ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 3, с. 460-468
УДК 519.634
ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕ- И ТМ-ВОЛН В ДВУХСЛОЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ И ПЛОСКИХ ВОЛНОВОДАХ^
© 2015 г. Ю. Г. Смирнов
(440026 Пенза, ул. Красная, 40, ПГУ) e-mail: smirnovyug@mail.ru Поступила в редакцию 12.02.2014 г.
Рассматриваются задачи о распространении поверхностных электромагнитных ТЕ- и ТМ-волн в неоднородном анизотропном двухслойном плоском или цилиндрическом магнито-диэлек-трическом волноводе. Проблема сводится к анализу задачи Штурма—Лиувилля специального вида с краевыми условиями III рода, нелинейно зависящими от спектрального параметра. Получены условия, когда могут распространяться ТЕ- и ТМ-волны, указаны области локализации соответствующих постоянных распространения. Библ. 16.
Ключевые слова: задача о распространении электромагнитных волн, задача Штурма—Лиувилля, спектральная задача, волноводы.
Б01: 10.7868/80044466915030187
ВВЕДЕНИЕ
Задачи о распространении электромагнитных волн в регулярных волноведущих структурах являются классическими в электродинамике. Первейшей задачей здесь является нахождение условий, при которых могут распространяться волны в структуре, а также определение постоянных распространения (см. [1]). Важным также является выяснение вопросов о локализации постоянных распространения (в общем случае — на комплексной плоскости), о полноте и базисно-сти системы нормальных волн структуры.
Задача о распространении электромагнитных волн в полых экранированных регулярных волноводах произвольного поперечного сечения была подробно исследована в фундаментальных работах [2]—[4] с помощью построения функций Грина. Изучение неоднородных волноведущих структур потребовало развития другой техники — исследования соответствующих операторных пучков (см. [5]—[12]), что позволило получить результаты о дискретности и локализации спектра, о полноте систем собственных и присоединенных векторов задач. Однако все эти работы относятся к так называемым "закрытым" волноведущим структурам, т.е. к экранированным волноводам.
"Открытым" (неэкранированным) волноведущим структурам посвящено значительно меньше работ, и для них получены менее глубокие результаты. Отметим работы [13], [14], в первой из которых с помощью метода интегральных уравнений получены результаты о дискретности спектра задач, а во второй представлены результаты расчетов для ряда важных с практической точки зрения структур.
В настоящей работе рассматриваются задачи о распространении поляризованных электромагнитных волн в двух типах открытых структур: в плоском и в цилиндрическом неоднородных анизотропных волноводах. Оба этих типа волноведущих структур являются важными на практике (см. [1]). В настоящей работе доказываются утверждения о существовании собственных ТЕ- и ТМ-волн и локализации постоянных распространения для этих структур. Локализация постоян-
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 12-07-97010-р-а) и Минобрнауки РФ (грант в рамках Госзадания № 2.1102.2014/К).
ных распространения весьма существенна, например, для выбора начального приближения при численных расчетах.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ
Будем рассматривать процесс распространения поляризованных электромагнитных волн в двух типах волноводов: в плоском и в цилиндрическом.
В случае плоского волновода рассмотрим трехмерное пространство Я3 с декартовой системой координат Охуг. В Я помещен неоднородный магнито-диэлектрический волновод (слой) с образующей, параллельной оси Ог, и поперечным сечением V = {(х,у) : 0 < х < к}. Пространство вне волновода заполнено изотропной средой без источников с вещественными постоянными диэлектрической и магнитной проницаемостями 6 = б1 > 0 и ц = ^ > 0 при х < 0, б = б3 > 0 и ц = > 0 при х > к.
