№ 5
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2008
УДК 536.2 (075)
© 2008 г. КУДИНОВ В.А., СТЕФАНЮК Е.В.
ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ОСНОВЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФРОНТА ТЕМПЕРАТУРНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ
Интегральным методом теплового баланса с введением фронта температурного возмущения получено аналитическое решение задачи нестационарной теплопроводности. Построены графики распределения изотерм и скоростей их движения. Для повышения точности решения вводятся дополнительные граничные условия, определяемые из исходного дифференциального уравнения и основных граничных условий, в т.ч. условий, задаваемых на фронте температурного возмущения.
Введение. В приближенных аналитических методах известны те, в которых используется понятие глубины термического слоя (интегральные методы теплового баланса) [18]. В этом случае процесс нагрева (охлаждения) тел формально делится на две стадии: первая характеризуется постепенным продвижением фронта температурного возмущения от поверхности к центру тела, вторая - изменением температуры по всему объему тела вплоть до наступления стационарного режима. Перемещение фронта температурного возмущения учитывается введением функции ^1(Fo), называемой глубиной проникания (глубиной термического слоя). Такая модель процесса теплопроводности используется в интегральном методе теплового баланса [1, 2]; методе осреднения функциональных поправок [3]; методе Швеца М.Е. [4]; методе Био [5]; методе Вейника А.И. [6] и др.
Преимущество этих методов - возможность получения простых по форме аналитических решений удовлетворительной точности для регулярного и нерегулярного процессов теплопроводности. Но их недостатком является низкая точность. Причина в том, что получаемое решение, точно удовлетворяя начальному и граничным условиям, основному дифференциальному уравнению удовлетворяет лишь в среднем. Это связано с тем, что в основу метода положено построение так называемого интеграла теплового баланса, что равнозначно осреднению исходного дифференциального уравнения в пределах глубины термического слоя. Очевидно, что для повышения точности интегральных методов следует улучшить выполнение исходного дифференциального уравнения. В настоящей работе избрано направление аппроксимации температурной функции полиномами более высоких степеней. Для определения неизвестных коэффициентов таких полиномов исходных граничных условий оказывается недостаточно. Возникает необходимость привлечения дополнительных граничных условий, которые находятся из исходного дифференциального уравнения с использованием основных граничных условий и условий, задаваемых на фронте температурного возмущения.
В качестве конкретного примера применения интегрального метода с использованием дополнительных граничных условий найдем решение задачи теплопроводности для бесконечной пластины в следующей математической постановке
Постановка задачи и метод решения
д0( р, Fo ) _ д20 ( р, Fo ).
2
dF0 др2
; (Fo>0; 0<р< 1)
(1)
Рис. 1. Расчетная схема теплообмена
0(Р, 0) = 0; (2)
aecoFo) = о; (3)
Эр
0( 1, Fo) =1, (4)
где 0 = (Т - Т0)/(Тст - Т0) - относительная избыточная температура; Fo = ат/R2 - число Фурье; р = r/R - безразмерная координата; T0 - начальная температура; Тст - температура стенки при r = R; а - коэффициент температуропроводности; R - половина толщины пластины; r - координата; т - время.
Процесс нагрева разделим на две стадии по времени: 0 < Fo < Fo1 и Fo1 < Fo < Для этого введем движущуюся во времени границу (фронт температурного возмущения), разделяющую исходную область 0 < р <1 на две подобласти 0 < р < q^Fo) и ^j(Fo) < р < < 1, где q^Fo) - функция, определяющая продвижение границы раздела во времени (рис. 1, а). При этом в области, расположенной за фронтом температурного возмущения, сохраняется начальная температура. Первая стадия процесса заканчивается при достижении движущейся границей центра пластины, т.е. когда Fo = Fo1. Во второй стадии температура изменяется по всему объему тела 0 < р < 1 (рис. 1, б).
Первая стадия процесса
Для упрощения процесса получения решения заменим координату р, отсчитываемую от центра пластины, новой переменной £ = 1 - р, отсчитываемой от поверхности. Задача нагрева пластины для первой стадии процесса в данном случае примет вид
Э0( £, Fo) = Э2 0 ( £, Fo );
dFo Э£2 ; (5)
(0<Fo <Fo1; 0<£< q1(Fo))
0(0, Fo) =1; (6)
0(£, Fo )|§ = qi = 0; (7)
Э0(£, Fo)
Э£
= 0, (8)
£ = qi
где соотношения (7), (8) представляют условия тепловой изоляции подвижной границы (их математическое доказательство дано в [9]).
В результате введения фронта температурного возмущения задача (5) - (8) свелась к задаче со свободной подвижной границей, на которой в течение всего времени первой стадии процесса 0 < Бо < Бо1 выполняется условие (7), устанавливающее равенство температуры тела в точке £ = ^(Бо) его начальной температуре и условие адиабатной стенки (8), согласно которому тепловой поток не распространяется за пределы фронта температурного возмущения. В дальнейшем решение задачи (5)-(8) сводится к определению закономерности продвижения фронта температурного возмущения по координате £ в зависимости от времени Бо. При этом на первой стадии процесса задача (5)-(8) за пределами фронта температурного возмущения вообще не определена. В связи с чем, здесь нет необходимости в выполнении начального условия вида 0(£, 0) = 0 по всей толщине пластины (поэтому такое условие отсутствует в задаче (5)-(8)). В данном случае вполне достаточным является выполнение граничного условия (7), согласно которому для всех £ = ^(Бо) температура тела равна начальной температуре. Отсутствие необходимости выполнения начального условия вида 0(£, 0) = 0 позволяет существенно упростить процесс получения аналитического решения задачи (5)-(8) по сравнению с ее решением в постановке (1)-(4) с помощью классических аналитических методов.
