ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 6, с. 66-70
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ^^^^^^^^^^ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
УДК 519.8+669.14
ЗАДАЧА ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНОГО ХИМИЧЕСКОГО СОСТАВА
СУДОСТРОИТЕЛЬНОЙ СТАЛИ*
© 2007 г. О. Н. Климова
Санкт-Петербург, СПбГУ Поступила в редакцию 14.06.07 г.
Рассматривается задача выбора оптимального химического состава судостроительной стали при наличии нескольких критериев оптимальности. Решение задачи основано на определенных результатах теории относительной важности критериев и использует конкретную количественную информацию об относительной важности критериев.
Введение. Любая сфера человеческой жизни предполагает принятие решений. Степень важности, которую лицо, принимающее решение (ЛПР), придает не только правильности решения, но и времени, затраченному на его поиск, предопределяет соответствующий подход к выбору. В каких-то ситуациях, чтобы принять решение достаточно положиться на интуицию и здравый смысл. Но когда речь идет, например, о выборе лучшего проектного варианта или стратегии дальнейшего развития предприятия, то без привлечения математического аппарата не обойтись. К настоящему времени разработаны разнообразные подходы и методы, направленные на то, чтобы помочь ЛПР осуществить выбор [1, 2]. Но предлагаемые процедуры в большинстве своем обладают рядом недостатков. В частности, это - отсутствие строгого обоснования и неопределенность границ применимости того или иного метода, необходимость введения понятия наилучшего решения, что не всегда возможно. Поэтому нередко подобные методы приводят к ошибочным результатам или затрудняют процесс принятия решения. Главная проблема теории принятия решений при многих критериях заключается в обоснованном сужении множества Парето, которое часто оказывается достаточно широким, что не позволяет легко сделать окончательный выбор. Указанное сужение невозможно без привлечения дополнительной информации об отношении предпочтения ЛПР. Нередко эта информация представляется в виде некоторого набора коэффициентов важности определение которых авторами не дается.
На фоне сказанного выделяется методология, развиваемая рядом авторов еще с конца 70-х годов прошлого века и активно разрабатываемая в последние десятилетия В.Д. Ногиным (см., например, [3-5]). Ее достоинство в сравнении с другими
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты < 05-01-00310, < 08-01-00301).
методами принятия решений при многих критериях состоит в том, что результаты в рамках этой методологии сформулированы в виде теорем, доказательство которых опирается на "разумные" аксиомы и четкие определения используемых понятий. Кроме того, такое ключевое понятие, как "один критерий важнее второго" имеет структуру, доступную для понимания не только специалистам, но и ЛПР, не владеющему теорией принятия решений. Подробно с основными понятиями и результатами указанной методологии можно ознакомиться в [5].
В данной работе рассмотрена задача выбора оптимального химического состава для судостроительной стали с пределом текучести не менее 355 МПа, при одновременном обеспечении наилучшей свариваемости и наиболее высокой хладостой-кости (при t = -20°С), получаемой по следующей технологической схеме: выплавка в электропечи -внепечивая обработка на установке "печь-ковш" - разливка на слябы на установке непрерывной разливки - прокатка на толстолистовом прокатном стане - окончательная термическая обработка, состоящая из нормализации.
Предел текучести (о0 2) представляет собой напряжение, при котором остаточная деформация материала равна 0.2% от длины рабочей части образца испытаний. Это означает, что чем больше значение предела текучести, тем большую нагрузку необходимо приложить к конструкции для того, чтобы она начала деформироваться. Свариваемость (иначе отсутствие дефектов в сварном шве) характеризуется несколькими критериями. Косвенной оценкой свариваемости является коэффициент трещиностойкости, который показывает чувствительность стали к образованию холодных трещин при сварке в области температур ниже 250-200°С. Хладостойкость - способность материала противостоять разрушению в условиях приложения динамической нагрузки при низких температурах. Критерием хладостойкости стали
служит значение работы удара, полученное при испытаниях на ударный изгиб образцов с V-образ-ным надрезом при пониженных температурах. Чем больше это значение, тем большую ударную нагрузку необходимо приложить для разрушения материала.
Задача состоит в том, чтобы из некоторой совокупности имеющихся вариантов химических составов выбрать такой, которому соответствовали бы максимальные значения по параметрам -работа удара, предел текучести, а коэффициент трещиностойкости при этом принимал, по возможности, меньшее значение. На практике подобные задачи решаются без привлечения специалистов по принятию решений и часто сводятся к анализу и сопоставлению результатов, полученных ранее. Учитывая, что зачастую оптимальный вариант необходимо выбрать из достаточно большого множества возможных альтернатив, указанный подход может иметь высокую трудоемкость. В то время как использование методов решения задач многокритериального выбора с набором информации об относительной важности критериев значительно облегчает процесс поиска наилучшего решения.
