МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2010
УДК 533.95:537.84
© 2010 г. М. Б. ГАВРИКОВ, В. В. САВЕЛЬЕВ
ЗАДАЧИ ПЛАЗМОСТАТИКИ В ДВУХЖИДКОСТНОЙ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ С УЧЕТОМ ИНЕРЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ
В работе представлен новый подход к исследованию равновесных (стационарных) плазменных конфигураций, основанный на последовательном использовании двухжидкостного гидродинамического описания электрон-ионной плазмы с учетом инерции электронов. Получены уравнения плазмостатики, являющиеся обобщением известного уравнения Грэда—Шафранова. Приведены примеры численного и аналитического решения этих уравнений применительно к магнитной ловушке типа тэта-пинч. Показано, что основные свойства равновесных конфигураций не зависят от малого параметра — отношения масс электрона и иона, а определяется инерционной длиной е/шр (®р — плазменная частота).
Ключевые слова: магнитная гидродинамика, плазма, уравнение Грэда—Шафранова, равновесные конфигурации, магнитные ловушки, двухжидкостная модель, инерция электронов, тэта-пинч.
Гидродинамические модели являются важным инструментом исследования динамики плазмы. Для исследования нерелятивистской плазмы используются преимущественно одножидкостные модели, базирующиеся на уравнениях классической магнитной гидродинамики (МГД) [1, 2]. Согласно МГД-теории плазма — проводящий электрический ток газ, находящийся в электромагнитном поле и взаимодействующий с ним, при этом структура плазмы не рассматривается. Такое представление о плазме, во многих задачах слишком грубое, уточняется различными модификациями классической МГД: холловской МГД [3], гибридной МГД [4], электронной магнитной гидродинамикой [4]. Однако для многих важных приложений (стационарные плазменные двигатели, перетяжки 2-пинча, магнитные ловушки и др.) указанных подходов недостаточно и необходимо учитывать двухжидкостные эффекты в плазме, в частности инерцию электронов.
В настоящей работе эти эффекты исследуются применительно к задачам плазмостатики, которые исторически возникли как составная часть программы управляемого термоядерного синтеза. В центре внимания плазмостатики находится расчет равновесных конфигураций плазмы и удерживающего ее магнитного поля. Теоретической основой исследования технических конструкций, реализующих равновесные конфигурации (магнитные ловушки), на сегодняшний день остается в основном МГД-тео-рия, однако, как следует из результатов настоящей работы, МГД-равновесия образуют весьма малый подкласс всех возможных равновесий.
Практически наиболее интересны равновесные конфигурации, обладающие определенной симметрией. В случае осевой симметрии равновесная МГД-конфигурация ищется как решение уравнения Грэда—Шафранова [5], которое рассматривает статические конфигурации покоящейся в целом плазмы. Существующие обобщения этого уравнения, учитывающие стационарное течение плазмы, относится к токамакам, где наиболее важным является учет вращения плазмы вокруг оси симметрии, что приводит к появлению центробежной силы в уравнении баланса сил [6—9]. В ряде последних работ [10—12] предложены гидродинамические модели, учитывающие инерцию электронов.
В этой работе применительно к задачам плазмостатики рассмотрена двухжидкост-ная гидродинамическая модель, согласно которой плазма это совокупность двух взаимопроникающих сжимаемых газов — электронного и ионного. Микроскопической основой такого представления служит отмеченное еще Л.Д. Ландау [13, 14] обстоятельство, что равновесное максвелловское распределение в каждой из плазменных компонент — электронной и ионной — устанавливается гораздо быстрее, чем происходит теплообмен между ними.
Основные уравнения плазмостатики в работе выводятся из математически эквивалентной одножидкостной формы (так называемых уравнений электромагнитной гидродинамики (ЭМГД) плазмы [15]) уравнений двухжидкостной гидродинамики плазмы [13] в предположении ее квазинейтральности и квазистационарности электромагнитного поля. Принципиальное значение имеет полученная в работе гидродинамическая аналогия, согласно которой поиск равновесных ЭМГД-конфигураций математически равносилен нахождению стационарных течений сжимаемого газа в специальном поле сил.
Основное внимание в работе уделено изучению важного частного класса магнитных ловушек типа тэта-пинч [3, 16], которые характеризуются осевой симметрией и наличием только азимутальных токов и полоидальных магнитных полей. В работе из общих уравнений ЭМГД-плазмостатики выводятся уравнения равновесия плазмы в тэта-пин-че, обобщающие уравнения Грэда—Шафранова, с последующим их численным и частично аналитическим решением на примере магнитной ловушки "Дублет" [16, 17].
Анализ полученных результатов показывает, что учет двухжидкостной структуры плазмы (учет инерции электронов) приводит к появлению новых классов равновесных конфигураций тэта-пинча, не описываемых МГД-теорией. Среди них будут как равновесия, получающиеся слабым возмущением некоторых грэд-шафрановских конфигураций, так и равновесия, кардинально отличающиеся от МГД-конфигураций и не переходящих в них в МГД-пределе. В таких равновесиях плазма, например, оказывается сильно неизоэнтропичной или распадается на несколько частей.
Проведенное в работе сравнение полученных результатов с МГД-теорией показывает, что переход к МГД-пределу определяется стремлением к нулю безразмерного параметра Е, = с/(юрЬо) (юр — плазменная частота, Ь0 — характерный линейный масштаб задачи), входящего сингулярно в уравнения ЭМГД-плазмостатики. Как установлено в работе, нелинейность уравнений плазмостатики тэта-пинча ответственна за появление, даже при £ 1, равновесий принципиально отличных от грэд-шафрановских.
