ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 5, с. 830-835
УДК 519.632.8
ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕИЗВЕСТНОГО ИСТОЧНИКА В ПАРАБОЛИЧЕСКОМ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ УРАВНЕНИЯХ1
Рассматриваются начально-краевые задачи для параболического и гиперболического уравнения с источником. Гиперболическое уравнение содержит вторую производную по времени, умноженную на положительный параметр б, и при б, равном нулю, совпадает с параболическим. Источник представляет собой сумму двух неизвестных функций пространственных переменных, умноженных на экспоненциально убывающие функции времени. Ставятся обратные задачи, состоящие в определении неизвестных функций пространственной переменной по дополнительной информации о решении начально-краевых задач, являющейся функцией времени. Доказывается, что обратная задача для параболического уравнения имеет бесконечное множество решений, а решение обратной задачи для гиперболического уравнения при любом положительном б единственно. Библ. 6.
Ключевые слова: параболическое уравнение, гиперболическое уравнение, обратная задача, определение неизвестного источника, единственность решения.
Б01: 10.7868/80044466915050087
Задачи определения неизвестных источников возбуждения физических полей возникают в геофизике, сейсмике, электродинамике, теплофизике, медицине и многих других областях науки и техники. Связанные с этими проблемами математические задачи, как правило, представляют собой обратные задачи, состоящие в определении свободного члена (источника) уравнения в частных производных по дополнительной информации о решении этого уравнения. Исследованию такого типа обратных задач посвящено большое число публикаций (см., например, [1]—[5] и имеющуюся там библиографию). В задачах определения источника в эволюционных уравнениях распространены постановки, в которых свободный член уравнения представляет собой произведение двух функций, одна из которых зависит от времени, а другая — от пространственных переменных. При этом одна из этих функций предполагается заданной, а другая неизвестной. Как правило, более простыми являются обратные задачи, в которых неизвестная функция определяется по дополнительной информации о решении, зависящей от тех же переменных, что и неизвестная функция. Исследование обратных задач, в которых неизвестная функция и дополнительная информация зависят от разных переменных, обычно более сложно.
Возможны постановки обратных задач, в которых требуется определить две неизвестные функции пространственной переменной по дополнительной информации о решении, которая представляет собой только одну функцию, зависящую от времени. Исследованию подобной обратной задачи для параболического и гиперболического уравнения посвящена данная работа.
Рассмотрим начально-краевую задачу
© 2015 г. А. М. Денисов
(119991 Москва, Ленинские горы, МГУ) e-mail: den@cs.msu.ru Поступила в редакцию 18.11.2014 г.
U = Uxx +fi(x)e + /2(x)e 2 , 0 < x < l, t > 0,
(1)
u(0, t) = 0, ux(l, t) = 0, t > 0,
(2)
u(x, 0) = 0, 0 <x < l,
1) Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (код проекта 14-01-00244).
где (ь (2 — положительные постоянные, а функции /¡(х), I = 1, 2, таковы, что
/1 6 С2[0,1], Я0) = Д0) = 0. (4)
Введем обозначения
I
, 2
= (" , ^n = 2 /(x) sinJXKxdx, п = 0, 1,
(5)
о
Если функцииfi(x), i = 1, 2, удовлетворяют условиям (4), то существует единственная функция u(x, t), являющаяся классическим решением задачи (1)—(3). Для u(x, t) справедливо представление
да
U(х, t) = ^ [bin(t)/lп + b2n(t)fln] si^T^nX, (6)
n = 0
где
-^¡t -Xnt
bin(t) = e - - e—, К ¡= 1, 2, n = 0, 1, 2,...;
Xn - _
bin(t) = te K>, Xn = Hi, i = 1, 2, n = 0, 1, 2, ...
Сформулируем обратную задачу 1. Пусть положительные постоянные _ и _ заданы, а функции f1(x) и f2(x) неизвестны. Требуется определить f1(x) и f2(x), если задана следующая дополнительная информация о решении задачи (1)—(3):
Ux( 0, t) = g( t), t > 0.
Рассмотрим вопрос о единственности решения обратной задачи 1. Очевидно, что в силу ее линейности достаточно исследовать единственность решения в случае g(t) = 0.
