ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2015, том 41, № 3, с. 223-231
= ТОКАМАКИ -
УДК 533.9.01
ЗАДАЧИ РАВНОВЕСИЯ ПЛАЗМЫ С АНИЗОТРОПНЫМ ДАВЛЕНИЕМ И ВРАЩЕНИЕМ В ТОКАМАКЕ И ИХ ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ © 2015 г. А. А. Иванов*, А. А. Мартынов*, С. Ю. Медведев*' **, Ю. Ю. Пошехонов*
* Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Россия ** Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", Москва, Россия e-mail: aai@a5.kiam.ru, martynov@a5.kiam.ru, medvedev@a5.kiam.ru, naida@a5.kiam.ru
Поступила в редакцию 28.04.2014 г.
Окончательный вариант получен 06.10.2014 г.
В МГД-теории плазмы в токамаках давление плазмы обычно считается изотропным. Однако нагрев плазмы с помощью инжекции нейтрального пучка и ВЧ-нагрев могут приводить к сильной анизотропии плазменных параметров и вращению плазмы. Теория МГД-равновесия с учетом инерции плазмы и анизотропии давления начала разрабатываться уже достаточно давно, но до последнего времени она не была последовательно применена в вычислительных кодах для инженерных расчетов равновесия и эволюции плазмы в токамаке. В данной статье приведен подробный вывод уравнения равновесия осесимметричной плазмы в самом общем виде (с произвольным вращением и анизотропным давлением); представлена специализированная версия кода SPIDER и предложен оригинальный метод расчета равновесий с анизотропным давлением при заданном профиле фактора запаса устойчивости. Также приводятся примеры расчетов и обсуждаются полученные результаты.
DOI: 10.7868/S036729211503004X
1. ВВЕДЕНИЕ
В МГД-теории плазмы в токамаках давление плазмы обычно считается изотропным. Однако в ряде представляющих практический интерес случаев, таких как нагрев плазмы с помощью инжекции нейтрального пучка и ВЧ-нагрев, может возникать как инерциальное вращение плазмы, так и существенная анизотропия плазменных параметров [1]. Теория МГД-равновесия с учетом инерции плазмы и анизотропии давления начала разрабатываться уже достаточно давно [2—6], но, как правило, отдельно анализировались эффекты вращения и анизотропия давления осесиммет-ричной плазмы. По-видимому, впервые в работе [5] сформулированы уравнения идеальной МГД с учетом обоих этих факторов и в самых общих предположениях о функциональной зависимости плазменных параметров. Мы полагаем полезным показать в настоящей статье, как известные ранее обобщения уравнения равновесия Грэда—Ша-франова выводятся из достаточно общих законов сохранения. Другая цель статьи — представить новые возможности кода SPIDER [7, 8] по численному моделированию равновесия плазмы то-камака с учетом тороидального вращения плазмы и анизотропии давления. Отметим, что, несмотря на долгую предысторию, только в последнее время делаются первые попытки такого согласованного моделирования [9—11].
В разд. 2 статьи, в основном следуя работе [5], дается вывод уравнения осесимметричного равновесия в самом общем виде (с произвольным вращением и анизотропным давлением) и для двух важных случаев: изотропная плазма с произвольным вращением и статическая плазма с анизотропным давлением. Там же излагается оригинальный метод расчета равновесия плазмы с фиксированной границей и с анизотропным давлением при заданном профиле фактора запаса устойчивости q (у). В разд. 3 исследуется влияние тороидального вращения на положение свободной границы плазмы с пьедестальными профилями в области пьедестала в случае базового равновесия "Сценария 4" ИТЭР. В разд. 4 для плазмы "Сценария 2" ИТЭР приводятся результаты расчетов равновесия с заданным профилем q (у) при различной анизотропии давления. Полученные результаты обсуждаются в Заключении.
2. ОБЩАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ РАВНОВЕСИЯ ПЛАЗМЫ С АНИЗОТРОПНЫМ ДАВЛЕНИЕМ И ВРАЩЕНИЕМ В ТОКАМАКЕ
2.1. Уравнения идеальной МГД и некоторые их следствия
Адиабатическое течение идеально-проводящей жидкости описывается уравнениями
р—1 = _у. (п + Т),
ш
р = -П -Уу, Л
ИВАНОВ и др. (1)
Р —
В I = (в-У)у,
V р
(2) (3)
- В -жений Т = —I
2
ВВ и тензор давления р\\ -
П = р±1 + апВВ, а\\ =
В2
(4)
где I — единичный тензор. Уравнение неразрывности
—Р = -рУ- у Л
(5)
и условие соленоидальности магнитного поля
У - В = 0 (6)
замыкают систему уравнений (1)—(3).
Перепишем уравнение (3), используя (5), в ви-
де
р —
Л
ГВI = -Т -Уу, 2р '
после чего, комбинируя (1) и (2), получаем уравнение
р —Е = -У - (П - у + Т - у)
—
(7)
Гв2
—
] = в 2У- у + В -(В - У)у.
Исключая В(В • У)у из двух последних выражений, уравнение (2) можно записать как [5]
р —е = р1 —Р—В2 — р — 2 —
(8)
Уравнение (8) предполагает адиабатичность. Поэтому можно считать, что £ = £(р, В2, Б) есть функция трех параметров: р, В2 и энтропии Б, так что
из (8) вытекает выполнение следующего соотношения в жидкой частице:
—е = -р—У - ау—
у=Р.
где р, у, £ — плотность, скорость и внутренняя энергия, В — вектор магнитного поля. Уравнения включают также максвелловский тензор напря-
Забегая вперед, скажем, что в дальнейшем будем считать энтропию функцией вмороженного в среду полоидального магнитного потока у, т.е. £ = £(р, В2, у).
Введем функцию И = £ + р\\У в качестве аналога энтальпии. Тогда
ЛИ = УШрн - аУ—
ГВ2
так что
У И = УУр,| - а, V У
' В! 1 +эеУу. V 2 ) ду
(9)
Дивергенцию тензора п можно записать в виде
(10)
У-П = (Ух (ацВ)) х В - ауУ {у ^ + Ур,
или, с учетом (9),
У-П = (Ух(ауВ))хВ + рУИ -р—Уу. (11)
Эу
Для получения аналога интеграла Бернулли умножим уравнения (1) и (3) на В/ р и на у соответственно и сложим. В предположении, что
Уу • В = 0, получим: р —
—
ЦВ] = -1В-(У- П) +
Р ) Р
+ В-У
{ 2 V
— |. Откуда, с учетом (11) приходим к вы-
ражению
для полной энергии на единицу массы
V2 1 В2
Е =-----. Используя явную форму тензо-
2 р 2 ра (4), можно показать, что
П - Уу = р±У - у + ацВ - (В - У) у.
С другой стороны, из (3) следует
Р — Л
у - В
/
= У-
2
В
V V 2
^ - И
(12)
означающему, в частности, сохранение интеграла
по лагранжеву объему I у - В—У внутри каждой
¡у
магнитной поверхности, которая вморожена в среду.
2.2. Равновесие осесимметричной плазмы с учетом вращения
Уравнение равновесия плазмы со скалярным давлением с учетом сил инерции есть
Р(у-У) у = (Ух В) х В-Ур. (13)
В цилиндрической системе координат (Я, ф, 7) полоидальная и тороидальная компоненты осе-симметричного магнитного поля могут быть представлены в виде
В = Уу хУф, В ф = ^Уф,
ф
где y(R, Z) — полоидальный магнитный поток, разделенный на 2л, y = ¥/2л. В стационарном случае, когда
v, Vy = 0, V-(pvp) = 0,
вектор скорости v лежит на магнитных поверхностях у = const, и полоидальные компоненты скорости и магнитного поля соотносятся следующим образом:
pvp = Vx(xV9) = V%xV9 = x' Вp, X = х(у).
Штрих здесь и далее означает производную по потоковой функции ф.
Тороидальная компонента скорости выражается через угловую скорость ю,
v ф = roR 2V9.
В предположении идеальной проводимости электрическое поле
E = -v x В, E ?=-v p x Bp = 0, E = E p = -QVy,
т.е. электрическое поле ортогонально магнитным поверхностям. При этом в стационарном случае из закона Фарадея V х E = 0 следует, что VQ х Vy = 0. Последнее означает, что функция Q является потоковой величиной, Q = Q(y).
