п

(1) щ (кг (х,ь) пХ1 )х; + ч (х,ь) и = / (х,ь), (х,ь) е От,

г=1

(2) и|зт =0, Ч=0 = <Р (х) , х е

О

1

где р(х) е Ш1(О), /(х,Ь) е Ь2(От) - заданные функции, к(х,Ь) = (к1(х,Ь),... ..., кп(х, Ь)), д(х, Ь) - управляющие функции, у(х, Ь) = (к(х, Ь),д(х, Ь)) - управление, и = и(х,Ь) = и(х,Ь^) - решение задачи (1), (2) - состояние процесса, соответствующее управлению V = ь(х,Ь). Пусть

п

В = П (От) х Ьа (От)

г=1

- пространство управлений, где рг > п + 2 {г = 1,?г) при ?г > 1, « > 2 при п = 1 и п = 2, в > (п + 2)/2 при п > 3. В пространстве В введем множество допустимых управлений

п

(3) V = Ц КгХО,

г=1

где

(4)

Кг = {кг (х, Ь) е Шр,;1 (От) : 0 < иг < кг (х, Ь) < ^г п.в. на От,

11кгХ] ||р. дт < {з = М1) , 11ки|,дт < (к} (г = М1) ,

^ ИPi,Qт

(5) О = [ч (х,Ь) е Ь8 (От): |ч (х,Ь)1 < р п.в. на От} .

Здесь р > 0 (1,3 = 1,?г) - заданные числа, п.в. — почти всю-

ду. 28

Поставим следующую задачу оптимального управления: среди всех допустимых управлений V = (к(х,Ь), д(х,Ь)) € V, удовлетворяющих ограничениям

(6)

(V) = У Fl +

Ят

= 0, I = 1о + 1, 1о + 11,

найти управление v^(x,t) = (k^(x,t), q^(x,t)) € V, минимизирующее функционал

(7) ,10(и) = J F0(x,t,u(x,t,v),k(x,t))dxdt + ^ G0(x,u(x,T,v))dx,

Ят

где t, и), и) (I = 0, ¿о + Н) - заданные функции, удовлетворяющие условиям Каратеодори в областях Qт х Я х и, О х Я соответственно, т.е. измеримы по (ж, € х € П и непрерывны по г/, € Е, р € и, здесь {/ = {& = = (^1,..., € _Е(г : щ < ^ < /Лг (г = 1, ?г)} - область значений управления к{) = (к^, {),..., кп(^, {)).

Под решением краевой задачи (1), (2), соответствующим управлению v = и^^) € V, будем понимать обобщенное решение из пространства

V21'1/2(Qт), т.е. функцию и = ииз ), удовлетворяющую ин-

тегральному тождеству

(8) I ( —ищ + к^их,1 + qurq^dxdt = J р^п^, 0)с^ + ^ /пdxdt

Ят 4 1-1 'о Ят

о 11

при любой функции п = П^^) € Ш2' ^т), равной нулю при I = Т.

3. Корректность постановки задачи

Рассмотрим вопросы корректности краевой задачи (1), (2) при заданном управлении v(x,t) € V. Из результатов [21, с. 181-189, с. 203-212] следует, что при сделанных предположениях краевая задача (1), (2) при заданном v(x,t) €

€ V имеет единственное обобщенное решение из v}L''1/2 (Qт), оно принадлежит

2 1 2 1 о 1 0

пространству Ш2 0

при почти всех ^^) € Qт, его след при t = 0 совпадает с р ^) и справедлива априорная оценка

(9) \\иШТ < М1 \\/1|2'Ят +

(1)

12' Ят + \\Р\\2 'О

Используя оценку (9) и рассуждая аналогично [19], можно показать, что для решения краевой задачи (1), (2) справедливо неравенство

(10)

и

\т1,Ят + \\и'ЛтзДт + \\и(х,Т,у)\\г2,П < М2

2 , Яг

+

(1)' 2 ,П

в котором числа Г1, Г2, гз удовлетворяют условиям

г1 = ж, г2 = ж при п = 1, г1 € [2, ж) , г2 € [2, ж) прип = 2,

(11)

< 2(п + 2) 2п

Г1 = -—, Г2 = -- при??, > 3,

Гз =

п - 2 ' 2(п + 2)

п

п-2 при п > 1.

Для изучения вопроса корректности постановки задачи оптимального управления (1)—(7) предполагаем, что выполняются условия:

1) существуют такие функции а (х, Ь) € Ь1(От), Ь(х) € Ь1(Л) и постоянные М3, М4 > 0, что при почти всех (х, Ь) € От, х € Л и для любых и € К, к € V имеет место

| Ц (х, t, и, к)\<а, (х, + Мз |г/,|г1 , | Сг (х,и)\ <Ь(х)+М4 \и\г^ (1 = 0,1о+к), где г* и г* - некоторые числа, удовлетворяющие условиям г* € [2, ж), г* € [2, ж) при п = 1 и п = 2, г* € [2, 2(п + 2)/(п - 2)) , г) € [2, 2п/(п - 2)) при п > 3;

2) множество допустимых управлений, удовлетворяющих ограничениям (6), не пусто, т.е.