Обозначим через u(x, t; f1, f2) решение задачи (1)—(3), соответствующее некоторым функциям f1(x) и f2(x).
Теорема 1. Существует бесконечное множество пар функций fx(x) иf2(x), удовлетворяющих условиям (4), таких, что
Ux( 0, t; /1,/2) = 0, t > 0. (7)
Доказательство. Пусть f1(x) и f2(x) удовлетворяют условиям (4) и являются решением уравнения (7). Из формулы (6) следует, что уравнение (7) можно переписать так:
да
X [b1n(t)/1n + b2n(t)/2n ]JXn = 0, t > 0. (8)
n = 0
Предположим, что _ ^ Xn, _ ^ Xn для любых n = 0, 1, 2, ... . Тогда уравнение (8) записывается следующим образом:
exp {-_1} X + exp {-_1} X -
„Xn - _ „Xn - _2
n=0 (9)
X Ju_ + J2n_ Jfn exp {-Xnt} = 0, t > 0. ¿—t X - _ X - _
=0
■Xn - _1 Xn - _2-
Уравнение (9) представляет собой уравнение для неизвестных коэффициентов Фурье /1п и /2п функций /1(х) и /2(х). Оно эквивалентно уравнениям
/1 n /2 n
Xn - _1 Xn - H2
= 0, n = 0, 1, 2, ..., (10)
yj
и
/1 п л/^« =
0.
Таким образом, мы получили, что уравнение (7) выполнено тогда и только тогда, когда коэффициенты Фурье/1п,/2п функций/1(х) и/2(х) являются решениями системы уравнений (10), (11).
Очевидно, что существует бесконечное число пар функций /1(х) и /2(х), удовлетворяющих условиям (4), таких, что их коэффициенты Фурье/1п и/2п являются решением системы уравнений (10), (11).
Рассмотрим теперь случай, когда одно из чисел ц1 или ц2 равно некоторому Х„. Пусть ц1 = Хт, а ц2 Ф Х„ для всех п = 0, 1, 2, ... Тогда уравнение (8) записывается в виде
ехр {-ц^}
'т -1
Х/1 п«А« +1/2^лАт Я - И1 1
I—п = 0
т + 1
т-1
+ ехр {-^2'} У- У
^А - М2 ^
Яп - МЧ Ят - И2_
/1п , /2п
+
У
/1 п
2п
» +1
Яп - М1 Яп - М2-
Яп - М1 Яп - М2
п = 0
ТГпехр{-V} = 0, г> 0
+ г ехр {-М1? +
Т^техР{} -
(12)
Уравнение (12) эквивалентно следующей системе уравнений относительно коэффициентов Фурье Аю /2п:
/1т = 0,
/1 п
/2п
Яп - М1 Яп - М2
= 0, п = 0, 1, ..., т - 1, т + 1.
Х/1 п + у .Лпл/^« _
Я. - II - У-
(13)
(14)
А - М1 - М1 Ят - М2
п = 0 т + 1
Таким образом, мы получили, что функции /1(х) и /2(х) являются решением уравнения (7) тогда и только тогда, когда коэффициенты Фурье/1п и /2п этих функций являются решениями системы уравнений (13), (14).
Очевидно, что существует бесконечное число пар функций /1(х) и /2(х), удовлетворяющих условиям (4), таких, что их коэффициенты Фурье /1п, /2п являются решением системы уравнений (13), (14).
Аналогично доказывается утверждение теоремы для случая, когда |1 = Хт, а |2 = Хк. Таким образом, теорема 1 доказана.
Замечание 1. Из уравнений (10), (11) или (13), (14) следует, что одна из функций, удовлетворяющих уравнению (7), например/1(х), может быть выбрана почти произвольно. Другая же функция/2(х) определяется функцией /1(х).
Обратная задача, близкая по постановке к обратной задаче 1, исследована в [6]. В ней начально-краевая задача (1)—(3) рассматривается на полупрямой х > 0. Дополнительной информацией для решения обратной задачи являются значения решения, заданные в нескольких фиксированных точках пространственной переменной, т.е. несколько функций, зависящих от времени. Была также доказана неединственность решения обратной задачи.
Перейдем теперь к исследованию обратной задачи для гиперболического уравнения.