Используя явное представление полоидально-го электрического поля через х, Р, ю, F
E p =-v p x В ф- v фх Bp =
= В p x
f i л v - X В
* ф "ф
ю-
FX_
PR 2
Vy,
Подставляя выражение pv из (15) в (17), получаем
L x В + pQR2 (W x Vф) = -Vp -pV
f 2 V
(18)
где L = x'W — j . Подстановка Wp = V(юR2) х V9 в (18) дает
L x В + proR VQ = -Vp-pV
2
— -roQR2
(19)
Тороидальная компонента уравнения (19) дает Ьр х Вр = 0, т.е. вектор Ь лежит на магнитной поверхности, откуда следует
F-X' wR2 = Л (у), L = ^ЛxVф + (R2х" Вp
(20)
Для полоидальной компоненты уравнения (19)
L p x Вф + Lф x В p =-pюR VQ-Vp -
- p V
p
f 2 V
— - ю Q R 2
(21)
раскроем оба члена в левой его части: Lф x Вp = (хХ - j(p )x Вp =
ее ( . л
X'Vx хVyxVф
w ^ p
Vx(VyxVф)
• Vф
Vy,
Lp xВф = -F(VЛxVф)xVф +
+ FwR2X" (Vy x Vф) x Vф = FVЛ - Fwx'' Vy.
R
Теперь уравнение (21) может быть переписано как
получаем
Q(y) = w-Ft pR
v =X- В + Q R ^ф.
(14)
(15)
При этом в случае стационарного осесимметрич-ного течения уравнение (12) дает
h + у -wQR 2 = H (y)
(16)
— аналог закона Бернулли.
Обозначим завихренность V х V = W и плотность электрического тока V х В = ^ Тогда стационарное уравнение равновесия (13) переписывается в виде
pV
С 2
V
+ pW x v = j x В - Vp.
Vx VyxVф • Vф Vy-'v p / /
- (V x(Vy x Vф) • Vф)Vy =
R2 VЛ + Fюх" Vy - proR2VQ +
(22)
+ pV
2 Л
fflQR2 - —
-Vp.
Предположим, что энтропия является потоко-
ЭР
вой функцией, т.е. ^ = ^(у), V И = УУр + —Уу,
Эу
где И = £ + р¥. Тогда с учетом (16) уравнение (22) принимает вид [5]
А I л
X
X'Vx Д-VyxVф ^ф-^ p ) - V x (Vy x Vф) • Vф =
= -F Л' + F юх'' -pwR 2Q' -pH' + p-^. R dy
Если же плотность является потоковой функци-
ей, р = р(у), то с учетом Vр = pV
VP; Р
следние два члена в правой части (22) будут
Р 1 , pVp - 1 + -—- по-
pV
2 - - p
.рур 2 Р) Р '
Соответственно, последние два члена в правой части (23) преобразуются в
-Рн'- РЕ',
Замечание. Дифференциальные операторы в уравнениях (23)—(28) с учетом осевой симметрии могут быть представлены в традиционном виде,
например, V х (aVy xV(p) • V(p = -V- ^а^2у^.
Усредняя (28) по объему dVy между магнитными поверхностями у = const, имеем
dK(dy - dЛ dФ =
dpi ду
dVy dy,
(29)
или
введено обозначение
Р + v
Р 2
ШЯ = Й (у).
dK ф + 2щdЛ = (дpЦ dVy,
W/ Vy
(30)
где Кф = J kvdS, Sy — площадь внутри линии
2.3. Равновесие осесимметричной плазмы с анизотропным давлением
С учетом выражения (10) для дивергенции тензора давления, уравнение статического (у = 0) равновесия с анизотропным давлением представляется в форме
k х B = Vр., - a,,V
fB2
(24)
где к = У х (аВ), а = 1 - а,,, аи = (ри - р±)/В .
Проекция уравнения (24) на тороидальное направление Уф дает аГ = Л(у), а из полоидальной компоненты (24) имеем
Vy(Vx(aVyxV()-V()
- VЛAt - pVh + p—Vy = 0. Я Эу
(25)
Таким образом,
И (р„(р, В2, у), В2, у) = Н (у). (26)
Из соотношения (26) следует, что р, а следовательно и Р|, явля
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.