научная статья по теме ЗАДАЧИ РАВНОВЕСИЯ ПЛАЗМЫ С АНИЗОТРОПНЫМ ДАВЛЕНИЕМ И ВРАЩЕНИЕМ В ТОКАМАКЕ И ИХ ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ Физика

Текст научной статьи на тему «ЗАДАЧИ РАВНОВЕСИЯ ПЛАЗМЫ С АНИЗОТРОПНЫМ ДАВЛЕНИЕМ И ВРАЩЕНИЕМ В ТОКАМАКЕ И ИХ ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ»

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2015, том 41, № 3, с. 223-231

= ТОКАМАКИ -

УДК 533.9.01

ЗАДАЧИ РАВНОВЕСИЯ ПЛАЗМЫ С АНИЗОТРОПНЫМ ДАВЛЕНИЕМ И ВРАЩЕНИЕМ В ТОКАМАКЕ И ИХ ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ © 2015 г. А. А. Иванов*, А. А. Мартынов*, С. Ю. Медведев*' **, Ю. Ю. Пошехонов*

* Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Россия ** Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", Москва, Россия e-mail: aai@a5.kiam.ru, martynov@a5.kiam.ru, medvedev@a5.kiam.ru, naida@a5.kiam.ru

Поступила в редакцию 28.04.2014 г.

Окончательный вариант получен 06.10.2014 г.

В МГД-теории плазмы в токамаках давление плазмы обычно считается изотропным. Однако нагрев плазмы с помощью инжекции нейтрального пучка и ВЧ-нагрев могут приводить к сильной анизотропии плазменных параметров и вращению плазмы. Теория МГД-равновесия с учетом инерции плазмы и анизотропии давления начала разрабатываться уже достаточно давно, но до последнего времени она не была последовательно применена в вычислительных кодах для инженерных расчетов равновесия и эволюции плазмы в токамаке. В данной статье приведен подробный вывод уравнения равновесия осесимметричной плазмы в самом общем виде (с произвольным вращением и анизотропным давлением); представлена специализированная версия кода SPIDER и предложен оригинальный метод расчета равновесий с анизотропным давлением при заданном профиле фактора запаса устойчивости. Также приводятся примеры расчетов и обсуждаются полученные результаты.

DOI: 10.7868/S036729211503004X

1. ВВЕДЕНИЕ

В МГД-теории плазмы в токамаках давление плазмы обычно считается изотропным. Однако в ряде представляющих практический интерес случаев, таких как нагрев плазмы с помощью инжекции нейтрального пучка и ВЧ-нагрев, может возникать как инерциальное вращение плазмы, так и существенная анизотропия плазменных параметров [1]. Теория МГД-равновесия с учетом инерции плазмы и анизотропии давления начала разрабатываться уже достаточно давно [2—6], но, как правило, отдельно анализировались эффекты вращения и анизотропия давления осесиммет-ричной плазмы. По-видимому, впервые в работе [5] сформулированы уравнения идеальной МГД с учетом обоих этих факторов и в самых общих предположениях о функциональной зависимости плазменных параметров. Мы полагаем полезным показать в настоящей статье, как известные ранее обобщения уравнения равновесия Грэда—Ша-франова выводятся из достаточно общих законов сохранения. Другая цель статьи — представить новые возможности кода SPIDER [7, 8] по численному моделированию равновесия плазмы то-камака с учетом тороидального вращения плазмы и анизотропии давления. Отметим, что, несмотря на долгую предысторию, только в последнее время делаются первые попытки такого согласованного моделирования [9—11].

В разд. 2 статьи, в основном следуя работе [5], дается вывод уравнения осесимметричного равновесия в самом общем виде (с произвольным вращением и анизотропным давлением) и для двух важных случаев: изотропная плазма с произвольным вращением и статическая плазма с анизотропным давлением. Там же излагается оригинальный метод расчета равновесия плазмы с фиксированной границей и с анизотропным давлением при заданном профиле фактора запаса устойчивости q (у). В разд. 3 исследуется влияние тороидального вращения на положение свободной границы плазмы с пьедестальными профилями в области пьедестала в случае базового равновесия "Сценария 4" ИТЭР. В разд. 4 для плазмы "Сценария 2" ИТЭР приводятся результаты расчетов равновесия с заданным профилем q (у) при различной анизотропии давления. Полученные результаты обсуждаются в Заключении.

2. ОБЩАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ РАВНОВЕСИЯ ПЛАЗМЫ С АНИЗОТРОПНЫМ ДАВЛЕНИЕМ И ВРАЩЕНИЕМ В ТОКАМАКЕ

2.1. Уравнения идеальной МГД и некоторые их следствия

Адиабатическое течение идеально-проводящей жидкости описывается уравнениями

р—1 = _у. (п + Т),

ш

р = -П -Уу, Л

ИВАНОВ и др. (1)

Р —

В I = (в-У)у,

V р

(2) (3)

- В -жений Т = —I

2

ВВ и тензор давления р\\ -

П = р±1 + апВВ, а\\ =

В2

(4)

где I — единичный тензор. Уравнение неразрывности

—Р = -рУ- у Л

(5)

и условие соленоидальности магнитного поля

У - В = 0 (6)

замыкают систему уравнений (1)—(3).

Перепишем уравнение (3), используя (5), в ви-

де

р —

Л

ГВI = -Т -Уу, 2р '

после чего, комбинируя (1) и (2), получаем уравнение

р —Е = -У - (П - у + Т - у)

(7)

Гв2

] = в 2У- у + В -(В - У)у.

Исключая В(В • У)у из двух последних выражений, уравнение (2) можно записать как [5]

р —е = р1 —Р—В2 — р — 2 —

(8)

Уравнение (8) предполагает адиабатичность. Поэтому можно считать, что £ = £(р, В2, Б) есть функция трех параметров: р, В2 и энтропии Б, так что

из (8) вытекает выполнение следующего соотношения в жидкой частице:

—е = -р—У - ау—

у=Р.

где р, у, £ — плотность, скорость и внутренняя энергия, В — вектор магнитного поля. Уравнения включают также максвелловский тензор напря-

Забегая вперед, скажем, что в дальнейшем будем считать энтропию функцией вмороженного в среду полоидального магнитного потока у, т.е. £ = £(р, В2, у).

Введем функцию И = £ + р\\У в качестве аналога энтальпии. Тогда

ЛИ = УШрн - аУ—

ГВ2

так что

У И = УУр,| - а, V У

' В! 1 +эеУу. V 2 ) ду

(9)

Дивергенцию тензора п можно записать в виде

(10)

У-П = (Ух (ацВ)) х В - ауУ {у ^ + Ур,

или, с учетом (9),

У-П = (Ух(ауВ))хВ + рУИ -р—Уу. (11)

Эу

Для получения аналога интеграла Бернулли умножим уравнения (1) и (3) на В/ р и на у соответственно и сложим. В предположении, что

Уу • В = 0, получим: р —

ЦВ] = -1В-(У- П) +

Р ) Р

+ В-У

{ 2 V

— |. Откуда, с учетом (11) приходим к вы-

ражению

для полной энергии на единицу массы

V2 1 В2

Е =-----. Используя явную форму тензо-

2 р 2 ра (4), можно показать, что

П - Уу = р±У - у + ацВ - (В - У) у.

С другой стороны, из (3) следует

Р — Л

у - В

/

= У-

2

В

V V 2

^ - И

(12)

означающему, в частности, сохранение интеграла

по лагранжеву объему I у - В—У внутри каждой

¡у

магнитной поверхности, которая вморожена в среду.

2.2. Равновесие осесимметричной плазмы с учетом вращения

Уравнение равновесия плазмы со скалярным давлением с учетом сил инерции есть

Р(у-У) у = (Ух В) х В-Ур. (13)

В цилиндрической системе координат (Я, ф, 7) полоидальная и тороидальная компоненты осе-симметричного магнитного поля могут быть представлены в виде

В = Уу хУф, В ф = ^Уф,

ф

где y(R, Z) — полоидальный магнитный поток, разделенный на 2л, y = ¥/2л. В стационарном случае, когда

v, Vy = 0, V-(pvp) = 0,

вектор скорости v лежит на магнитных поверхностях у = const, и полоидальные компоненты скорости и магнитного поля соотносятся следующим образом:

pvp = Vx(xV9) = V%xV9 = x' Вp, X = х(у).

Штрих здесь и далее означает производную по потоковой функции ф.

Тороидальная компонента скорости выражается через угловую скорость ю,

v ф = roR 2V9.

В предположении идеальной проводимости электрическое поле

E = -v x В, E ?=-v p x Bp = 0, E = E p = -QVy,

т.е. электрическое поле ортогонально магнитным поверхностям. При этом в стационарном случае из закона Фарадея V х E = 0 следует, что VQ х Vy = 0. Последнее означает, что функция Q является потоковой величиной, Q = Q(y).