Сечение волновода, перпендикулярное оси Ог, представляет собой полосу шириной к (к > 0). Считаем, что при 0 < х < к (тензорные) диэлектрическая и магнитная проницаемости имеют вид
е = е 2 (х) =
<( х) 0
у (х)
А = ¿2 (х) =
Ахх (х)
0 0
:(х\
0 > Ауу (х) 0
0 А гг (х
причем компоненты тензоров являются положительными функциями, брр(х) > 0, црр (х) > 0, р = х,у,г, при х е [0,к] и удовлетворяют следующим условиям гладкости: брр(х),ц (х) е С[0,к],
Р = x,у, егг(х),Игг(х) е С1[0,к].
Диэлектрическая и магнитная проницаемости во всем пространстве имеют вид
е =
Iе =
еь х < 0, е2(х), 0 < х < к, е3, х > к,
Ц1, х < 0, |2(х), 0 < х < к, ц3, х > к.
В случае цилиндрического волновода рассмотрим трехмерное пространство Я с цилиндриче-
з
ской системой координат Орфг. В Я помещен цилиндрический магнито-диэлектрический волновод с образующей, параллельной оси Ог, и поперечным круговым сечением Ж = {(р, ф): р < Я2, 0 < ф < 2п}. Пространство вне волновода заполнено изотропной средой без источников с (вещественными) диэлектрической и магнитной проницаемостями б = б3 > 0 и ц = > 0 при р > Я2.
Сечение волновода, перпендикулярное оси Ог, представляет собой круг с радиусом Я2. Волновод является двухслойным: Я1 (0 < Я1 < Я2) есть радиус внутреннего цилиндра, Я2 - Я1 есть толщина внешней цилиндрической оболочки, которая предполагается неоднородной. Считаем, что при Я1 < р < Я2 (вещественные тензорные) диэлектрическая и магнитная проницаемости имеют вид
е = е2(р) =
"рр
(Р) 0
р(р)
г (Р)
А = А2(р) =
Чр (р) 0 0
0 Цфф (р) 0
. 0 0 ц zz (p)J
причем компоненты тензоров являются положительными функциями, spp (р) > 0, цpp (р) > 0, p = р, ф, z, при ре [Rb R2] и удовлетворяют следующим условиям гладкости: s pp (р), цpp(р) е CRR2], p = р,ф, бzz(р),цzz(р) е C 1[i?1)Л2].При 0 < р < R1 (вещественные) диэлектрическая и магнитная проницаемости постоянны и положительны: s = s1 > 0 и ц = ^ > 0. Диэлектрическая и магнитная проницаемости во всем пространстве имеют вид
ei, 0 <р< R, e = je2(р), Ri <р< Rb ез, р> R2, Ai, 0 <р< Ri,
А = Ш2 (р), Ri <р< R2,
Цз, р > R2.
Будем искать решения уравнений Максвелла (во всем пространстве) в виде поверхностных волн, распространяющихся вдоль образующей волновода. При этом комплексные амплитуды электромагнитного поля E,H удовлетворяют системе уравнений Максвелла
rotH = -/®sE, rotE = /юцН, (1.1)
условию непрерывности касательных компонент поля на границах раздела сред и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально убывает при |Х ^ да в областях х < 0, х > h (для плоского волновода) и при р ^ да в области р > R2 (для цилиндрического волновода). Дополнительным условием в случае цилиндрического волновода считаем ограниченность компонент поля Ev и Hv в окрестности нуля (при р = 0). Электромагнитное поле гар-
-iat ^ п
монически зависит от времени, множитель е везде опущен, ю > 0 — круговая частота.
2. ЗАДАЧА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
Все сформулированные в разд. 1 задачи о распространении поляризованных волн будут в разд. 3 сведены к изучаемой ниже задаче Штурма—Лиувилля. Результаты исследования этой задачи могут представлять и самостоятельный интерес.