1. Уравнения двухжидкостной плазмостатики. Уравнения двухжидкостной гидродинамики плазмы [13, 14] в квазинейтральном случае можно записать в математически эквивалентной одножидкостной форме [15] уравнений электромагнитной гидродинамики, особенно удобной для приложений. С учетом внешних токов и произвольных уравнений состояния электронов и ионов ЭМГД-система имеет вид
др + Шу ри = 0
а
дрБ± + Шу(рБ±и) ± -^у (Б^) = 0
(1.1)
Е + С -+-- гоггогЕ = -^и х Н] +1 DivW + -
4пр с р
гоггогЕ = - ^и х Н] +1 DivW + -- -+ Ц0,Н]
1
1
-+--до р д?
с
гоШ = — 0 + М, + гог Е = 0, ШуН = 0
с с дг
1 дН
, с дг
где
пл =ри • и + Р13, пр = Н 13 - Н^Н, пс = Х +Х_Ь!
8п 4п р
W = (X_ - X+)(пр + пс) + (X_Р+ -X +Р_)13 + X +х_((• и + и • !
(1.2)
Здесь Р = Р+ + Р_, р = р+ + р_, 13 — единичный тензор, а точка обозначает диадное умножение двух векторов.
В системе (1.1)—(1.2) индексы ± относятся к параметрам ионов и электронов, и = (р+У+ + Р_У_)/Р — массовая гидродинамическая скорость плазмы, ! — заданное распределение внешних токов, = т±/е± , где т±, е± — массы и абсолютные величины зарядов ионов и электронов.
Уравнения (1.1), (1.2) дополняются считающимися известными уравнениями состояний электронов и ионов Р± = Р±(р± ,Т±), е± = е ±(р± , Т±), подчиняющимися второму закону термодинамики
По решению системы (1.1), (1.2) гидродинамические параметры ионов и электронов восстанавливаются по формулам
От уравнений классической МГД [1, 2] система (1.1), (1.2) отличается, во-первых, слагаемым пс в тензоре потока импульса и, во-вторых, значительно более сложной формой обобщенного закона Ома. Теперь поле Е благодаря отсутствующему в МГД члену ~ гоис^Е, зависит нелокально от остальных параметров плазмы во всей области течения и для его нахождения необходимо решать краевую задачу. С другой стороны, усложнилась формула для тензора W. В классической МГД W = 0, а в холловской
МГД W = -Х+(лр + РЛз). Указанные дополнительные члены ответственны за многие важные и необычные двухжидкостные эффекты динамики плазмы. Для плазмостати-ки особую роль играет добавка пс в тензоре потока импульса.
Равновесные конфигурации плазмы ищутся как решения системы (1.1), (1.2) с д/дt = 0, и = 0 (но, конечно, У_ ^ 0, У+ ^ 0,! ^ 0). Используя эти соотношения, получим
у± = и±х±!, р±
Х±р, X± = т± , х = х + +х-
X е±
р
(1.3)
(1.4)
Р сР
(1.5)
w = (X _ - х+)— + (X _Р+ - х +Р_) 13 + (X _ - х+) [х+х _ ^ -—
го1Е = 0, ^уН = 0
(1.6)
Из (1.5) с учетом (1.3) получим
е = В1у Н 13 - Н^Н + х +х_ +1 У(Ь _Р+ - ь+р_) + ц0, Н] = р ^ 8п 4п РУР ф
= Ь_ -Ь+- Ь- -Ь+УР +1 У (Ь_Р+ - Ь +Р_) + Ь_ -Ь+[ь Н] = Р Р Р Ф
= - 1(Ь_ - X +)У(Р+ + Р_) +1 У(Ь_Р+ - Ь +Р_) = 1 У(Ь +Р+ - Ь_Р_) Р Р Р
Тогда условие (1.6) дает [Ур,У (Х+Р+ - Х_Р_)] = 0. Отсюда следует функциональная зависимость функций р и Х+Р+ -Х_Р_ и значит равенство X +Р+ -X_Р_ = Н(р) с произвольной функцией к(р). Учитывая соотношения (1.4) и ёгуН = 0, получим следующие уравнения двухжидкостной плазмостатики:
VP + Х _Divl | = ^[j x H]
(1.7)
j -VS+ = 0, divH = 0, j + j0 = —rotH
4n
X +P+ -X_P_ = h(p), P = P+ + P_ (1.8)
Дополненные уравнениями состояния плазменных компонент S± = S±(P± ,р±), р± = (X±/X)p, они дают систему уравнений ЭМГД — плазмостатики. Исключая в системе (1.7), (1.8) j из числа неизвестных, получим семь скалярных соотношений для нахождения шести скалярных функций P+, P_ р, H, где h (р)-произвольная функция. Однако в физически интересных и важных случаях (см. ниже), некоторые из условий выполнены тождественно и получается определенная система. Равенство (1.8) обычно служит для выражения P+, P_ через р и P
P+ = (X_P + h(p))/X, P_ = (X +P - h(p))/X (1.9)
Сравнение полученных выше уравнений плазмостатики с известными [1, 14] уравнениями МГД-плазмостатики
VP = ^[j х H], divH = 0, j + j0 = — rotH c 4n
приводит к выводу о зависимости равновесной конфигурации от плотности плазмы и уравнений состояния плазменных компонент, которая может быть выявлена лишь при учете инерции электронов. С другой стороны, согласно (1.7), (1.8) двухжидкост-ная равновесная конфигурация определяется балансом не двух, как в МГД, а трех сил — теперь градиент давления V P должен уравновесить не только силу Ампера [j,H] / c, но и дополнительную третью силу (-Х +Х_Div(j • j/p)), роль которой, как показывает проведенный в работе анализ, может быть весьма существенна.
Уравнения (1.7), (1.8) допускают следующую гидродинамическую аналогию. Всякая равновесная
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.