Автоматика и телемеханика, № 9, 2014
© 2014 г. В.А. УТКИН, д-р техн. наук (utkin@ipu.ru), А.В. УТКИН, канд.техн.наук. (utkin-av@rambler.ru) (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
ЗАДАЧА СЛЕЖЕНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ С ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ ПРИ НЕУСТОЙЧИВОЙ НУЛЕВОЙ ДИНАМИКЕ1
Предложено решение задачи слежения в линейных системах с одним входом и одним выходом с неустойчивой нулевой динамикой в условиях параметрической неопределенности модели объекта управления и модели генератора заданий при неполной информации о векторах состояния. В разработанном подходе используются методы теории скользящих режимов в задачах синтеза обратной связи, наблюдения и идентификации параметров в реальном времени.
1. Введение
Задача слежения за заданными траекториями выходных переменных объекта управления является центральной проблемой в теории автоматического управления. К наиболее практически значимым постановкам этой задачи относится случай, когда требуется обеспечить стабилизацию компонент вектора выходных переменных относительно независимых задающих сигналов.
В рамках геометрического подхода [1] для линейных стационарных систем получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи слежения в предположении, что задающие воздействия порождаются известной линейной динамической подсистемой (генератором заданий) с неизвестными начальными условиями. Дополнительным ограничением в решении задачи слежения является требование устойчивости нулевой динамики модели объекта управления или, другими словами, обеспечение внутренней устойчивости замкнутой системы, для решения которой требуется информация о параметрах моделей объекта управления и генератора заданий.
В данной работе предложено решение мало изученной задачи слежения применительно к линейным системам с одним входом и одним выходом в условиях параметрической неопределенности модели объекта управления и генератора заданий в предположении, что только выходные переменные объекта управления и генератора заданий подлежат прямым измерениям. Среди близких к этой тематике отметим работу [2], в которой предложено решение задачи стабилизации линейной системы с параметрически неопределенной
1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-08-00865-а и № 14-01-31190-мол_a).
моделью генератора заданий. Отметим, что постановка и решение задачи слежения в условия параметрической неопределенности модели объекта управления и генератора заданий до сих пор фундаментально не проработаны в теории управления.
Предлагаемое в данной работе решение задачи слежения основано на представлении исходной параметрически неопределенной системы в каноническом виде с расширением пространства состояний за счет ввода компенсатора, порождающего производные управляющего воздействия [3, 4]. Применительно к канонической записи модели объекта управления (и генератора задания) решается задача наблюдения с использованием теории скользящих режимов [5-8]. Далее с использованием оценок компонент вектора состояния решается задача идентификации параметров в реальном времени [9], необходимых для синтеза следящей системы. Собственно синтез обратной связи в задаче слежения при неустойчивой нулевой динамике решается с использованием декомпозиции процедуры синтеза на независимо решаемые подзадачи меньшей размерности с использованием методологии блочного подхода [10, 11].
2. Обсуждение проблемы. Постановка задачи
Рассматривается математическая модель линейной динамической стационарной системы с одним входом и одним выходом вида
(2.1) x = Ax + bu, yi = dTx,
где x € Rn, u, уi € R - вектор состояния, управляющее воздействие и выходная (измеряемая и регулируемая) переменная соответственно, пара (A, b) -управляемая, пара (dT, A) - наблюдаемая. Предполагается, что известна относительная степень системы: v = ф 0, j = 1 ,п.
j
Для системы (2.1) ставится задача синтеза обратной связи, обеспечивающей асимптотическую сходимость выходной переменной yi(t) к заданному сигналу n1(t):
(2.2) lim ei(t) = 0, ei(t) = yi(t) - ni(t),
в предположении, что заданный сигнал порождается динамической моделью
(2.3) W = Ww, ni = rTw,
где w € Rl, ni € R, пара (rT, W) - наблюдаемая.
Приведем известное решение задачи слежения (2.2) [12] в условиях параметрической определенности систем (2.1) и (2.3) и в предположении, что векторы x и w доступны для измерения.
Введем невырожденную замену переменных x = x — Row, где x € Rn, матрица R0 € Rnx1 удовлетворяет уравнению dTR0 = rT, и запишем систему (2.1) в виде
(2.4) x = Ax + bu + AR0w — R0Ww, ei = dTx.
Задача слежения сводится к задаче стабилизации выхода системы (2.4). Выберем управление
(2.5) u = k^x + ijw так, чтобы в замкнутой системе (2.4)—(2.5)
(2.6) X = AoX + blTw + (ARo - RoW)w,
матрица Ao = (A + bkj) была гурвицевой (с произвольно назначаемым спектром в силу управляемости исходной системы), элементы вектор-строки будут определены далее.
Представим вектор состояния системы (2.6) в виде X = Xs + Mow, где Xs = = AoXs и матрица Mo определяется далее, тогда
(2.7) X = AoXs + MoWw, а уравнение (2.6) примет вид
(2.8) X = Ao(Xs + Mow) + blTw + (ARo - RoW)w,
(2.9) ei = dT(Xs + Mow).