Рассмотрим начально-краевую задачу
6V,, + V, = V« +/1 (х)е^1' +/2(х)в г2', 0 < х < I, г> 0, (15)
V(0, г) = 0, Vx(I, г) = 0, г> 0, (16)
v(x, 0) = 0, vt(x, 0) = 0, 0 < х < I, (17)
где 6, |1, |2 — положительные постоянные, а функции/¡(х), I = 1, 2, удовлетворяют условиям (4).
м
ж
0
п
п
ж
Задача (15)—(17) имеет единственное классическое решение у(х, ?).
Сформулируем обратную задачу 2. Пусть положительные постоянные б, (1, -2 заданы, а функции /1(х) и /2(х) неизвестны. Требуется определить /1(х) и /2(х), если задана дополнительная информация о решении задачи (15)—(17)
V,(0, г) = н(г), г> 0.
Обозначим решение задачи (15)—(17), соответствующее функциям/1(х) и/2(х), через v(x, V,/1,/2). Для обратной задачи 2 справедлива следующая теорема единственности решения.
Теорема 2. Пусть /\(х), /2 (х) и /1 (х), / (х) — функции, удовлетворяющие условиям (4). Тогда если
Vx(0, Г, /, /) = Vx(0, Г, / , /) для I > 0, то / (х) = / (х), / (х) = /2 (х) для х 6 [0, /].
Доказательство. В силу линейности обратной задачи 2 для доказательства теоремы достаточно показать, что если функции/Кх) и/2(х) удовлетворяют условиям (4) и
V,(0, г;/1,/2) = 0, г> 0, (18)
то /1(х) = /2(х) = 0 для х 6 [0, /].
Докажем справедливость этого утверждения.
Пусть/1(х) и/2(х) удовлетворяют условиям (4), а числа Хп иопределяются формулами (5). Введем числа ап = 1 — 4^пе и функции Яп(1), п = 0, 1, 2, ..., определяемые следующим образом:
К( г) =
1
4ап
ехрI +^ - ехрГ~1:^пг
2 б
2б
, Ап > 0,
Яп(г) = 6 ехр Г-2У , Ап = 0,
ВД = ехр(-£) яп[^пг], а„ < 0.
Решение задачи (15)—(17) имеет вид
<Х, г; /„ /2) = (г - т)/^ + /2п^гТ ] ^ япД,.
0 0
Предположим, что
(
, * Ц^, -* , , = 1, 2,
2б 2б
Уа„ > 0.
(19)
(20)
Вычислив интегралы, входящие в представление (19), получим, что условие (18) записывается в виде
х№п(г)/\п + К2п(г)/2п= 0, г>0,
(21)
где
к1п( г) =
2б
Л 1 ~4ап - 2е —) 2 б
ехр(-(.г) - ехр I 1 + ^ апг
2б
„¡а~п( 1 + 4йп - 2е-)
ехр(--,г) - ехр^г
а > 0,
К, (г) = Нт-ехр (- + —^
1 - 2е— ( 2^ (1 - 2е-,)2
ехр (-—г) - ехр I -
, ап = 0,
зо
0
-4 A s
к1п( t) _ 4AlnS
exp(-^-t) - cos^—^-texp{-2-
4Ains( 1 - 2s^) . J-a ( t Л n
+ —1n—^-— sin-—-texp--, an < 0,
2s { 2s^
A1n = {1 - ( 1 - 2-1
Из равенства (21) и определения функций K1n(t) вытекает, что при an > 0 коэффициенты Фурье f1n и f2n являются решением системы
fin + _-/--_ _ о
1 -Ja- - 2s^i 1 -Jâ- - 2s^2
fin . fin
+-Jjn- _ 0.
1 + Jâ- - 2s^1 1 + Jâ- - 2s^2
Следовательно,f1n = f2n = 0 для n таких, что an > 0.
Если для некоторого n выполнено равенство an = 0, то для этого n коэффициенты Фурьеf1n = = f2n = 0, так как они являются решением системы
f 1 - + f2- _ о _f 1-_ + _/2-_ _ о
1 - 21 - 2, ( 1 - 2)2 ( 1 - 2s^2)2 .
При an <
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.