ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2013, № 3, с. 101-113
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
УДК 517.977.5
ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ ЦЕНООБРАЗОВАНИЕМ В ТОРГОВОЙ ОРГАНИЗАЦИИ
© 2013 г. Н. Ю. Трошина, С. В. Трошина
Саратов, Саратовский государственный ун-т, Москва, ООО "Хоум Кредит энд Финанс Банк" Поступила в редакцию 31.01.12 г., после доработки 04.09.12 г.
Математическая модель оптимизации деятельности предприятия по хранению и сбыту продукции формулируется как дискретная линейно-квадратичная задача оптимального управления. На основе необходимых условий оптимальности, полученных согласно формализму Ду-бовицкого—Милютина, построен алгоритм, который дает точное решение задачи.
Б01: 10.7868/80002338813020121
Введение. Как известно, первые математические модели фирмы основывались на статических условиях баланса и носили статический характер. Их полезность в непрерывно изменяющейся экономике весьма ограничена. Как показала практика, наиболее актуальными оказались динамические модели, которые наиболее адекватно описывают экономические процессы как макроэкономические, так и микроэкономические. Наиболее общие модели производственно-сбытовой деятельности фирмы в дискретном варианте, охватывающие большое количество показателей и факторов производства, представлены в монографии [1], там же содержится обширный список литературы по этому вопросу. В [2—6] проводится исследование моделей работы конкретных предприятий, решаются задачи оптимизации их деятельности.
В статье рассматривается дискретная модель оптимизации деятельности предприятия по хранению и сбыту продукции с учетом затрат на хранение и затрат на продажу. Динамика продаж и затрат описывается линейными разностными уравнениями. Перед предпринимателем ставится задача определить цены так, чтобы затраты были как можно меньше, а доход — как можно больше. В то же время ежедневный объем продаж должен быть таким, чтобы расходы на хранение и реализацию приближались к запланированным. В результате мы приходим к задаче оптимального управления с суммарным критерием качества. При этом учитываются условия: неотрицательность параметров состояния (объема продукции и ежедневных затрат), а также то, что эти затраты не должны превышать определенной величины, а цена на каждый вид продукции не должна быть меньше заданной. Кроме того, весь товар к концу срока должен быть продан. В модели рассматривается линейная функция спроса. В целом математическая модель поставленной экономической задачи представляет собой дискретную линейно-квадратичную задачу оптимального управления с ограничением на управление, с фазовыми ограничениями и полузакрепленным правым концом. К данной задаче применяется методика Дубовицкого—Милютина [7] вывода необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина, которые дают в явном виде выражение оптимального управления через сопряженные переменные. Далее строится алгоритм решения краевой задачи принципа максимума. Так же, как в методе Лагранжа, задача в конечном итоге сводится к отысканию неотрицательных решений конечного числа систем алгебраических уравнений, в данном случае линейных. Экономическая модель, представленная в статье, служит примером применения разработанного алгоритма, который имеет самостоятельный интерес. Его использование позволяет получить точное решение задачи, в то время как решение задач оптимального управления с ограничениями обычно сводится к некоторому итерационному процессу. Результаты, полученные в статье, являются обобщением и развитием метода решения определенного класса дискретных линейно-квадратичных задач оптимального управления, которому посвящены публикации [8—11]. Работа алгоритма иллюстрируется численным примером. В конце статьи приведены результаты расчетов.
1. Постановка задачи. Рассматривается дискретная модель деятельности предприятия по реализации продукции со склада за период Т дней. Введем следующие обозначения: х() — объем
1-го товара на складе в начале дня ($ = 0, T -1, i = 1, п) , УО — спрос на 1-й товар (это объем продаж за один день), у (0 — затраты дня, ki — коэффициенты порчи, Ц — дневные затраты на продажу единицы ¡-го товара, ml — дневные затраты на хранение единицы /-го товара. Динамика продаж и затрат описывается уравнениями
xi(t + 1) = xi(t) - V(0 -
п п
У( + 1) = у(0 + X ^ (t) + X m^x^(t),
i = 1
i = 1
где i = 1, n, t = 0, T -1.