Используя явное представление полоидально-го электрического поля через х, Р, ю, F

E p =-v p x В ф- v фх Bp =

= В p x

f i л v - X В

* ф "ф

ю-

FX_

PR 2

Vy,

Подставляя выражение pv из (15) в (17), получаем

L x В + pQR2 (W x Vф) = -Vp -pV

f 2 V

(18)

где L = x'W — j . Подстановка Wp = V(юR2) х V9 в (18) дает

L x В + proR VQ = -Vp-pV

2

— -roQR2

(19)

Тороидальная компонента уравнения (19) дает Ьр х Вр = 0, т.е. вектор Ь лежит на магнитной поверхности, откуда следует

F-X' wR2 = Л (у), L = ^ЛxVф + (R2х" Вp

(20)

Для полоидальной компоненты уравнения (19)

L p x Вф + Lф x В p =-pюR VQ-Vp -

- p V

p

f 2 V

— - ю Q R 2

(21)

раскроем оба члена в левой его части: Lф x Вp = (хХ - j(p )x Вp =

ее ( . л

X'Vx хVyxVф

w ^ p

Vx(VyxVф)

• Vф

Vy,

Lp xВф = -F(VЛxVф)xVф +

+ FwR2X" (Vy x Vф) x Vф = FVЛ - Fwx'' Vy.

R

Теперь уравнение (21) может быть переписано как

получаем

Q(y) = w-Ft pR

v =X- В + Q R ^ф.

(14)

(15)

При этом в случае стационарного осесимметрич-ного течения уравнение (12) дает

h + у -wQR 2 = H (y)

(16)

— аналог закона Бернулли.

Обозначим завихренность V х V = W и плотность электрического тока V х В = ^ Тогда стационарное уравнение равновесия (13) переписывается в виде

pV

С 2

V

+ pW x v = j x В - Vp.

Vx VyxVф • Vф Vy-'v p / /

- (V x(Vy x Vф) • Vф)Vy =

R2 VЛ + Fюх" Vy - proR2VQ +

(22)

+ pV

2 Л

fflQR2 - —

-Vp.

Предположим, что энтропия является потоко-

ЭР

вой функцией, т.е. ^ = ^(у), V И = УУр + —Уу,

Эу

где И = £ + р¥. Тогда с учетом (16) уравнение (22) принимает вид [5]

А I л

X

X'Vx Д-VyxVф ^ф-^ p ) - V x (Vy x Vф) • Vф =

= -F Л' + F юх'' -pwR 2Q' -pH' + p-^. R dy

Если же плотность является потоковой функци-

ей, р = р(у), то с учетом Vр = pV

VP; Р

следние два члена в правой части (22) будут

Р 1 , pVp - 1 + -—- по-

pV

2 - - p

.рур 2 Р) Р '

Соответственно, последние два члена в правой части (23) преобразуются в

-Рн'- РЕ',

Замечание. Дифференциальные операторы в уравнениях (23)—(28) с учетом осевой симметрии могут быть представлены в традиционном виде,

например, V х (aVy xV(p) • V(p = -V- ^а^2у^.

Усредняя (28) по объему dVy между магнитными поверхностями у = const, имеем

dK(dy - dЛ dФ =

dpi ду

dVy dy,

(29)

или

введено обозначение

Р + v

Р 2

ШЯ = Й (у).

dK ф + 2щdЛ = (дpЦ dVy,

W/ Vy

(30)

где Кф = J kvdS, Sy — площадь внутри линии

2.3. Равновесие осесимметричной плазмы с анизотропным давлением

С учетом выражения (10) для дивергенции тензора давления, уравнение статического (у = 0) равновесия с анизотропным давлением представляется в форме

k х B = Vр., - a,,V

fB2

(24)

где к = У х (аВ), а = 1 - а,,, аи = (ри - р±)/В .

Проекция уравнения (24) на тороидальное направление Уф дает аГ = Л(у), а из полоидальной компоненты (24) имеем

Vy(Vx(aVyxV()-V()

- VЛAt - pVh + p—Vy = 0. Я Эу

(25)

Таким образом,

И (р„(р, В2, у), В2, у) = Н (у). (26)

Из соотношения (26) следует, что р, а следовательно и Р|, явля

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»