Рассмотрим на отрезке [a,b] задачу Штурма—Лиувилля для линейного дифференциального уравнения
(p(x)u')' + q(x)u -Xr(x)u = 0, x е (a,b), (2.1)
с краевыми условиями III рода,
и' (a) -а (X) u (a) = 0, (2.2)
u'(b) + ß (X)u(b) = 0, (2.3)
содержащими спектральный параметр X. Функции p(x), q(x), r(x) предполагаются вещественными, функции p'(x), q(x), r(x) — непрерывными, а функции p(x) > 0, r(x) > 0 — положительными на отрезке [a,b]. Будем считать также, что (вещественные) функции а(X), ß(X) непрерывны, неотрицательны (а(X) > 0, ß(X) > 0) и а2(Х) + ß2(Х) Ф 0 при X е R. Будем искать классические (вещественные) решения задачи (2.1)—(2.3) в пространствах и е C1 [a,b] П C2(a,b); X е R.
Перепишем уравнение (2.1) в операторной форме:
Lu = 0, L := — (p(x) -—) + q(x) -Xr(x). dx\ dx!
Рассмотрим также другую (вспомогательную) задачу Штурма—Лиувилля с краевыми условиями II рода:
(р(х)у)' + q(x)v -X г(x)v = 0, х^'(а) = 0, у(Ь) = 0. (2.4)
Пусть {Хтчп (х)} — система всех собственных значений и ортонормированных в пространстве Ь2(а,Ь;г(х)) с весом г(х) собственных функций этой краевой задачи (см. [15], [16]). Известно (см. [15]), что все собственные значения вещественные и простые (кратности 1). При этом существует лишь конечное число (или не существует совсем) положительных собственных значений и бесконечное число — отрицательных и Xп ^ -да при п ^ да. Кроме того, имеет место асимптотика Xп = 0*(п ) при п ^ да. Упорядочим собственные значения в порядке убывания: — < X.+1 < X1 < < — < X2 < Х^ Известно также (см. [15]), что система всех собственных функций {(х)} образует ортонормированный базис в Ь2(а, Ь; г (х)).
Тогда при X ф X п краевая задача (2.4) имеет только тривиальное решение. Это значит, что при X ф X п существует и единственна функция Грина О (х, х0;^) краевой задачи
ЬО = -5 (х - х0), О (а, х0) = О (Ь, х0) = 0, а < х0 < Ь. (2.5)
Функция Грина О(х,х0;X) в окрестности собственного значения XI может быть представлена в виде (см., например, [15])
О (х, х0;Х) = v' х0) + О1 (х, х0; X), (2.6)
где О1 (х, х0; А,) регулярна в окрестности точки XI; XI, V (х) — собственное значение и собственная функция краевой задачи (2.4). Кроме того, имеет место разложение функции Грина в ряд
О (х, х^) ¿^М^, (2.7)
.=1
состоящий из непрерывных функций и который сходится абсолютно и равномерно к непрерывной функции О (х, х0;А).
Используя вторую формулу Грина
Ь Ь
Ьи - иЬм>)с1х = (р(х)и')' - и(р(х)^')'))х :
= р(Ь)(и(Ь)м>'(Ь) - и(Ь)м!(Ь)) - р(а)(и(а)м>'(а) - и'(а)м!(а)) и полагая w = О, получаем
Ь
^(ОЬи - иЬО)с1х = р(Ь)и (Ь)О(Ь,х0)- р(а)и (а)О(а,х0).
а
Используя уравнение (2.5), получаем интегральное представление решения и (х0) уравнения (2.1) при х0 е [а,Ь]:
и (х0) = р(Ь)и (Ь) О (Ь, х0) - р(а)и (а) О (а, х0). (2.8)
Из уравнения (8) при х0 = а и х0 = Ь получаем следующую систему:
и (а) = р(Ь)и'(Ь) О (Ь,а) - р(а)и' (а) О (а,а), и(Ь) = р(Ь)и'(Ь)О(Ь,Ь) - р(а)й(а)О(а,Ь). Используя краевые условия (2.2)—(2.3), отсюда получаем
и (а) = -р(Х)р(Ь)и (Ь) О (Ь,а) - а(Х)р(а)и (а) О (а,а), и(Ь) = -в(Х)р(Ь)и(Ь)О(
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.