Еще одним упрощением задачи (5)-(8) является отсутствие граничного условия вида (4), так как оно не оказывает влияния на процесс теплопроводности в первой его стадии.
Отметим, что задача (5)-(8) не относится к классу задач, в которых учитывается конечная скорость продвижения тепловой волны. Решение таких задач сводится к интегрированию гиперболического (волнового) уравнения теплопроводности [10]. Введенный в задаче (5)-(8) фронт температурного возмущения по физическому смыслу не скорость тепловой волны, а аналог движущейся изотермы. Ввиду того, что на фронте температурного возмущения в процессе его движения по координате £ поддерживается начальная температура 0(£, Бо) = 0 то, следовательно, он является аналогом нулевой изотермы (см. ниже (61), (63)).
Решение задачи (5)-(8) находим в виде следующего полинома
п
0(£, Бс) = £ ак()£к, (9)
к = 0
где ак(д1) - неизвестные коэффициенты. Для их определения используются граничные условия (6)-(8). Подставляя (9), ограничиваясь тремя членами ряда, в (6)-(8), для определения ак(д1), (к = 0, 1, 2) будем иметь систему трех алгебраических линейных уравнений. После определения ак(д1) соотношение (9) примет вид
0(£, Бс) = [ 1- (£/?1)]2. (10)
Для определения неизвестной функции ^1(Бо) в первом приближении составим невязку уравнения (5) и проинтегрируем ее в пределах глубины термического слоя (что равнозначно построению интеграла теплового баланса - осреднению уравнения (5))
?1(Рс) «1(Бс) 2
д0«-рс)= Г д 0( £2 рс >И.. (11)
1
д Бс -I д£ 2
00
Подставляя (10) в (11), после определения интегралов получим
1 ^ = 1. (12) 3 й Бс q1
Интегрируя (12), при начальном условии q1(0) = 0 найдем
q1 = УТ2РС. (13)
0,006
0,012
0,018
0,024
0,030
Рис. 2. Графики изменения относительной избыточной температуры в пластине: 1 - первое приближение; 2 -второе приближение; 3 - точное решение
Подставляя (13) в (10), получим искомое решение для первой стадии процесса в первом приближении
0(§, Бс) = [ 1- (§/712^)]2.
(14)
Положив q1 = 1, из (13) находим время окончания первой стадии процесса Ро1 = 1/12 ~ = 0,0833.
Результаты расчетов в первом приближении в сравнении с точным решением [10] приведены на рис. 2. Их расхождение с точным решением составляет 3-4%. При этом основная погрешность возникает из-за неточного выполнения дифференциального уравнения (5). Отметим, что граничное условие (6) и условия на фронте температурного возмущения (7), (8) выполняются точно. Отсюда следует, что для повышения точности решения необходимо улучшать выполнение уравнения (5).
Очевидным путем повышения точности решения является увеличение степени аппроксимирующего полинома (9). Для определения появляющихся при этом дополнительных неизвестных коэффициентов необходимо привлекать дополнительные граничные условия. Для их получения будем последовательно дифференцировать граничные условия (6)-(8) по переменной Бо, а уравнение (5) по переменной §. Сравнивая получающиеся при этом соотношения, можно получить необходимое количество дополнительных граничных условий. Для получения первого из них продифференцируем (6) по Бо
д 0(§, Бс) _ о.
дБс § _ о
Сравнивая (15) с уравнением (5), найдем первое дополнительное граничное условие
(15)
д2 0 ( §, Бс )
д§2
0.
(16)
§ = о
Продифференцируем соотношение (7) по Бо. Так как из (7) требуется находить значение 0(§, Бо) в точке § = ql(Fo), то § является функцией Бо, и, следовательно, 0(§, Бо) будет сложной функцией. Тогда
аЮ [0(§, рс)1§ _ * (Бс)] =
д0(§, Бс) й§ ■ д§ й¥с_
д0(§, Бс)
§ = ql(Fo)
дБс
§ = ql(Рс)
_ д0(§ , Бс) д §
<Ил д 0( §, Бс)
§ _ q1 (Бс) йБс дБс
§ _ ql(Fo)
_ о.
0
Соотношение (17), с учетом (8), приводится к виду
д0(£, Бо)
д Бо
= 0.
£ = «:(Ро)
Сравнивая (18) с уравнением (5), применительно к точке £ = ^1(Бо) получим второе дополнительное граничное условие
д20(£, Бо)
д£2
= 0. (19)
£ = ?1(Ро)
Продифференцируем соотношение (8) по Бо с учетом того, что переменная £ является функцией Бо
д Гд0(£, Бо- -
д Бо ^ д £ £ = «^о^
д20(£, Бо) й£
д20(£, Бо)
д£2
£ = ?1(Ро)
д£2
й0л + д2 0 ( £ , Бо ) йБо д£дБо
й Бо
. д20(£, Бо)
£ = ^1(Ро) = 0.
д£дБо
£ = «Д Ро)
(20)
£ = «1 (Бо)
Соотношение (20), с учетом (19), приводится к виду д20(£, Бо)
= 0. (21)
д£дБо £ = «1(Бо)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.