Будем рассматривать линейную зависимость спроса от цены. Положим V(t) = cu(t) + d, где ci, d( — заданные коэффициенты (ci < 0), ui(() — цена единицы товара, назначенная продавцом на данный день. Тогда дневной доход от продажи /-го товара составит Vi(t)ui(t). Через a(t ) обозначим плановые затраты на хранение продукции в момент t, через b(t) — плановые затраты на реализацию. Задача установления оптимальной цены может быть сформулирована как задача минимизации функционала:
t -1
I = а1 X
t = 0
T -1
X mixi (t) - a(t)
i = 1
+ a 2 y(T) +
X lV(t) - b(t)
i = 1
T-1 n
- P2X X V(t)u(t) ^ min,
t = 0 i = 1
где а1, а2, р1 — неотрицательные весовые коэффициенты, р2 > 0, при следующих условиях: ^(0) = x;0, у(0) = 0, Xi(T) = 0,
xl(t) > 0, y(t) > 0, у(0 < q(t), t = 0ГГ,
ui(t) > p{ > 0, t = 0,T -1. Введем обозначения:
A =
f1 - k 0 . .. 0 0 ^ '-c1 0 . • 0 4
0 1 - k2 . • 0 0 , b = 0 -ci • • 0
0 0 . • 1 - kn 0 0 0 . • -cn
V m1 m2 • • mn 1 ; . l1c1 l2c2 l с
M = a1
i 2 m1 m1m2
m2m1 m?;
mm mm-.
■Ы" ч 0
0
... mm 01
... m2mn 0
2 ... mn 0
... 0 0 J
(неотрицательно-определенная матрица),
C = в
(l1c1) l1c1l2c2 ••• l1c1lncn l2c2l1c1 (l2c2)2 ••• 12c2lncn
f c1 0 • • 0 ^
-P2 0 c2. • 0
0 0. • cn,
Jncnl1c1 lncnl2c2 ••• (lncn)
(положительно-определенная матрица),
z(t) = (xi(0, x2(t),..., xn(t), y(t))*, u(t) = (u^t), u2(t),..., un(t)r, p = (pb Pn)* (здесь и в дальнейшем знак * — транспонирование),
S = (-di,-d1,,,,,- dn, X Щ )*, m(t) = a^t) (mi, ..., ffln, 0)*
i = 1
nn+K
N = а2(0,..., 0,1)* (М е Г+1), ^ = (^dъ ..., О*, I = (!ъ12,..., /„)*, d(0 = 2рх(< I,d > -ьтксъ12съ ..., )* -
где (•, •> — скалярное произведение векторов.
В результате получим векторную форму сформулированной задачи:
z(t +1) = Az(t) + Bu(t) + 8, t = 0,T -1, (1.1)
z(0) = zo = (xi0,X20,..., x|°,0)*, Xi(T) = 0, (1.2)
z(t) > 0, y(t) < q(t), t = 0T, (1.3)
u(t) > p, t = 0,T -1, (1.4)
t -1
I(z, u) = X К Mztf), z(t)) - 2( m(t), z(t)) + (Cu(t), u(0> ■
t = 0
(1.5)
+ (d(0, u(t)) + aa\t) + ({l, d - b(t))2] + (N, z(T)
min,
где I = {г(0), г(1),..., г(Г)} — дискретная траектория, и = {ы(0), ы(1),..., ы(Т - 1)} — дискретное управление.
2. Построение алгоритма. Будем предполагать, что система (1.1) управляема и выполняется условие Слейтера (существует допустимая пара (г,Ы), такая, что > 0, у (г) < #(?), ы() > р).
В этом случае для полученной задачи справедлива следующая теорема.
Те о р е м а 1. Если (I, и) — решение задачи (1.1)—(1.5), то существуют неотрицательные числа У1(0,У2(0, • ••, У«(0, МОД2(0, г = 0,Г, неотрицательные числа 1^(0,^(0, •••, И«(0, г = 0,Г - 1, вектор
ю = (ю1,..., юп,0)* и вектор-функция : К ^ К"+1 дискретного аргумента г,г = 0,Г, для которых выполняется сопряженное уравнение
y(t) = A*\f(f + 1) - 2Mz(t) + 2m(t) + y(t), t = 0, T -1, где y(t) = (y1(t),y2(t),..., yn(t),X1(t) - ^2(t))*, условие трансверсальности
y(T) = -N + y(T) + ю и условия дополняющей нежесткости
Yi(t)Xi(t) = 0, t = 0T, i = U
um) = 0, t=0T,
ьi(t)(y(t) - q(t)) = 0, t = 0T,
ц,(0&(0 - р) = 0, I = 0,Г -1, , = 1, п.
При этом оптимальное управление определяется по формуле
Ы() =1 с+1)-d(t) + ^(0), г = 0,Г-1, (2.1)
где ц(г) = (^(0,^(0,..., Ип(0)*.
Доказательство теоремы приведено в Приложении.
Замечание. Можно доказать, что условия, сформулированные в теореме 1, являются не только необходимыми, но и достаточными.
Запишем условие трансверсальности в координатах VI (Т) = У I (Т) + ю;-, I = 1, п, ¥п+1(Т) = -а2 +МТ) 2(Т). Обозначим
В = 1 ВС-В*, $(,) = 5 -1 ВС- |Д0). (2.2)
Для нахождения оптимального управления будем иметь следующую краевую задачу (краевая задача принципа максимума):
+1) = М<) + +1) + $($\ t = 0, Т -1, (2.3)
У(0 = + 1) - 2Мг(,) + 2т(0 + Y(t), t = 0, Т -1, (2.4)
1(0) = г 0, (2.5)
Х(Т) = 0, г = й (2.6)
у В+1(Т) = -а2 +МТ) -х2(Т). (2.7) Нужно найти решение этой задачи, удовлетворяющее условиям: для t = 0, Т, i = 1, п
ъ($М) = 0, х^мо = 0, х2(t)(у(0 - q(t)) = 0,
Х(), уО, У,(/),Ш X2(t) > 0, у(,) < q(t);
для t = 0,Т -1, / = 1, п
^(0(щ(t) - р) = 0, щ(,) > р,, > 0.
Построение алгоритма решения полученной краевой задачи основано на следующей теореме.
Те о р е м а 2. Если векторы 1(1), у(0 удовлетворяют уравнениям (2.3), (2.4), то они выражаются через граничные значения 1(Т), у(7) по формулам
т -1
г(,) = Лг(Т) + ВМТ) + X Я(т)(2т(т) + У(Т)) + Р,(Ф(т)], (2.8)
Т = ,
Т -1
У(0 = С,г(Т) + Б,у(Т) + X Ю,(т)(2т(т) + у(х)) + N(хМх)] + 2т(,) + у(,) (2.9)
где t = 0,Т -1, а матричные коэффициенты Л1, В,, С,, Б(, (т), (т), N1 (т), Я (т) определяются их граничными значениями
ЛТ-1 = Л_1, ВТ-1 = -Л ^В, СТ-1 = -2МЛТ_1, БТ-1 = Л* - 2МВТ-1,
Рт-1(Т - 1) = -ЛЯт-1(Т -1) = 0, Щ_1(Т -1) = -2МРт-1(Т -1), Ют_1(Т - 1) = 0
и следующими рекуррентными соотношениями для t = 0, Т - 2:
Л = л+1 - ВС+1), В, = Л 1(В,+1 - ВБ+1),
Р,(т) = Л-1(Р,+1(х) - +1(т)) (т = , + 1,Т -1), Р(,) = -Л-1,
я,(т) = Л-'(Я,+1(т) - ВЮ,+1(т)) (т = , + 2,Т -1), я,(t + 1) = -Л"В, Я,(t) = 0,
С, = Л* С,+1 - 2МЛ,, Б, = Л* Б,+1 - 2МВ,,
N (т) = Л*N,+1(т) - 2МР, (т) (т = , + 1,Т - 1), N (,) = -2МР(), Ю(,) = 0,
т = ,
Ю(т) = Л*Ю+1(т) - 2МЯ,(т) (т = , + 2, Т -1), Ю(, + 1) = Л* - 2МЯ,(, + 1). Доказательство теоремы приводится в Приложении.
Используя граничные условия (2.5)—(2.7), исключим из формул (2.8), (2.9) переменные 1(Т), у(Т). Для этого запишем формулу (2.8) для 1 = 0:
т -1
г(0) = Аг(Т) + В0^(Т) + X [Я0(т)(2т(т) + у(т)) + ВД^т)].
с = 0
При конкретных значениях параметров у(,), ю, определенных в теореме 1, это линейное уравнение относительно у(Т) из условия трансверсальности. Поэтому матрица В0 невырожденная. Учитывая граничное условие (2.5), отсюда найдем
т -1
у(Т) = В^г0 - В0-1{Лг(Т) + X [Яс(т)(2т(х) +
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.