1. Основные этапы решения задачи многокритериального выбора с использованием, информации об относительной важности критериев. Процесс поиска оптимального решения с использованием информации об относительной важности критериев заключается в последовательном выполнении следующих этапов (шагов). На первом этапе формализуется математическая модель задачи выбора, а именно: формируется множество возможных (допустимых) решений (вариантов, альтернатив, планов и т.п.) X и набор числовых критериев оптимальности/1,/2, ...,/т. Указанные функции образуют векторный критерий/= (/!,/., ...,/т). ЛПР заинтересовано в максимизации значений по каждому из критериев оптимальности. Еще один элемент задачи многокритериального выбора - бинарное отношение предпочтения ЛПР >, заданное на множестве векторов (или на множестве решений) и которое обычно известно лишь частично.
Решением задачи многокритериального выбора является некоторое непустое множество, обозначаемое Бв1(Х), Бв1(Х с X. Процесс поиска множества Бв1(Х состоит в постепенном сужении множества X на основе имеющейся информации о предпочтениях ЛПР. Наряду с множествами X и Бв1(Х) используем множества возможных У=/(X) с К" и выбираемых Sel(Y) = f(Sel(X)) векторов. Будем считать, что между множествами X и У имеется определенное соответствие, которое дает возможность переходить от одного из них к другому, причем отношению ^ на множестве X, согласно указанному соответствию, отвечает отношение предпочтения >У на множестве У, т.е.
Х1 >xХ2 ^/Х1) >у/Х2) для всех Х1 е {Х1}, Х2 е
где {х1}, {х2} - классы эквивалентности элементов х1, х2 е X, порожденные отношением равенства в пространстве Кт. Приступая к поиску наилучшего варианта, необходимо заранее убедиться, что это отношение предпочтения удовлетворяет четырем аксиомам, определяющим "разумный" выбор [5].
Аксиома 1 (об исключении доминируемых векторов). Для любой пары векторов у', у" е У, удовлетворяющих соотношению у' >У у", выполнено у" й Бе1(У).
Аксиома 2. Для отношения >У существует ир-рефлексивное и транзитивное продолжение > на все пространство Кт.
Тем самым отношение >У является сужением > на У.
Аксиома 3. Каждый из критериев/1,/2, ...,/т согласован с отношением предпочтения >.
Напомним [5], что критерий / согласован с отношением предпочтения >, если для любых двух векторов у', у" е Кт, таких, что
1/1 I II I \
у = (у1, у,-_1, у,-, у,-+1, ут X
II / I I II I I ч I II
у = (у1, ., у--1, у-, у- + 1, ., ут), у- >у'
верно у' > у".
Аксиома 4. Для любых векторов у', у" е Кт, таких, что у' > у", для любого числа а > 0 и произвольного вектора с е К" выполняется ау' + с > ау" + с.
Приведенные аксиомы, в частности, означают следующее: если ЛПР из пары решений какое-то решение не выбирает, то это решение не должно быть выбрано и из всего множества возможных вариантов; если одно решение предпочтительнее другого, а второе предпочтительнее третьего, то из первого и третьего решений выбирается первое; лПр заинтересовано в получении максимального значения для каждого из критериев при прочих равных условиях.
В случае принятия указанных аксиом "разумного" выбора справедливы следующие включения: Sel(X с P/X с X [5]. Это означает, что уже на первом этапе можно воспользоваться принципом Па-рето и сузить область поиска оптимального решения до множества Парето //X). На втором этапе, руководствуясь определением относительной важности критериев, происходит выявление информации об относительной важности критериев, чаще всего в результате прямого опроса ЛПР. Приведем это определение для двух критериев.
Определение [5]. Пусть 7,у е {1, 2, ..., т}, 1 Ф у. Говорят, что 7-й критерий важнее у-го с заданными положительными параметрами Wj,
если для всех векторов у', у" е Кт, для которых выполняется
У г > y:¡, у) > у), у] = у]
для всех ] е {1, 2, ..., т}\[г', у};
у\ - уг = ™г, уу - уу =
имеет место соотношение у' > у".
Другими словами, ЛПР должно определить, каким количеством ^^ единиц по менее важному у-му критерию оно готово всякий раз жертвовать ради увеличения на единиц значения более важного г-го критерия при условии сохранения значений по всем остальным критериям. Аналогичное определение относительной важности вводится и для двух групп критериев (см. [5]).
В рассматриваемой ниже практической задаче множество всех критериев делится на две непустые и непересекающиеся группы: А = [/1, ..., / _ 1, /} и В = [/ + 1, ...,/ + 1 - 1,/ + } (г + t ^ т), согласно следующей информации: ЛПР готово нести потери по каждому из критериев группы В ради получения прибавки по любому из критериев группы А и наоборот. Иначе говоря, группа А важнее В с двумя наборами положительных параметров [^1,
^г+1, ^г+2, ..., wг+t}; в свою очередь группа В важнее А с двумя наборами положительных
параметр°в [Уг+^ У^ Уг+Л и [У^ Y2, Уг
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.