Слежение выходной переменной за заданным сигналом обеспечивается выбором матрицы Мо и вектор-строки 1Т, удовлетворяющих матричным алгебраическим уравнениям, которые получены путем приравнивания членов уравнений (2.7) и (2.8), содержащих вектор состояний генератора задания (2.3). Дополнительным условием является принадлежность матрицы Мо ядру выходного отображения в уравнении (2.9), а именно
(2.10) АоМо + ЫТ + (АЯо - йо^) = Мо^, ^тМо = 0.
Если система матричных уравнений (2.10) имеет решение, то обеспечивается асимптотическое решение задачи слежения с произвольными темпами сходимости, определяемыми спектром матрицы собственных движений замкнутой системы (2.6): х3 = а4оХ5. Отметим, что приведенные результаты легко распространяются на управляемые линейные системы общего вида с векторными входами и выходами.
В данной работе предложено решение задачи слежения (2.2) при параметрической неопределенности модели объекта управления (2.1) и генератора задания (2.3) в следующих предположениях:
1) система (2.1) полагается управляемой и наблюдаемой с известной относительной степенью V: 0 < V ^ п, система (2.3) полагается наблюдаемой;
2) для измерений доступны только выходные переменные у1 и П1 в модели объекта управления и генератора заданий соответственно.
В общем случае для синтеза обратной связи, обеспечивающей (2.2), требуется предварительно решить задачу наблюдения вектора состояния и идентификации параметров модели объекта управления (2.1) и генератора задания (2.3). Необходимо отметить, что на сегодня эти задачи недостаточно изучены в теории управления. В то же время применительно к системам, записанным в каноническом виде относительно выходной переменной, известны решения задачи наблюдения и задачи идентификации их параметров, в частности с использованием теории скользящих режимов [9].
Предлагаемое в данной работе решение задачи слежения основано на представлении исходной параметрически неопределенной системы в каноническом виде с расширением пространства состояний за счет ввода компенсатора, порождающего производные управляющего воздействия [3, 4] (раздел 3). В разделе 4 разработана декомпозиционная процедура синтеза обратной связи в задаче слежения для случая неустойчивой нулевой динамики в условиях полной информации о компонентах векторов состояния и параметрах систем (2.1), (2.3), записанных в каноническом виде относительно выходных переменных. В разделе 5 предложено решение задачи наблюдения и идентификации параметров моделей объекта управления и генератора заданий, представленных в каноническом виде с использованием теории скользящих режимов. В разделе 6 разработанные методы применяются к решению задачи слежения в системе второго порядка общего вида. В разделе 7 приведены результаты моделирования, подтверждающие эффективность разработанных алгоритмов.
3. Преобразование к совместной форме управляемости и наблюдаемости
Покажем, что на основе метода расширения пространства состояний любая управляемая и наблюдаемая линейная система с одним входом и одним выходом может быть представлена в канонической форме управляемости и наблюдаемости, отражающей входо-выходное соотношение.
Расширим пространство состояния за счет введения динамического компенсатора следующей структуры:
(3.1) и = £ь & = {¿+1, г = 1, п - V - 1; = и,
где и - новое управление, V - относительная степень системы (2.1).
Утверждение 1. Система (2.1), (3.1) является управляемой относительно нового управления и.
Действительно, используем двухуровневую декомпозицию в решении задачи стабилизации системы (2.1) и (3.1). На первом шаге синтез локальной обратной связи в системе (2.1) и = £1 = ктх в силу управляемости системы (2.1) позволяет обеспечить заданный спектр матрицы замкнутой системы (А + Ькт). На втором шаге решим задачу стабилизации ошибки между выбранным и истинным значениями переменной е = £1 — ктх, которая имеет решение в силу канонического вида системы (3.1). Дифференцируя выходную переменную системы (2.1) п раз с учетом (3.1), получим каноническое
представление модели объекта управления (2.1):
yi = dTAx = y2,
(3.2)
yv = dT x + dTAv-i b^i = yv+i, 3/v+i = dTAv+1x + dT(Av b^i + Av-ib6) = yv+2,
y„ = Anx + (An-v-ib£i + ... + Av b{„-v) + bou
где y = col(yi,..., yn) € Rn - новый координатный базис, переход к которому осуществляется с помощью невырожденной замены переменных y = Hx + + Л£, det H = 0, где H € Rnxn - матрица наблюдаемости системы (2.1), Л €
€ Rnx(ra- v)
H
l dT \
dTA
V dTAn-i У
T лv-ij
Л
O;
vx(n-v)
Л
i(n-v) x (n-v)
í Av-ib
Л1
0
dTAvb dTAv-ib
0 0
Ьо = = 0.
Замечание 1. В случае V = п производные по истинному управлению в системе (3.1) отсутствуют и, следовательно, вводить динамический компенсатор (3.1) нет необходимости.
Перепишем систему (3.2) в компактной форме вместе с динамическим компенсатором (3.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.