1¥ = {у{х,1) € V : Ми) < 0 {I = 1,10), ,Цу) = 0 {I = 10 + 1,10 + к)} /0-

Из условий 1) и оценки (10) следует, что операторы, порожденные функциями ^(ж, г/,(ж, г;), ¿)), С1(х,и(х,Т,у)) (I = 0,1о + к), действуют из Ьг* (От) х К, Ьг* (Л) в Ь1(От), Ь1(Л) соответственно [22, с. 376], где К = = К1 х ... х Кп. Отсюда следует, что функционал ^(у) определен на Ш и принимает конечные значения.

Для корректности постановки задачи (1)-(7) сформулируем теорему.

Теорема 1. Пусть выполнены условия при постановке задачи (1)-(7) и условия 1), 2). Тогда множество оптимальных управлений задачи (1)-(7)

Ш* = {У*(Х,Ь) € Ш : ^(У*) = = Ы{МУ) : У € Ш}}

непусто, Ш* слабо компактно в В и любая минимизирующая последовательность {у(т)(х,Ь) = (к(т)(х, Ь), д(т)(х, Ь))} С Ш функционала ,10(у) слабо в В сходится к множеству Ш*.

Замечание 1. Из теоремы 1 следует существование решения задачи (1)-(7). Однако, как показывает следующий пример, решение задачи (1)-(7) может быть неединственным.

Пример 1. Пусть в задаче (1)-(7) n = 1, T = 1, ü = {x € R: 0 < x < 1},

v1 = 1, ¡i1 = 2, d1 = 1, d1 = 1, p = n2 + 1, l0 = 1, l1 = 0, f (x,t) = 2n2 sin irx, ^>(x)=sinnx, F0(x,t,u,k) = (u — sinnx)2, Go(x,u)=0, F1(x,t,u,k)= u — 2¡n, G1(x, u) = 0.

Тогда нетрудно проверить, что минимальное значение функционала Jo(v)

достигается на управлениях v(1)(x, t) = (^(x, t) = 1, q(1)(x, t) = n2), v(2)(x, t) =

= (k(2 (x,t) = 2,qf\x,t) = 0) и Jo(v(1) ) = Jo(v(2) ) = Jo * = 0, u(x,t,v(1) ) = (2)

= u(x,t,v* ) = sinnx, x € ü, 0 <t <T, т.е. решение задачи (1)-(7) неединственно.

Замечание 2. Из теоремы 1 следует, что задача (1)-(7) корректно поставлена в слабой топологии пространства B. Однако, вообще говоря, эта задача некорректна в метрике пространства B, т.е. может существовать минимизирующая последовательность функционала J(v), не сходящаяся ко множеству W* по норме пространства B.

Пример 2. Пусть в задаче (1)-(7) n = 1, T = 1, ü = {x € R: 0 <x < 1},

v1 = 1, ^1 = 2, d11) = 1, d1 = 1, p = n2 + 1, l0 = l1 = 0, f(x,t) = —e1 sinnx, <p(x) = — sinnx, F0(x,t,u,k) = (u + el sinnx)2. Тогда v*(x,t) = (k*(x,t) = = l,_q*(x,t) = — 7Г2) € V - оптимальное управление и u(x,t,v*) = —е*ё'ттгх, .t£Q, 0 < í < 1, Jo* = Jq{v*) = 0. Возьмем последовательность управлений v(m) (x, t) = (k(m) (x, t) = 1, q(m) (x, t) = —n2 + sin nmx) € V (m = 1, 2,...). Тогда v(m) (x,t) — v* (x,t) слабо в B и поэтому из слабой непрерывности функционала Jo(v) на множестве V (см. доказательство теоремы 1) следует, что J0(v(m)) — J0(v*) = J0 * = 0, т.е. последовательность {v(m)(x,t)} является минимизирующей для функционала J0(v). Однако эта последовательность не имеет предела в B, так как {sinnmx} сильно не сходится Ls(Qt) (s > 2).

Замечание 3. Утверждения теоремы 1 справедливы также в том случае, когда множество Q в задаче (1)-(7) имеет вид

Q ={q(x,t) € Ls(Qt) : llqlls,qt < p} , где p > 0 - некоторое число.

4. Необходимое условие оптимальности

Для установления необходимо условия оптимальности управления в задаче (1)-(7) предполагаем, что выполняются условия

3) функции Fi(x,t,u,k), Gi(x,u) (l = 0,1o+ h) имеют частные производные Fiu,Fiki,Giu (l = 0,1o +h',i = 1,"), измеримые по (x,t) € Qt, x € ü, и непрерывные по u € R, k € U; операторы, порожденные функциями

Fiu(x,t,u(x,t),k(x,t)), Fiki(x,t,u(x,t),k(x,t)), Giu(x,u(x)) непрерывно дей-

o

ствуют из Lri(Qt) x ПП=1 W1 1(Qt), Ln(Qt) x ПП=1 W1 1(Qt), W^tt) в

o

L2(QT), L1(Qt), W),(Q) соответственно.

Для задачи (1)-(7) введем

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком